精品解析：福建龙岩市一中锦山学校2025～2026学年第二学期九年级数学第二次阶段测试

2025-2026学年第二学期九年级数学第二次阶段测试 一、单选题 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值、有理数乘方、二次根式的化简计算，逐项判断即可． 【详解】对选项A：，，故A不是负数； 对选项B：，故B不是负数； 对选项C：∵2015是奇数，负数的奇次幂为负数， ∴，故C是负数； 对选项D：，故D不是负数． 2. 邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：4400万． 3. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解：． 故选：． 5. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6 【答案】C 【解析】 【分析】由方差的计算公式得出这组数据为8、6、9、6、11，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义求解即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11， 所以平均数=(6+6+8+9+11) ÷5=8； 众数是6； 中位数为8； 方差=3.6． 所以A、B、D正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数、众数和平均数的定义． 6. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】“零和点”在直线上，将代入各函数解析式，判断方程是否有实数解，无实数解即为不存在“零和点”. 【详解】解：A、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； B、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； C、 对于，令，整理得，，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； D、 对于，令，，两边同乘得，即，方程无实数解，不存在“零和点”，符合题意. 8. 如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（ ） A. 111° B. 130° C. 172° D. 170° 【答案】C 【解析】 【分析】中，点为的内心，可求出CAI的度数，根据四边形AIDC的内角和即可得出结论． 【详解】解：在中，， BAC＝180－42－58＝80 点为的内心， CAI＝BAI＝＝40 四边形AIDC的内角和180（4－2）＝360，且 ＝360－－－CAI＝360－90－40－58＝172 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义及多边形的内角和，牢固掌握相关概念是解题的关键． 9. 函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 10. 如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，根据正方形的性质得出，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标． 【详解】解：设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得或， ∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，求得E、F的坐标是解题的关键． 二、填空题 11. 请写出一个函数的表达式，使其图像分别与轴的负半轴、轴的负半轴相交：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数的解析式为，由其图像分别与轴的负半轴、轴的负半轴相交可得，写出符合此条件的函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 一个函数的表达式，使其图像分别与轴的负半轴、轴的负半轴相交， ， 符合条件的函数解析式可以为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． 12. 若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为________．（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 13. 若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2，则这个多边形的边数是________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，可得此多边形的内角和是，再由n边形的内角和是可得关于n的方程，求解后即可求出边数n． 【详解】解：设这个多边形是n边形，∵多边形内角和与外角和的比为9∶2， ∴， 解得n＝11． ∴此多边形的边数为11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式将问题转化为解方程的问题解决． 14. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15. 如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，……得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴， ∵， 当时，，即，即， ∴． 16. 如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，    则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算．根据相关计算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 20. 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中． （1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果， 所以摸出的盒子中是型矩形纸片的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果， 所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为． 【点睛】考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 在中，． （1）尺规作图：分别在，，边上作，，，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角先想到作的平分线交于点，再由菱形的对角线互相垂直平分想到作的垂直平分线，交于点，交于点，则四边形就是所求的菱形； （2）设，则，由相似三角形的性质可得，再由勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 解得， ∴， ∴． ∵且， ∴是菱形以为底的高， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的作法、相似三角形的性质、勾股定理的应用等，熟知相关性质定理是解题的关键． 22. 某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． （1）如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； （2）如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）可行 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 24. 【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 问题发现 （1）如图①，已知中，，点在上，连接、，则___________； 问题探究 （2）如图②，已知是的中线，点在上，连接，且，若，求的长度； 问题解决 （3）如图③，四边形是某小区的一块空地，其中米，米，，，，物业准备在空地内找一点，分别修建四条小道、、、（小道的宽度不计），并在内分别种植不同的花卉，为生活娱乐区，根据物业公司规划要求，，且小道与的比值尽可能小．是否存在满足要求的点？若存在，请找出点的位置，并计算的最小值，以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点是为直径的圆与的交点，，此时的面积为平方米 【解析】 【分析】（1）勾股定理求得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据正弦的定义，即可求解； （2）连接，根据已知可得四点共圆，证明，列出比例式，解方程，即可求解； （3）如图过点作于点，连接，根据已知可得在正方形的外接圆上运动，设圆心为，延长交于点，连接，证明得出，当为圆的直径时，即重合时，取得最小值；过点作交的延长线于点，得出，，证明得出，进而可得，的长，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，是的中线， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：如图过点作于点，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， 则， ∵， ∴在正方形的外接圆上运动，设圆心为，连接， ∵， ∴， 延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当为圆的直径时，即重合时，取得最小值， ∴， ∴， 此时如图所示， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴三点共线，即在上， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方米， 答：点是以为直径的圆与的交点，，此时的面积为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学第二次阶段测试 一、单选题 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6 6. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（ ） A. 111° B. 130° C. 172° D. 170° 9. 函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 请写出一个函数的表达式，使其图像分别与轴的负半轴、轴的负半轴相交：________． 12. 若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为________．（结果保留π）． 13. 若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2，则这个多边形的边数是________． 14. 如图，与交于点，且．若，则__________． 15. 如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 16. 如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 三、解答题 17. 计算：． 18. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 19. 解不等式组： 20. 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中． （1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）． 21. 在中，． （1）尺规作图：分别在，，边上作，，，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 22. 某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． （1）如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； （2）如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 24. 【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 25. 问题发现 （1）如图①，已知中，，点在上，连接、，则___________； 问题探究 （2）如图②，已知是的中线，点在上，连接，且，若，求的长度； 问题解决 （3）如图③，四边形是某小区的一块空地，其中米，米，，，，物业准备在空地内找一点，分别修建四条小道、、、（小道的宽度不计），并在内分别种植不同的花卉，为生活娱乐区，根据物业公司规划要求，，且小道与的比值尽可能小．是否存在满足要求的点？若存在，请找出点的位置，并计算的最小值，以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $