22.1&22.2 函数【十一大考点+十一大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦初中数学“函数”核心知识点，系统梳理从变量关系的表格、关系式、图像表示，到函数概念、解析式、自变量取值范围，再到函数三种表示方法、图像信息获取、动点及综合问题的完整脉络，搭建从基础概念到实际应用的学习支架。 该资料特色在于结合生活情境设计典例与变式，如蓄水池放水、高铁行驶等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过函数概念辨析、取值范围分类讨论，发展数学思维中的推理意识。利用表格、图像、解析式综合应用，提升数学语言表达能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

22.1&22.2 函数 【考点梳理】 · 考点一：用表格表示变量间的关系 · 考点二：用关系式表示变量间的关系 · 考点三：用图像表示变量间的关系 · 考点四：函数的概念 · 考点五：函数的解析式 · 考点六：求自变量的取值范围 · 考点七：求自变量的值或函数值 · 考点八：函数的三种表示方法 · 考点九：函数的图像获取信息 · 考点十：函数的动点问题 · 考点十一：函数综合问题 【知识梳理】 知识点1：函数的有关概念 （1） 常量与变量： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 （2）函数与函数值 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 点拨 对于函数的理解应分以下几个方面： (1)函数首先指在一个变化过程中； (2)只能有两个变量； (3)每一个x对应唯一的一个y值，而一个y值不必对应唯一的x值，如函数y=x2中，y是x的函数，每一个x对应唯一的y值，而一个y可以对应不同的x的值。 知识点2：函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体。确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。 (1)当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）。 (2)当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数。 (3)当函数的解析式是开平方的无理数时，自变量取值是使被开方的式子为非负的实数。 (4)当函数解析式中自变量出现零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数。 当函数解析式是上述情况的组合时，自变量的取值范围是其公共部分。 知识点3：函数的解析式 像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法这种式子叫做函数的解析式. 知识点4：函数的图像 (1)函数图像的定义 一般地,对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图像。 (2)描点法画函数图像的一般步骤 第一步:列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步:描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点；; 第三步:连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。 知识点5：函数图像上的点与其解析式之间的关系 (1)函数图像上的任一点的横坐标与纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值;反之,以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图像上。 (2)判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法：将点P的坐标(x,y)代入函数解析式,若满足函数解析式,则这个点就在函数图像上,否则不在函数图像上。 知识点6：函数的表示方法 方法 定义 优点 不足 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法 能明显地呈现出自变量与对应值的函数值 只能列出部分自变量与函数的对应值，难以看出自变量与函数之间的对应规律 解析式法 用含有自变量的代数式表示函数的方法叫做解析式法 简明扼要，规范准确，便于分析推导函数性质 有些函数关系，不能用解析式表示 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法 形象直观，能清晰地呈现函数的一些性质 所画的图像是近似的、局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【题型过关】 题型一：用表格表示变量间的关系 【典例1】．（25-26八年级下·北京·期中）某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据表格数据得出每分钟放水量，再计算放水14min后的剩余水量即可． 【详解】解：∵水池原有水量为， 由表格数据可知，放水时间每增加，水池中水量减少，即每分钟放水量为， ∴放水后，总放水量为， ∴剩余水量为． 【变式2】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 【答案】C 【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化， ∴单价是常量，金额和加油量是变量， 故选：C． 题型二：用关系式表示变量间的关系 【典例2】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）一列高铁列车以的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为，行驶路程为，下列说法正确的是（    ） A．和是常量，是变量 B．是常量，和是变量 C．和是常量，是变量 D．，和都是变量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，在变化过程中，数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量，根据定义判断各量即可得到答案． 【详解】解：∵在该问题中，高铁行驶速度，保持不变， ∴是常量； ∵行驶时间可以取不同的数值，行驶路程随的变化而变化，和的数值都会发生改变， ∴和是变量．因此选项B正确． 【变式1】．（25-26八年级下·福建厦门·期中）某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总油量流出油量， ∴． 【变式2】．（25-26八年级下·福建厦门·期中）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（    ） A．C、、R是变量，2是常量 B．C是变量，R、是常量 C．C、R是变量，2、是常量 D．R是变量，C、是常量 【答案】C 【分析】根据常量与变量的定义进行判断，常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量． 【详解】解：∵ 在圆的周长公式中，半径可以发生变化，周长会随着的变化而变化，和是固定不变的数值， ∴ 、是变量，、是常量． 符合题意的是选项C． 题型三：用图像表示变量间的关系 【典例3】．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 题型四：函数的概念 【典例4】．（25-26八年级下·广东广州·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏南通·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答，对于两个变量x，y，给出每一个x的值，y有唯一的值与之相对应，这样的y就是x的函数． 【详解】解：由表格可知：当时，的值为1或2，所以不是x的函数； 由图象可知：给出一个变量x的值，有唯一的值与之相对应，所以是x的函数． 【变式2】．（25-26八年级下·山东滨州·期中）有以下关于的等式及图像：①；②；③；④； ⑤，⑥ 其中y是x的函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据函数的定义判定解答即可； 【详解】解：根据函数的定义，得①，对于每一个x的值，函数y都有唯一值与之对应，符合定义，是函数； ②，对于每一个x的值，函数y都有两个值与之对应，不符合定义，不是函数； ③对于每一个x的值，函数y都有两个值与之对应，不符合定义，不是函数； ④对于每一个x的值，函数y都有唯一值与之对应，符合定义，是函数； ⑤，对于每一个x的值，函数y都有两个值与之对应，不符合定义，不是函数； ⑥对于每一个x的值，函数y都有唯一值与之对应，符合定义，是函数； 题型五：函数的解析式 【典例5】．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知的初始电量和充电后的电量可得到每分钟充电量，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：每分钟充电量为， ∴手表的电量与充电时间之间的函数关系式为． 【变式1】．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 【变式2】．（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段检测）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式及的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：三角形内角和为，两底角相等， 顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式为：； ， ． 故选：C． 题型六：求自变量的取值范围 【典例6】．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 【变式1】．（25-26八年级下·河北沧州·期中）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同类型函数表达式的限制条件分别判断即可，整式函数自变量可取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 【详解】对选项A，是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数； 对选项B，是二次根式形式，要求被开方数非负， 可得，解得，不是全体实数； 对选项C，是分式，要求分母不为零，可得，不是全体实数； 对选项D，是分式，要求分母不为零，可得，即，不是全体实数． 【变式2】．（25-26八年级下·北京通州·期中）关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， 解得， 因此选项C正确． 题型七：求自变量的值或函数值 【典例7】．（25-26八年级下·山东滨州·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据流程图计算出输入的x值是和2时，对应的y值，列方程即可求解． 【详解】解：由题意知，输入的x值是时，， 输入的x值是2时，， ， ． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下面四个点：，，，．其中在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将每个点的坐标代入函数计算值，若与给定坐标一致，则该点在图象上． 本题主要考查点在函数图象上的含义，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式． 【详解】解：A 、当时，，故不在图象上，不符合题意； B、 当时，，故在图象上，符合题意； C、当时，，故不在图象上，不符合题意； D、当时，，故不在图象上，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把，，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴ ， 即在点燃后的时，离地面的高度为． 故选：A 题型八：函数的三种表示方法 【典例8】．（25-26八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 【变式1】．（22-23八年级下·陕西商洛·期末）声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（    ） 温度：/ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 … A．温度越高，声速越快 B．当空气温度为20时，声速为342 C．声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40时，声速为350 【答案】D 【分析】根据表中数据即可判断A、B选项；利用待定系数法，设v与t之间的函数关系式为，把表中两组对应的数值代入即可求解，从而判断C选项；把代入函数解析式，即可判断D选项． 【详解】A选项：根据表格可得，随着温度t的增大，声速v也随之增大，故A选项正确； B选项：根据表格可得，当时，，即当空气温度为20时，声速为342，故B选项正确； C选项：设声速v与温度t之间的函数关系式为， 由表格可得，当时，，当时，， ∴，解得， ∴声速v与温度t之间的函数关系式为． 故C选项正确． D选项：由C选项得到声速v与温度t之间的函数关系式为， 当时， ∴当空气温度为40时，声速为， 故D选项错误． 故选：D 【点睛】本题考查通过表格形式表示函数关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂表格，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【变式2】．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 题型九：函数的图像获取信息 【典例9】．（25-26八年级下·重庆·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 【答案】D 【分析】根据题意结合图象逐项分析即可. 【详解】解：物资车往返总路程为，故A不符合题意； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B不符合题意； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C不符合题意； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D符合题意． 【变式1】．（25-26八年级下·河北沧州·期中）新情境每年的12月5日为国际志愿者日，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，嘉淇决定前往距家的社区参加志愿者服务活动．嘉淇早上从家出发匀速步行前往目的地，途中进入超市购买了一些清洁工具，从超市出来后步行的速度变为原来的倍，并于准时到达目的地．嘉淇与家的距离与所用时间的关系如图所示，则嘉淇在超市购物用了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据图象计算出嘉淇去超市前的速度，再计算出嘉淇出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出嘉淇在超市购物用的时间即可． 【详解】解：嘉淇从家出发，到达目的地，则总用时， 由图象可知，嘉淇去超市前的速度为， 嘉淇出超市后到社区所用的时间为， ∴嘉淇在超市购物用的时间为． 【变式2】．（25-26八年级下·重庆·期中）《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（    ） A．硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D．溶解度为时，硝酸钾溶液的温度比氯化钾溶液的温度低 【答案】D 【分析】根据函数图像分析溶解度随温度的变化趋势，通过观察图像交点及特定纵坐标对应的横坐标大小关系进行判断． 【详解】解：A、当温度时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小，故该选项说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故该选项说法错误，不符合题意； C、由图可知两曲线交点横坐标约为，当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小，故该选项说法错误，不符合题意； D、在纵轴上取，作水平线与两曲线相交，可知硝酸钾曲线对应的横坐标（温度）小于氯化钾曲线对应的横坐标，即硝酸钾溶液的温度比氯化钾溶液的温度低，故该选项说法正确，符合题意． 题型十：函数的动点问题 【典例10】．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图①，在中，，点P从点A出发沿，以的速度匀速运动至点B，②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可得当点P运动到点C时，的面积取最大值6，推出，由点P从点A沿运动到点B共用时，推出，利用完全平方公式变形求出，再利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：由题意得，当点P运动到点C时，的面积取最大值6，， ， ， 点P从点A沿运动到点B共用时，速度为， ， ， ． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由图象上点知，且点在点时，的面积为12，连接交于点，则可求出和，利用勾股定理求出，得到． 【详解】解：如图1，连接交于点， 由图2知，当时，点与点重合，，的面积为12， 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 【变式2】．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，矩形中，对角线，交于点．点和点分别是边，的中点，，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点M一定在上，选项中只有点O在上，所以点M的位置可能是图1中的点O． 【详解】解：∵，，四边形是矩形， ∴当时，点P到达D点，此时的面积为0，说明点M一定在上， ∴从选项中只有点O在上，所以点M的位置可能是图1中的点O． 题型十一：函数综合问题 【典例11】．（25-26八年级下·北京·期中）小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值，请直接写出：______，______． x … 0 0.5 1 1.5 2 3 4 … y … 5 … (2)在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (3)通过观察分析函数的图象，解决问题： ①由图象可知，当时，对应的自变量x有______个值． ②写出该函数的一条性质______． 【答案】(1)； (2)见详解 (3)；当时，随的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】（1）当时代入函数，当时代入函数，即可求出对应的， （2）描点作图即可， （3）在画一条平行于轴的线，看与函数有几个交点；性质根据函数图像写即可． 【详解】（1）解：将代入函数 得，即 将代入函数 得，即 （2）如图所示： （3） 如图所示，与函数有个交点， 由图像可得，当时，随的增大而增大（答案不唯一）． 【变式1】．（25-26八年级下·广西柳州·期中）阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格、图象及解析式． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 0.5 1 1.5 2 2.5 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______． (2)用图象表示：为更好的研究s随t的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时，______． ②图中点A表示的意义是______ (3)用关系式表示：①设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．求s关于t的解析式． ②利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间______． 【答案】(1)120 (2)①150；②当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为 (3)①；②4 【详解】（1）解：由表格得，当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为； （2）解：①当时，； ②图中点A表示的意义是当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为； （3）解：①由表格得，，， ∴s关于t的解析式为； ②∵s关于t的解析式为 ∴当时， 解得． 【变式2】．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，已知，点分别是射线上两定点，且，动点从点向点运动，以为斜边向右侧作等腰直角，设线段的长，点到射线的距离为． (1)若时，点到射线的距离为______； (2)直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)①请利用列表、描点、连线的方法在图2中画出该函数图象（只画出图象即可，列表不需要体现在解答过程中）； ②结合图象直接写出当时，______；当时，______（结果保留到整数）． 【答案】(1)2 (2) (3)①见解析；②5，4 【分析】（1）过点作于点，于点，则四边形是矩形，由是等腰直角三角形得出，证明矩形是正方形，故可得结论； （2）过点作于点E，则有，证明，得，；证明四边形是矩形，，可得，从而得出结论； （3）①利用列表、描点、连线的方法画图即可； ②结合图象回答即可． 【详解】（1）解：当时，点与点重合， 过点作于点，于点，则四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴ 即点到射线的距离为2； （2）解：过点作于点E，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即； 自变量的取值范围：从到，，所以，． （3）解：①列表如下： x ⋯ 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ y ⋯ 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 ⋯ 描点，连线： ②由图象得当时，；当时，． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义，逐项判断，即可． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y有两个值与之对应关系，故B符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意； 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需要结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的条件分析计算． 【详解】解：∵ 函数中，二次根式的被开方数需非负，且分母不能为0， ∴ ， 解得 ． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用已知运算公式得出b的值，进而代入求出时对应的值． 【详解】解：∵输入的x的值为5时，输出的y的值为7， ∴， 解得：， 若输入x的值是2，则输出的y的值是：． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象分析小明的运动过程，确定骑行阶段的起始时间和结束时间，两者之差即为骑行时间． 【详解】解：由图象可知，小明在步行， 在停留开锁， 在骑行． 骑行的起始时刻为第，结束时刻为第． 骑行的时间为． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）某居民小区电费标准为元千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的函数关系式为，则下列说法正确的是（） A．是自变量，是函数 B．是自变量，是的函数 C．是常量，是函数 D．是自变量，是函数 【答案】B 【分析】根据函数、常量与自变量的概念判断各选项即可得到答案． 【详解】解：根据初中函数定义，在一个变化过程中，有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是自变量，是的函数，数值保持不变的量是常量， ∴由关系式为，可得是固定不变的量，是常量，主动变化，是自变量，随的变化而变化，是的函数， ∴选项说法正确． 6．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将王大爷的运动过程分为三个阶段：去公园、在公园休息、回家，分别分析各阶段离家距离随时间的变化情况，确定关键的时间节点和图像走势即可． 【详解】解：王大爷从家出发走到离家的公园， 第一阶段图像为从上升到的线段； ∵在公园休息了， ∴第二阶段离家距离不变，时间从持续到，图像为平行于轴的线段； ∵用返回家中， ∴第三阶段离家距离从减小到，时间从持续到，图像为下降的线段； 观察各选项，只有D选项符合上述特征． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑向处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙同学在8秒时相遇 B．A，B两处的距离是80米 C．其中一位同学的速度为5米秒 D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲、乙同学在8秒时相遇，甲、乙两人之间的距离为80米，甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值． 【详解】由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故A正确； 由图象可得，当时，甲、乙两人之间的距离为80米，即A，B两处的距离是80米，故B正确； 由图象可得，甲的速度为(米秒)， 乙的速度为(米秒)， 故C错误； 秒所对应的时间为乙同学到达A地， ∴，故D正确． 8．（25-26八年级下·河南·期中）如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点D分别作，根据图2得：，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作， 根据图2得：，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标是． 二、填空题 9．（25-26八年级下·重庆·期中）函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 10．（25-26八年级下·北京·期中）A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【答案】 【分析】根据题意，李明与B地的距离等于A，B两地总距离减去李明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意可得，李明骑行的路程为， ∵A，B两地总路程为，为李明与B地的距离， ∴ ， 根据题意得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 11．（25-26八年级下·河南南阳·期中）某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 【答案】80 【分析】根据题意求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，休息后的总路程为：， 休息后到达乙地所用的时间为：， ∴休息以后该车行驶的速度是． 12．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是12，则输入x的值是______． 【答案】或 【分析】根据程序图，分当时，当时两种情况进行讨论即可解答． 【详解】解：当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：， 综上：输入x的值是或． 13．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，记点运动的路程为，的面积为，与的变化关系如图②所示，当时，点运动的路程为_________． 【答案】或 【分析】先结合动点运动过程与面积变化图，求出长方形的长和宽，再分两种情况讨论：点在上运动时、点在上运动时，分别根据三角形面积公式求出路程的值． 【详解】解：当点运动到点时，路程，此时的面积达到最大值24， ， 在长方形中， ①点在上运动时，此时， 符合的范围； ②点在上运动时，此时， 恒为24，不符合题意； ③点在上运动时，此时， 符合的范围， 综上，当时，点运动的路程为或． 三、解答题 14．（25-26八年级下·天津红桥·期中）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)37.5；25 (2) (3)16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，掌握函数的基础知识是解题的关键． （1）基本关系：油箱剩下的油油箱里原有的油行驶过程中耗掉的油，据此可以求解； （2）根据（1）中基本关系即可求解； （3）当油箱中剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油； （2）解：由题意得，； （3）当时，，解得， 即这辆汽车最多能行驶16小时． 15．（25-26八年级下·河北唐山·期中）李明家、体育用品商店和体育馆位于一条直线上．周日上午，李明骑自行车去体育馆游泳．行驶一段时间后发现没带泳镜，于是原路返回到刚刚经过的体育用品商店去购买泳镜，在体育用品商店停留了一段时间．买完泳镜后，李明把骑行速度提高到，恰好按既定时间到达体育馆．如图反映了这个过程中李明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系．请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)李明家到体育用品商店的距离是_______km，体育用品商店到体育馆的距离是_______km： (2)李明在体育用品商店停留的时间为_______min： (3)当时，李明骑行速度为_______km／min； (4)求李明从家到体育馆共用时多少分钟？ 【答案】(1)；2 (2)9 (3) (4) 【分析】（1）根据图象提供的数据，直接得出答案即可； （2）根据图象求出体育用品商店停留的时间即可； （3）根据图象中的数据，结合路程、速度、时间的关系计算即可； （4）求得从商店到体育馆用时即可求解． 【详解】（1）解：由图可知： 李明家到体育用品商店的距离是，体育用品商店到体育馆的距离是； （2）解：李明在体育用品商店停留的时间为：； （3）解：当时，李明骑行速度为：； （4）解：买完泳镜后，从商店到体育馆的路程为，速度为， 这段路程用时：， 总用时：． 16．（25-26八年级下·河北唐山·期中）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 ．．． 0 1 2 3 ．．． 气温 ．．． 20 14 8 2 ．．． (1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点； (3)猜想气温t是海拔高度h的什么函数？并求t与h的函数关系式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降； (2)见解析； (3)； (4)该处的海拔高度是4千米． 【分析】（1）结合表格中的数据作答即可； （2）描点，连线，画图即可； （3）气温t是海拔高度h的一次函数，由表格可知，海拔每上升，气温下降，即可得解； （4）利用（3）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着海拔高度的升高，气温逐渐下降； （2）解：描点，连线，画图如下： （3）解：气温t是海拔高度h的一次函数， 由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）解：令，得， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 17．（25-26八年级下·河北沧州·期中）甲驾驶汽车和乙骑摩托车同时出发沿相同的路线由A地到B地，已知A，B两地相距90千米，如图表示甲、乙行驶的路程s（千米）与经过的时间t（分钟）之间的关系，甲在行驶途中因车辆故障停下检修，修好后，按原速度继续行驶，请根据图象回答下列问题． (1)由图象可知，汽车因故障检修用了__________分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为__________千米/分钟，摩托车的速度为___________千米/分钟； (2)求甲比乙提前多久到达B地； (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，求乙距离B地的路程． 【答案】(1)20；1.5；1 (2)甲比乙提前10分钟到达B地 (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，乙距离B地的路程为30千米 【分析】（1）根据函数图象可直接进行求解； （2）由（1）可求出乙到达B地的时间，然后问题可求解； （3）当汽车检修完毕后，设甲用了x分钟追上了乙，由题意，得：，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知： 汽车因故障检修用了分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为千米/分钟；摩托车的速度为千米/分钟； （2）解：甲总共花费的时间：（分钟）， 乙总共花费的时间：（分钟）， （分钟）． 答：甲比乙提前10分钟到达B地； （3）解：当汽车检修完毕后，设甲用了x分钟追上了乙，由题意，得： ， 解得：， （千米）． 答：汽车检修完毕后，当甲追上乙时，乙距离B地的路程为30千米． 18．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，28 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知P在上时，面积不变，由图3可得出动点Q到达点A所用时间； （2）由图2得出P到B所用时间，由图3得出点Q从点C到点A所用时间，根据时间、路程、速度之间关系即可求解； （3）根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图2，图3即可求解； （4）分情况讨论：和两种情况． 【详解】（1）解：长方形中，，， ， 当动点P在线段上运动时，，保持不变； 由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28； （2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：， ， 解得； 由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ， ， 解得； （3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D， 当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A， 结合图2，3，可得： 当时，，， 令，得：， 解得； 当时，，， 满足， 综上可得，x的取值范围为或； （4）解：设动点P，Q走过的路程为，， 当时， ，， ； 当时， ， ， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1&22.2 函数 【考点梳理】 · 考点一：用表格表示变量间的关系 · 考点二：用关系式表示变量间的关系 · 考点三：用图像表示变量间的关系 · 考点四：函数的概念 · 考点五：函数的解析式 · 考点六：求自变量的取值范围 · 考点七：求自变量的值或函数值 · 考点八：函数的三种表示方法 · 考点九：函数的图像获取信息 · 考点十：函数的动点问题 · 考点十一：函数综合问题 【知识梳理】 知识点1：函数的有关概念 （1） 常量与变量： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 （2）函数与函数值 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 点拨 对于函数的理解应分以下几个方面： (1)函数首先指在一个变化过程中； (2)只能有两个变量； (3)每一个x对应唯一的一个y值，而一个y值不必对应唯一的x值，如函数y=x2中，y是x的函数，每一个x对应唯一的y值，而一个y可以对应不同的x的值。 知识点2：函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体。确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。 (1)当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）。 (2)当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数。 (3)当函数的解析式是开平方的无理数时，自变量取值是使被开方的式子为非负的实数。 (4)当函数解析式中自变量出现零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数。 当函数解析式是上述情况的组合时，自变量的取值范围是其公共部分。 知识点3：函数的解析式 像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法这种式子叫做函数的解析式. 知识点4：函数的图像 (1)函数图像的定义 一般地,对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图像。 (2)描点法画函数图像的一般步骤 第一步:列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步:描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点；; 第三步:连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。 知识点5：函数图像上的点与其解析式之间的关系 (1)函数图像上的任一点的横坐标与纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值;反之,以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图像上。 (2)判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法：将点P的坐标(x,y)代入函数解析式,若满足函数解析式,则这个点就在函数图像上,否则不在函数图像上。 知识点6：函数的表示方法 方法 定义 优点 不足 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法 能明显地呈现出自变量与对应值的函数值 只能列出部分自变量与函数的对应值，难以看出自变量与函数之间的对应规律 解析式法 用含有自变量的代数式表示函数的方法叫做解析式法 简明扼要，规范准确，便于分析推导函数性质 有些函数关系，不能用解析式表示 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法 形象直观，能清晰地呈现函数的一些性质 所画的图像是近似的、局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【题型过关】 题型一：用表格表示变量间的关系 【典例1】．（25-26八年级下·北京·期中）某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 题型二：用关系式表示变量间的关系 【典例2】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）一列高铁列车以的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为，行驶路程为，下列说法正确的是（    ） A．和是常量，是变量 B．是常量，和是变量 C．和是常量，是变量 D．，和都是变量 【变式1】．（25-26八年级下·福建厦门·期中）某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·福建厦门·期中）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（    ） A．C、、R是变量，2是常量 B．C是变量，R、是常量 C．C、R是变量，2、是常量 D．R是变量，C、是常量 题型三：用图像表示变量间的关系 【典例3】．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A．B．C．D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B．C． D． 题型四：函数的概念 【典例4】．（25-26八年级下·广东广州·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏南通·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 【变式2】．（25-26八年级下·山东滨州·期中）有以下关于的等式及图像：①；②；③；④； ⑤，⑥ 其中y是x的函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五：函数的解析式 【典例5】．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段检测）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式及的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型六：求自变量的取值范围 【典例6】．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】．（25-26八年级下·河北沧州·期中）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·北京通州·期中）关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 题型七：求自变量的值或函数值 【典例7】．（25-26八年级下·山东滨州·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下面四个点：，，，．其中在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 题型八：函数的三种表示方法 【典例8】．（25-26八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【变式1】．（22-23八年级下·陕西商洛·期末）声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（    ） 温度：/ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 … A．温度越高，声速越快 B．当空气温度为20时，声速为342 C．声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40时，声速为350 【变式2】．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 题型九：函数的图像获取信息 【典例9】．（25-26八年级下·重庆·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 【变式1】．（25-26八年级下·河北沧州·期中）新情境每年的12月5日为国际志愿者日，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，嘉淇决定前往距家的社区参加志愿者服务活动．嘉淇早上从家出发匀速步行前往目的地，途中进入超市购买了一些清洁工具，从超市出来后步行的速度变为原来的倍，并于准时到达目的地．嘉淇与家的距离与所用时间的关系如图所示，则嘉淇在超市购物用了（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·重庆·期中）《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（    ） A．硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D．溶解度为时，硝酸钾溶液的温度比氯化钾溶液的温度低 题型十：函数的动点问题 【典例10】．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图①，在中，，点P从点A出发沿，以的速度匀速运动至点B，②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，矩形中，对角线，交于点．点和点分别是边，的中点，，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型十一：函数综合问题 【典例11】．（25-26八年级下·北京·期中）小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值，请直接写出：______，______． x … 0 0.5 1 1.5 2 3 4 … y … 5 … (2)在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (3)通过观察分析函数的图象，解决问题： ①由图象可知，当时，对应的自变量x有______个值． ②写出该函数的一条性质______． 【变式1】．（25-26八年级下·广西柳州·期中）阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格、图象及解析式． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 0.5 1 1.5 2 2.5 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______． (2)用图象表示：为更好的研究s随t的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时，______． ②图中点A表示的意义是______ (3)用关系式表示：①设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．求s关于t的解析式． ②利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间______． 【变式2】．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，已知，点分别是射线上两定点，且，动点从点向点运动，以为斜边向右侧作等腰直角，设线段的长，点到射线的距离为． (1)若时，点到射线的距离为______； (2)直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)①请利用列表、描点、连线的方法在图2中画出该函数图象（只画出图象即可，列表不需要体现在解答过程中）； ②结合图象直接写出当时，______；当时，______（结果保留到整数）． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．  B．  C．   D．   2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）某居民小区电费标准为元千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的函数关系式为，则下列说法正确的是（） A．是自变量，是函数 B．是自变量，是的函数 C．是常量，是函数 D．是自变量，是函数 6．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑向处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙同学在8秒时相遇 B．A，B两处的距离是80米 C．其中一位同学的速度为5米秒 D． 8．（25-26八年级下·河南·期中）如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级下·重庆·期中）函数中，自变量的取值范围是__________． 10．（25-26八年级下·北京·期中）A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 11．（25-26八年级下·河南南阳·期中）某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 12．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是12，则输入x的值是______． 13．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，记点运动的路程为，的面积为，与的变化关系如图②所示，当时，点运动的路程为_________． 三、解答题 14．（25-26八年级下·天津红桥·期中）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 15．（25-26八年级下·河北唐山·期中）李明家、体育用品商店和体育馆位于一条直线上．周日上午，李明骑自行车去体育馆游泳．行驶一段时间后发现没带泳镜，于是原路返回到刚刚经过的体育用品商店去购买泳镜，在体育用品商店停留了一段时间．买完泳镜后，李明把骑行速度提高到，恰好按既定时间到达体育馆．如图反映了这个过程中李明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系．请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)李明家到体育用品商店的距离是_______km，体育用品商店到体育馆的距离是_______km： (2)李明在体育用品商店停留的时间为_______min： (3)当时，李明骑行速度为_______km／min； (4)求李明从家到体育馆共用时多少分钟？ 16．（25-26八年级下·河北唐山·期中）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 ．．． 0 1 2 3 ．．． 气温 ．．． 20 14 8 2 ．．． (1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点； (3)猜想气温t是海拔高度h的什么函数？并求t与h的函数关系式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 17．（25-26八年级下·河北沧州·期中）甲驾驶汽车和乙骑摩托车同时出发沿相同的路线由A地到B地，已知A，B两地相距90千米，如图表示甲、乙行驶的路程s（千米）与经过的时间t（分钟）之间的关系，甲在行驶途中因车辆故障停下检修，修好后，按原速度继续行驶，请根据图象回答下列问题． (1)由图象可知，汽车因故障检修用了__________分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为__________千米/分钟，摩托车的速度为___________千米/分钟； (2)求甲比乙提前多久到达B地； (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，求乙距离B地的路程． 18．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $