2026年广东省广州市第六中学数学学业水平仿真模拟卷

**基本信息** 这份初中数学二模模拟卷以文化传承（如“孔子周游列国”行程问题）和科技情境（如扫地机器人路径建模）为载体，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，考查学生抽象能力、推理意识和模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形性质、行程问题、几何体三视图等|第9题“蚊香”圆弧规律探究，考查空间观念与创新意识| |填空题|6/18|多项式次数、二次函数与圆综合等|第16题几何结论多选项判断，体现推理能力| |解答题|9/72|概率计算、尺规作图、“切接圆”新概念等|24题定义“切接圆”探究，25题四边形动态问题，注重数学思维与应用|

初中数学学业水平仿真模拟卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 2. 若，与互为余角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项的尺规作图，能推出的是（ ） A B C D 6. “孔子周游列国” 是流传很广的故事。有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站的书院参观，学生们步行出发，后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的倍，孔子和学生们同时到达书院。设学生们步行的速度为每小时，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为某校数学社团用数学软件制作的 “蚊香”。画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第二段圆弧）；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的 “蚊香” 恰好有六段圆弧时，“蚊香” 的总长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图 1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿折线运动至点停止，若点，同时出发运动了，记的面积为，且与之间的函数关系的图象如图 2 所示，则图象中的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 的倒数是_________ 12. 函数的自变量的取值范围是_________ 13. 多项式的次数是_________ 14. 五边形的内角和度数为_________ 15. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，（在第一象限）恰好经过，，三点，且的弦心距为，则的值为_________ 16. 如图，在中，，，，垂足为点，点，为，上的点，，连接，，，有如下结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 若，则。 上述结论中，所有正确的结论的序号是_________ 三、解答题（本大题共 9 小题，其中第 17、18 题各 4 分，第 19、20 题各 6 分，第 21 题 8 分，第 22、23 题各 10 分，第 24、25 题各 12 分，共 72 分） 17. 解不等式： 18. 解方程： 19. 一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，。现规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数。 (1) 用列表或画树状图的方法列出所有可能的两位数； (2) 从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于且小于的概率。 20.图 1、图 2、图 3 均是的正方形网格。每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点，，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹。 (1) 在图 1 中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点； (2) 在图 2 中画出，使与关于点成中心对称； (3) 在图 3 中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使。 21. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式：，：，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题。 (1) 嘉嘉：求的最小值； (2) 琪琪：若的值为正整数，求整数的值。 22. 【问题提出】(1) 如图，等边三角形的边长为，将绕点顺时针旋转到，，，三点共线，连接，则的长为_________； 【问题解决】(2) 如图 2，有一个圆心角为，半径为的扇形舞台。现要在边，上确定两点，，使得，并在，之间拉上幕布。为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的上找一点来安装一照明角为（即）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布。若要使幕布的长最短，则的长应为多少米？并求此时灯光照亮的舞台面积（即的面积）。 23. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野。如图 1 为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成。 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系。因此，将该扫地机器人视作半径为的圆，圆心为，该小组以充电设备为原点，建立如图 2 的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心的运动路径。 【问题解决】(1) 若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； (2) 在 (1) 条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物？ (3) 在 (1) 条件下，若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标。 24. 【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的 “切接圆”，如图 1，，经过点，并与点的对边相切于点，则该就叫做的切接圆。根据上述定义解决下列问题： 【理解应用】(1) 已知，中，，， ① 如图 2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的 “切接圆” 吗？请说明理由； ② 在图 3 中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的 “切接圆” 时，求的半径（直接写出答案）； 【思维拓展】(2) 如图 4，中，，，把放在平面直角坐标系中，使点落在轴上，边落在轴上。试说明：以抛物线图象上任意一点为圆心都可以作过点的的 “切接圆”。 25. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点。 (1) 如图 1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2) 如图 2，四边形是平行四边形，，，，，连接，作交于点，连接，求的值； (3) 如图 3，四边形是菱形，，，连接交于点，是边上的一点，，若，求的长。 解析卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 2. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 答案：D 3. 若，与互为余角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 答案：B 4. 下列运算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 6. 下列选项的尺规作图，能推出的是（ ） A B C D 答案：D 7. “孔子周游列国” 是流传很广的故事。有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站的书院参观，学生们步行出发，后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的倍，孔子和学生们同时到达书院。设学生们步行的速度为每小时，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：B 8. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（ ） A. B. C. D. 答案：C 10. 如图为某校数学社团用数学软件制作的 “蚊香”。画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第二段圆弧）；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的 “蚊香” 恰好有六段圆弧时，“蚊香” 的总长度是（ ） A. B. C. D. 答案：B 11. 如图 1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿折线运动至点停止，若点，同时出发运动了，记的面积为，且与之间的函数关系的图象如图 2 所示，则图象中的值为（ ） A. B. C. D. 答案：B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 12. 的倒数是_________ 答案： 13. 函数的自变量的取值范围是_________ 答案： 14. 多项式的次数是_________ 答案： 15. 五边形的内角和度数为_________ 答案： 16. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，（在第一象限）恰好经过，，三点，且的弦心距为，则的值为_________ 答案：或 17. 如图，在中，，，，垂足为点，点，为，上的点，，连接，，，有如下结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 若，则。 上述结论中，所有正确的结论的序号是_________ 答案：①②③ 三、解答题（本大题共 9 小题，其中第 17、18 题各 4 分，第 19、20 题各 6 分，第 21 题 8 分，第 22、23 题各 10 分，第 24、25 题各 12 分，共 72 分） 18. 解不等式： 答案： 移项得： 合并同类项： 系数化为： 19. 解方程： 答案： 移项得： 开平方： 解得：或 20. 一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，。现规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数。 (1) 用列表或画树状图的方法列出所有可能的两位数； (2) 从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于且小于的概率。 答案： (1) 见解析； (2) 解析：(1) 列表如下： 共有种等可能结果。 (2) 算术平方根大于且小于，即数大于且小于， 符合条件的有，共种。 概率。 20.图 1、图 2、图 3 均是的正方形网格。每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点，，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹。 (1) 在图 1 中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点； (2) 在图 2 中画出，使与关于点成中心对称； (3) 在图 3 中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使。 答案： (1) 作关于的对称点，连接、得，作关于的对称点； (2) 分别作、、关于的对称点，连接得； (3) 连接并延长交于，则。 22. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式：，：，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题。 (1) 嘉嘉：求的最小值； (2) 琪琪：若的值为正整数，求整数的值。 答案： (1) ，最小值为。 (2) 为正整数，或，解得或。 23. 【问题提出】(1) 如图，等边三角形的边长为，将绕点顺时针旋转到，，，三点共线，连接，则的长为_________； 【问题解决】(2) 如图 2，有一个圆心角为，半径为的扇形舞台。现要在边，上确定两点，，使得，并在，之间拉上幕布。为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的上找一点来安装一照明角为（即）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布。若要使幕布的长最短，则的长应为多少米？并求此时灯光照亮的舞台面积（即的面积）。 答案： (1) ； (2) ， 解析： (1) 旋转得，，由余弦定理，。 (2) 中，，，，最短即最短。 将绕顺时针旋转得，，，。 时最小为，即。 ，， 。 24. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野。如图 1 为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成。 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系。因此，将该扫地机器人视作半径为的圆，圆心为，该小组以充电设备为原点，建立如图 2 的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心的运动路径。 【问题解决】(1) 若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； (2) 在 (1) 条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物？ (3) 在 (1) 条件下，若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标。 答案： (1) ； (2) 不会触碰； (3) 或 解析： (1) 设解析式，代入得，故。 (2) 直线：，联立，解得，，即。 ，故不会触碰。 (3) 直线：，设，。 ，解得或， 故或。 25. 【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的 “切接圆”，如图 1，，经过点，并与点的对边相切于点，则该就叫做的切接圆。根据上述定义解决下列问题： 【理解应用】(1) 已知，中，，， ① 如图 2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的 “切接圆” 吗？请说明理由； ② 在图 3 中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的 “切接圆” 时，求的半径（直接写出答案）； 【思维拓展】(2) 如图 4，中，，，把放在平面直角坐标系中，使点落在轴上，边落在轴上。试说明：以抛物线图象上任意一点为圆心都可以作过点的的 “切接圆”。 答案： (1) ① 是。，过作于，，，，故切于，且过，是切接圆。 ② 半径为或。 (2) ，，，设抛物线上点， ， 到（轴）距离为，故过且切，是切接圆。 26. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点。 (1) 如图 1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2) 如图 2，四边形是平行四边形，，，，，连接，作交于点，连接，求的值； (3) 如图 3，四边形是菱形，，，连接交于点，是边上的一点，，若，求的长。 答案： (1) 证明见解析； (2) ； (3) 解析： (1) 连接，正方形中，，，，故。 (2) ，，，过作交于，，，。 ，得，， ，。 (3) 菱形，，，设，证，，， ，解得。 ，，，， 是中点，，。 学科网（北京）股份有限公司 $