广西壮族自治区河池市校联体2024-2025学年高一下学期第二次联考（5月）数学试题

2025年春季学期高一年级校联体第二次联考 数学参考答案 1.【答案】D 【详解】z=2i0-)=2i-2=2+2i,所以z的虚部为2.故选：D. 2.【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为1，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则π=2π×2√2，解得1=4√2，故 选：B. 3.【答案】D 【详解】由直线与平面的定义可得直线a不平行于平面B,则直线a与平面B相交或直线a在平面B上.故 选D. 4.【答案】C 【详解】设0为向量a,乃的夹角，因为c0s8=a,6 -6 lallBl lallB' 所以向量a在向量万上的投影向量为 ·cos 五以.a65=-26.故选：C 3 5.【答案】A 【详解】：DD1⊥平面ABCD,.∠D,BD为直线DB与平面ABCD所成的角，在Rt△BDD中， 0 sin∠D,BD= DD 4 2V34 BD, V32+4 17 ~直线DB与平面ABCD所成角的正弦值为2网 7 故选A. 6.【答案】C AP=AD+CD=AD+AB,BP=BC+CP=AD-3AB. 那-而-。丽-60=25.64-60=4 ABAD=18,故选C. 7.【答案】D 【详解】在△MBC中，由正弦定理品血BsC及6(6n4nCO-m8得：V6位小6，由余弦定理 cosB=。+c-B及5242得：=5+2ac.。+c2-B,解得左6，因此有-2c,从而得 2ac 2ac caB-2@+c2-(6@-,则有ng-=5,于是得5uc 2.2c…c 4 2acsin B=15 4c2=25.解得22. 则a4√2，b4√5，所以△4BC的周长为6√2+4√5，故选D 8.【答案】B 【详解】由DC=2AD得AC=3AD,所以A丽=xAB+yAC=xAB+3yAD,因为B,H,D三点共线，所 以x+3y=1(x>0,y>0),所以x=1-3y(x>0,y>0),所以 产0-p+护=0-61=0高的记政r+的小值为哈远： 10 高一数学参考答案第1页共6页 9.【答案】AD 【详解】由题意知，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为5：3：2， 现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到40人， 则402 ”5+3+2解得n=200(人)，故C错误，D正确： 则老年旅客抽到200× ×5+2+3100(人)，故A正确： 5 则中年旅客抽到60人，故B错误.故选AD. 10.【答案】ACD 【详解】对于A:正方体ABCD-ABCD中，易知ADBC, 异面直线AB与AD,所成的角即直线AB与BC所成的角，即∠ABC,而△A1BC为等边三 角形，则∠4BC=骨A正确： 对于B,由中位线可得EF∥AD,在正方体中，易证AD/IBC,所以EF//BC, 又因为EF≠BC,所以截面EBC,F为梯形，故B错误： 对于C,当P为BD中点时，由中位线可得FP/IBD, 因为FPd平面ABC,D,BDC平面ABC,D,所以FP/平面ABC,D,故C正确： 对于D:连接BD,设BDO平面ACD=O,连接AO,B,B⊥平面ABCD, ACC平面AB,CD,即AC⊥BB,又AC⊥BD,BBOBD=B, 有AC⊥平面BDDB,BDC平面BDDB,所以BD⊥AC, 同理可证：BD⊥AD,AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD, 所以BD⊥平面ACD,即BO⊥平面ACD,则B在底面的射影为△A1CD的重心，所以 40-2号95，所0-p-40-3 2,即正四面体A-BDC的 3 33 高为2，D正确、 故选：ACD. IL.【答案】BD cos2 B cos"C-cos2A 1-sin Csin B 1-sinB+1-sin2 C-1+sin24 1-sin Csin B -sin2B-sin2C+sin2A=sin Bsin C,由正弦定理可得-b2-c2+ad=bc, sA=+c2-a2-1 =2,女A∈0，)，·A=F 一三 2bc ,选项A不正确： cos BcosC'结合6 若6 sinBsinc,可得snB=simC 4 cos BcosC,即anB=tanC,又：B,C∈0，x), B=C=胥，△MBC是等边三角形，选项宛正确： Sunc-bcsin4= 4bc=9, -bc=- 2 4 高一数学参考答案第2页共6页 由a2=b+c2-2 be cosA=b+c2-bc≥2bc-bc=bc=9, a≥3，当组仅当b3时等号成立，2R=a=25a≥25，R之5，选项C不确 sinA 3 0<C< ,△ABC是锐角三角形. 台-cgc<mc9 2 6 3 2 sin( 2 cosC 2sc2 tanC e 3 c sinC sinC sinC 3 ,选顿D正确选择BD. 三、填空题 12.【答案】1 【详解】由题可知2a+b=(L,0),∴(2a+b)a=1+0=1 13.【答案】4π 【详解】因为∠BAD=∠BCD=90°，BD的中点为O,且OB=OD=OC=OA: 可知O为三棱锥A'-BCD的外接球球心，即BD为直径， 因此球的半径为1，所以球的表面积为4π. 14.【答案】[2+2V3,+o) 【详解】：P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=120, 设PB=mPA,PC=nPA,PA=x,则m>0,n>0,x>0, PB+PC=tPA,:.m+n=t,0; 因为sinB=sin AcosC,则cos Asin C=0, :sinC≠0：.cosA=0,所以△ABC为直角三角形： 则在△PAc中，MGCf=Pf+Pcf-2 PCs2号=r+mr+=+n+r2: 同理，△PAB中，AB=(m2+m+1)xX2;△PBC中，BC=(m2+n2+mnx2 a2=b+c2,即BC=AB+AC，即(m2+n2+mn)x2=(n2+n+I)x2+(m2+m+l)x2, 化简得m+n+2=m,又m>0n>0,m+n+2=mn≤m+m 4 又m+m=1,即1+2≤行，r-1-820,>0,解得1≥2+25或152-25（含去 高一数学参考答案第3页共6页 m=1 当且仅当 m+n+2=mn ,即m=n=1+√3时取到等号.所以实数t的取值范围为[2+2√3，+0). 故答案为：[2+2√3，+0). 15.【详解】(1)由题，四边形ABB,4为正方形，则AB/1AB…2分 又AB平面ABCD,…3分 ABC面ABCD,…4分 则AB/平面ABCD: …5分 (2)由题意，在正方体ABCD-ABGD中，AB⊥平面BCCB,又B,Cc面BCC,B,则BC⊥AB,6分 又四边形CBBC为正方形，则B,C上BC,…8分 因为B,C⊥BC,BC⊥AB, BC,ABC平面ABCD,BC∩AB=B,…I0分 则BC⊥平面ABCD,,……11分 又因为BCC平面AB,C,……12分 所以平面AB,C⊥平面ABC,D. …13分 16.【答案】)号 吗 【详解】(1)向量a=(3,2),万=(-2,3)，@+2列(8到…2分 则a®（位+26）= -(a+2b）(3,2(1,8--3+16_1 1+645 …6分 (a+2b (-1,8月 （2)(6+oa--+a-.28+a6-6 (2a- 4a-4a-6+6, …9分 =1+a.6 5-4a.64'解得a6= 1 8 …11分 所以cos(a,a-b) a(a-) a-a.b 1 8 aa-同 V8-2a-6+6 1 4 …15分 V2-2x 17.【答案】04-号 23g 【详解】(1)若选① asin C=ccos 则asinC=c 5 …1分 所以由正弦定理sin Asin C=sinC 2 cos 4+sin 4 ……2分 即号sin AsinC=5 2snc0sA· …3分 由Ce(0,π)，A∈(0，π)，得sinC>0,cosA≠0，可得anA=√5，…4分 所以A=交」 3 ……5分 若选② 高一数学参考答案第4页共6页 (a+b+c)(b+c-a)=3bc,b2+c2-a2=bc, …1分 所以由余弦定理cosA=分+2-G 2 …3分 2he 由AQ动，得4 …5分 (2)因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD= …6分 又SAc=S0+S8D, …7分 即besin=x2sin”+ ……8分 32 ×2csin 62 整理得√3hc=2(b+c). …9分 又由余弦定理d2=b2+c2-2bc0sT=b2+c2-bc,得9=(b+c}-3hc,…10分 因为5bc=2(b+c), 2 所以bc三5h+C小…… …11分 所以9-c-派e,即(6c-46c-2=0,解得c=6或c=-2(舍去)，…13分 所以△ABC的面积为S△Ac= besinx 小…5分 22 18.【答案】(1)10N34m (2)5503m210N22m(不写单位不扣分) 【详解))S.D=)BC-CD.sinC=)×20x302 xsinC=300,解得sC=互 …1分 由C是钝角，得cosC。- …3分 2 BD=√BC2+CD2-2BC·CD-cosC= 202+(30W2-2×20×30W5 1034,…5分 所以需要修建10√34m的隔离防护栏. …6分 （2)低思意得，Sm8C,CD:shCs兮aC.CD=30N5, …8分 当且仅当C=时取到等号，此时BD=10W22,…9分 AD 设∠ABD=a,ae0,动，在△ABD中，Sna AB -BD-2066 π3 …10分 3 sin(。r-a)sin。 3 9m=0Bn4-2 3 sinasin(a)2200 3 6sina -cosa+ 22005,N in2a+1.1-cos2g)=1005 -sin2a+ …13分 3 4 22 3 +sin(2a 由g（0,2π)，得2a-6∈（-石6， 6’6 ………14分 令=2a一石因为y=m在（一石受上单调递增，在（受7）上单调递减，…15分 62 26 以当2a-无=，即a=时，(S40)心=5505m2,16 此时AB=BD=10W22m.… …17分 高一数学参考答案第5页共6页 19.【答案】(1)证明见解析 (2)3V22 (3)3. 11 【详解】D在直角梯形ABCD中，因为∠ABC=∠BD-受故DALAR,BC⊥4B,因为EF∥BC, 故EF⊥AB, …1分 所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE,EF⊥BE,…2分 而AE门BE=E,AE,BEC平面ABE,…3分 所以EF⊥平面ABE。…4分 (2)设点E到平面ABF的距离为d, 因为平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFDO平面EBCF=EF, 由(I)得EF⊥AE,AEC平面AEFD,所以AE⊥平面BEF, 因为F=BC+AD)3,所以BF-AP而 SmEF=3,Sw4Bh=反 ，…6分 m=w3x2=x2xd. …7分 ÷d.3W②，“点E到平面ABF的距离为 ….8分 11 11 (3)如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF且交EF于G. 在平面DBF中，过D作DH⊥BF且交BF于H,连接GH. B" 因为DG⊥EF,EF⊥AE,所以DG//AE,…9分 因为AE⊥平面EBCF,所以DG⊥平面EBCF,…10分 因为BFC平面EBCF,故DG上BF,…1分 而DG∩DH=D,故BF⊥平面DGH,…12分 又GHC平面DGH,故GH⊥BF, …13分 所以∠DHG为二面角D-BF-E的平面角，……I4分 在平面AEFD中，因为AE⊥EF,DG⊥EF,故AE∥DG, 又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF=8C+AD)=3, 故EF∥AD,故四边形AEGD为平行四边形，故DG=AE=2,GF=1,…15分 在直角△BEF中，因为m∠8E-架子所以如∠BFE=后，所以GH-0F血∠BE- 2 EF 3 …16分 放tan∠DHG-D儿==√13. GH 2 …17分 √3 高一数学参考答案第6页共6页高一数学 第 1 页 共 4页 2025年春季学期高一年级校联体第二次联考 数 学 （本试卷满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．若复数 z满足 2i(1 i)z   ，则 z的虚部为 A． i2 B． i2 C． 2 D．2 2．已知圆锥的底面半径为2 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长 A． 2 B． 4 2 C． 4 D． 2 2 3．若直线 a不平行于平面  ，则下列结论成立的是 A．平面  内所有直线都与 a是异面直线 B．平面  内不存在与 a平行的直线 C．平面  内所有直线都与 a相交 D．直线 a与平面  有公共点 4．若向量 ,a b  满足， 3 6b a b      ， ，则 a在 b  上的投影向量是 A． 1 2 b  B． 1 3 b  C． 2 3 b  D． 2 3 b  5．如图所示，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 3AB  ， 1 4AA  ，则直线 1D B 与平面 ABCD所成角的正弦值为 A． 2 34 17 B． 34 17 C． 2 2 3 D． 3 34 34 6．已知在平行四边形 ABCD中， 8 5AB AD ， ，在直线CD上有点P满 足 3 4CP PD AP BP       ， ，则 AB AD   的值为 A．9 B．－18 C．18 D．－9 7．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 6（sinA-sinC）=sinB，a2=5c2+2accosB， 且△ABC的面积为 2 15，则△ABC的周长为 A．A.6 2 6 B．B.6 15 4 C．C.2 15 4 3 D．D.6 2 4 3 高一数学 第 2 页 共 4页 8．在△ABC中， 2DC AD   ，点 H 在线段 BD上（不含端点），且 AH xAB yAC     ，则 2 2x y 的 最小值是 A． 1 5 B． 1 10 C．1 D．2 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑 规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交 通途径．某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅 客的比例为5:3: 2，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取 n名，若抽到青年旅客 40人，则 A．抽到老年旅客 100人 B．抽到中年旅客 20人 C． 400n  D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过 200 10．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2 ，E，F 分别是 AD， 1DD 的中点，点 P是底面 ABCD 内一动点，则下列结论正确的是 A．异面直线 1A B与 1AD 所成的角是 π 3 B．过 B， E， F 三点的平面截正方体所得截面图形是菱形 C．存在点 P，使得 FP∥平面 1 1ABC D D．正四面体 1 1A BDC 的高为 2 6 3 11．在△ABC中，角 A，B，C对边分别是 a，b，c，且 2 2 2cos cos cosB C A  1 sin sinC B  ， 则下列说法正确的有 A． 2 3 A   B．若 cos cos b c B C  ，则△ABC是等边三角形 C．若△ABC的面积为 9 3 4 ，则△ABC的外接圆半径的最小值为2 3 D．若△ABC是锐角三角形，则 b c 的取值范围是 1( ,2) 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．向量  1, 1a    ，  1,2b    ，则  2a b a     __________． 13．在矩形 ABCD中， 1, 3AB BC  ，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A BD ， 连接 A C 得到三棱锥 A BCD  ，在翻折过程中，三棱锥 A BCD  外接球的表面积为__________． 高一数学 第 3 页 共 4页 14．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当△ABC的三个内角均小于120时， 若其内部的点 P满足 120APB BPC CPA      ，则称 P为△ABC的费马点；当△ABC有一 个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点．已知△ABC的内角 , ,A B C 所对的边分别 为 , ,a b c，若 sin sin cosB A C ，设 P为△ABC的费马点， 0PB PC t PA   ，则实数 t的取值 范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D ．求证： （1） 1 1AB ∥平面 1 1ABC D ； （2）平面 AB1C平面 1 1ABC D ． 16．（15分）对任意非零向量m n ， ，定义 2 mm nn n        ． （1）若向量    3,2 , 2,3a b     ，求  2a a b    的值； （2）若单位向量 ,a b   满足     12 4a b a b        ，求向量 a  与 a b   的夹角的余弦值． 17．（15分）已知在△ABC中，角 A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，在① πsin cos 6 a C c A      ； ②    3a b c b c a bc     ．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线 处）______． （1）求 A； （2）若 3a  ， BAC 的角平分线与 BC相交于点D，且 2AD  ，求△ABC的面积． 高一数学 第 4 页 共 4页 18．（17分）某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图 ABCD所示．为考虑露营客人娱乐 休闲的需求，在四边形 ABCD区域中，将三角形 ABD区域设立成花卉观赏区，三角形 BCD区 域设立成烧烤区，在边 AB、BC、CD、DA修建观赏步道，在对角线 BD修建隔离防护栏，其中 20CD  米， 30 2BC  米， π 3 A  ． （1）如果烧烤区是一个占地面积为 300平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形 ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大， 再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及 AB的长度． 19．（17分）已知如图甲，在梯形 ABCD中，AD BC∥ ， π 2    ABC BAD ， 2 4AB BC AD   ， E，F分别是 AB，CD的中点，EF BC∥ ，沿 EF将梯形 ABCD翻折，使平面 AEFD 平面 EBCF （如图乙）． （1）证明： EF 平面 ABE； （2）求点 E到平面 ABF的距离； （3）求二面角D BF E  的正切值．