精品解析：广东省深圳市龙华中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024—2025学年 下学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人：李桂兰 审题人：马爽 本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分.考试用时150分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的求导公式计算即可. 【详解】， 故选：B. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项，令的幂指数等于，解出，代入即可求解. 【详解】的展开式的通项为：， 令，解得，此时，所以常数项为. 故选：C. 3. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 5. 深圳市不仅科技创新发达，文化娱乐资源也十分丰富.现有甲、乙、丙三位市民，准备从世界之窗、欢乐谷、锦绣中华民俗村、东部华侨城等四个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三个人中恰有两人选择同一景点的概率是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算出位游客分别从四个景点中随机选择一个的总的情况，再计算出恰有两个人选择同一景点的情况，根据古典概型有概率为，即可求解． 【详解】三位游客分别从四个景点中随机选择一个，共有种情况； 三人中恰有两人选择同一景点的情况， 可以先从三位游客中选择两个人去同一个景点，有3种不同的方法，景点有4种选择， 最后剩下的游客有3种选择， 所以三人中恰有两人选择同一景点的总情况为：种， 所以恰有两人选择同一景点的概率为． 故选：B． 6. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 7. 有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ） A. 甲和乙相互独立 B. 甲和丙相互独立 C. 甲和丁相互独立 D. 丁和丙相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义可得答案. 【详解】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 8. 若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后分的取值范围讨论函数的单调性，当，求出函数的隐零点，即可求出极大值点从而得到，再次构造函数，利用导数分析单调性可得. 【详解】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的二项式系数和为64，则（） A. B. 常数项是第4项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项，组合数，赋值法逐项判断即可． 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B正确； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D错误． 故选：ABC． 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件＂零件为第台车床加工＂，事件＂零件为次品＂， 则， ，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 与的图象有且仅有一个交点 B. 函数在其定义域上单调递增 C. 若方程有实数根，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A，C，利用特殊值判断B，由A选项可知恒成立，当且仅当时取等号，从而得到，即可判断D. 【详解】对于A：令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即有且仅有一个零点，所以与的图象有且仅有一个交点，故A正确； 对于B：，定义域为， 当时，当时， 所以在定义域上不可能单调递增，故B错误； 对于C：若方程有实数根，即与有交点， 由A可知在上单调递减，在上单调递增， 且，当时， 所以，故C正确； 对于D：由A可知恒成立，即恒成立， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即，即， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项分前面括号内取1和分别求解即可. 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 13. 若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出.设出公共切点的坐标，根据已知列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，定义域为 则有． 设公共切点的坐标为，则，， ，． 根据题意，有. 由可得，，解得（舍去）或. 由可得， 代入可得，. 故答案为：. 14. “四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将四进制数转换为十进制形式，由该数能被3整除转化为能被3整除，根据该四进制数数字的所有可能组合，分类计算符合要求的数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】设，则4位四进制数转换为十进制为： ， 若这个数能被3整除，则能被3整除. 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由3组成时，有1个； 当这个四进制数由，，，组成时，有4个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有4个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个. 因为由，，，组成的4位非零四进制数共有个， 所以能被3整除的概率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将四进制转化为十进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）依题意有，据此求解即可； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值． 【小问1详解】 由题可知，，解得． 此时， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值．所以． 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增． 又因为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为． 16. 某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 （1）从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； （2）课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识能求出从这18名研究员中随机选出两名，两人来自同一实验室的概率； （2）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出，，，由此能求出的分布列和． 【小问1详解】 ＂从这 18 名研究员中随机抽取两人合作实验，两人来自同一实验室＂记作事件 ， 则 【小问2详解】 的所有可能取值为 ． ，，. 的分布列为： 0 1 2 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的值； （2）函数在区间上存在零点，求的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值； （2）对函数求导，研究函数在区间的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间即可求参数值. 【小问1详解】 因为曲线在处的切线方程为，所以切点为， 所以，得； 【小问2详解】 由（1）得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，又， 所以在区间上存在一个零点，此时， 因为，， 所以在区间上存在一个零点，此时， 综上，或． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 函数，定义域为，， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 有极小值，无极大值； 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，， 不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而， 则存在，使，即， 此时， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 19. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可； （2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和； ②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值. 【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； 记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； （2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即 ， 利用等比数列求和公式即可得 ； ②由题可知，的取值依次为， 当时，， 由数学期望的定义和①中的概率公式可知， ， 设， 由错位相减法可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024—2025学年 下学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人：李桂兰 审题人：马爽 本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分.考试用时150分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. 10 C. D. 20 3. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 深圳市不仅科技创新发达，文化娱乐资源也十分丰富.现有甲、乙、丙三位市民，准备从世界之窗、欢乐谷、锦绣中华民俗村、东部华侨城等四个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三个人中恰有两人选择同一景点的概率是（） A. B. C. D. 6. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ） A. 甲和乙相互独立 B. 甲和丙相互独立 C. 甲和丁相互独立 D. 丁和丙相互独立 8. 若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的二项式系数和为64，则（） A. B. 常数项是第4项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A. B. C. D. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 与的图象有且仅有一个交点 B. 函数在其定义域上单调递增 C. 若方程有实数根，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则_______． 14. “四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 （1）从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； （2）课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的值； （2）函数在区间上存在零点，求的值． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $