精品解析：2025年福建省龙岩市九年级下学期第二次模拟考试数学试题

龙岩市2025年中考适应性练习 数学（二） （答题时间：120分钟 满分：150分） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑在本试卷上答题无效． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 7. 为了提升学生的人文素养，某校九年级1班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 众数为85分 B. 中位数为88分 C. 平均数为81分 D. 方差为0 8. 如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则 ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当它的最快移动速度时，其载重后总质量_________． 14. 在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是化学变化的概率是_________． 15. 如图，中，，，以为直径作半圆 ，交，于点D，E．若，则的长为_________（结果保留 ） 16. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． （1）把八进制数换算成十进制数是_________； （2）小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 21. 如图，已知中，． （1）求作 ，使圆心在边中点，且 与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：是 的切线． 22. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，9月3日全国各地将举行有关纪念活动．为了解初中生对抗战历史的知晓情况，励志中学课外兴趣小组在本校学生中开展了“勿忘国耻，强国有我”专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，其中A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”，调查的数据经整理后形成不完整的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）： （1）在这次抽样调查中，一共抽查了__________名学生； （2）请把图①中的条形统计图补充完整； （3）图②的扇形统计图中D类部分所对应扇形的圆心角的度数为__________； （4）如果励志中学共有初中学生2800名，请你估算该校初中学生中对抗战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 23. 综合与实践 【活动主题】数学实验课上，小聪以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动． 【问题情境】两张全等三角形纸片与如图1放置（点F，D，E分别与点A，B，C重合），已知中，，．固定不动，将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，设线段 交于点P，线段分别交，于点G，Q，如图2． 【观察发现】（1）当旋转到时，旋转角的度数为_________； 【实践探究】（2）在绕点A逆时针旋转的过程中，小聪发现，请帮小聪证明这一结论． 【拓展延伸】（3）在绕点A逆时针旋转的过程中，当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 24. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式． （2）已知点D是抛物线上位于第三象限内的一个动点，过点D作轴于点E，连接交于点F设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②连接交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，正方形中，点 在对角线上，过点 作于 ，交边于点 ，连接 ． （1）求的度数； （2）如图，过点 作于，求证：； （3）如图，若 交于点，，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点 是边的中点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市2025年中考适应性练习 数学（二） （答题时间：120分钟 满分：150分） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑在本试卷上答题无效． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接， 则相交于一点O， ∴这两个三角形的位似中心是点O． 故选：B． 7. 为了提升学生的人文素养，某校九年级1班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 众数为85分 B. 中位数为88分 C. 平均数为81分 D. 方差为0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．分别根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可． 【详解】解：将数据重新排列76，82，85，85，86，88，90， A、众数为85分，此选项符合题意； B、中位数为85分，此选项不符合题意； C、平均数为分，此选项不符合题意； D、方差为，此选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，是菱形 的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键． 【详解】解：连接， 于点E，E为的中点， ， 四边形 是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则 ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 10. 如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接 ，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，，得出四边形是矩形．由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质进一步推出是等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，， ∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：D． 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当它的最快移动速度时，其载重后总质量_________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，得． ∴ 故答案为：80． 14. 在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是化学变化的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 【详解】解：设这四个卡片分别为：A，B，C，D，画树状图得： ∴一共有12种等可能的情况，抽出的生活现象都是化学变化的有2种情况， ∴抽出的生活现象都是化学变化的概率是． 故答案为． 15. 如图，中，，，以为直径作半圆，交 ，于点D，E．若，则的长为_________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理求出，由等弧所对的圆周角相等得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，得出半径等于9，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴则的长为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，求弧长，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 16. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用对称轴公式得出对称轴为，由知开口向下，令求出与 轴交点为和．由，得点在 轴上方，即，推出．由且开口向下，知点到对称轴距离小于点到对称轴距离，结合得，通过距离公式，解得．联立确定． 【详解】在抛物线中，对称轴为： ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随 的增大而增大，在对称轴右侧随 的增大而减小， 令，即，， 解得，， ∴抛物线与 轴交点为和． ∵点，，且． ∵， ∴点在 轴上方，即， 解得． 又∵，且抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随 增大而增大，在对称轴右侧随 增大而减小， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，且两点都在 轴上方． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，且． 由，化简得， 解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算．根据算术平方根定义，零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先说明，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先将括号内的通分计算，再把除法转换为乘法，约分得最简结果，化简后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． （1）把八进制数换算成十进制数是_________； （2）小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 21. 如图，已知中，． （1）求作，使圆心在边中点，且与边 相切于点 ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：是的切线． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：过作于点 ， ∵与边 相切于点 ， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，切线的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作角平分线，交于点，然后过作 的垂线，以为半径作圆即可； （）过作于点 ，由与边 相切于点 ，则，由作图可知平分，所以，然后根据切线的判定方法即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，9月3日全国各地将举行有关纪念活动．为了解初中生对抗战历史的知晓情况，励志中学课外兴趣小组在本校学生中开展了“勿忘国耻，强国有我”专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，其中A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”；D类表示“不太了解”，调查的数据经整理后形成不完整的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）： （1）在这次抽样调查中，一共抽查了__________名学生； （2）请把图①中的条形统计图补充完整； （3）图②的扇形统计图中D类部分所对应扇形的圆心角的度数为__________； （4）如果励志中学共有初中学生2800名，请你估算该校初中学生中对抗战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 【答案】（1）200 （2） 条形统计图补充完整如下： （3） （4）1680 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和频数（率）分布表，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用的信息． （1）利用A类的人数除以A类人数所占的百分比即可得这次调查的总人数； （2）用总人数乘C类人数所占的百分比即可求得C类的人数，在条形统计图上画出即可； （3）用D类的人数除以总人数再乘以360°即可得D类部分所对应扇形的圆心角的度数； （4）利用对抗战“非常了解”和“比较了解”的学生人数除以这次抽查的人数，先计算出对抗战“非常了解”和“比较了解”的学生所占的比例，再用总人数乘以这个比例即可得出校初中学生中对抗战历史“非常了解”和“比较了解”的学生人数． 【小问1详解】 解：， 则一共抽查了200人． 故答案为：200； 【小问2详解】 解：C组的人数为： 【小问3详解】 解：，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人） 答：该校初中学生中对抗战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有1680名． 23. 综合与实践 【活动主题】数学实验课上，小聪以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动． 【问题情境】两张全等三角形纸片与如图1放置（点F，D，E分别与点A，B，C重合），已知中，，．固定不动，将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，设线段交于点P，线段分别交，于点G，Q，如图2． 【观察发现】（1）当旋转到时，旋转角的度数为_________； 【实践探究】（2）在绕点A逆时针旋转的过程中，小聪发现，请帮小聪证明这一结论． 【拓展延伸】（3）在绕点A逆时针旋转的过程中，当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 【答案】（1） （2）证明：∵， 即：， 在和中， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形＂三线合一＂可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）分成，及，根据，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； 【详解】（1）∵， 故答案为：； （2）略 （3）（1）如图1， 当时，， 如图2， 当时， 如图3， 当时，， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． 24. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式． （2）已知点D是抛物线上位于第三象限内的一个动点，过点D作轴于点E，连接交于点F设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②连接交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②存在，最大值为 【解析】 【分析】对于（1），将点代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），①先设点，再求出直线的关系式，进而表示出，，根据得出方程，求出解即可； ②设点，且，则点，可表示出，接下来得出，再将式子代入得出二次函数，然后讨论极值可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解：①如图，根据题意可知点，且， 则点， 当时，， ∴点． 设直线的关系式为， 根据题意得，， 解得， ∴直线的关系式为， ∴点， ∴，． ∵， ∴， 解得（舍去），； ②如图所示，根据题意可知点，且，则点， ∴． ∵，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，S的最大值是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数关系式，求二次函数的极值，理解用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 25. 如图，正方形 中，点 在对角线上，过点 作于 ，交边于点，连接． （1）求的度数； （2）如图，过点作于，求证：； （3）如图，若交于点 ，，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过 作，交于点 ，则， 由（）得，，， ∴， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）的面积为 【解析】 【分析】（）过 作，交于点 ，则，由正方形性质可得，，故有，则四边形是矩形，所以，，再证明，故，然后由等边对等角即可求解； （）过 作，交于点 ，则，由（）得，，，则有，再证明，又，从而证明，则有，然后通过勾股定理求出，，然后代入即可求证； （）连接，过 作于点，则，由将沿翻折，得到，于 ，所以，，，得到，，所以，然后证明，根据性质可得，又因为点是边的中点，所以，得到，，通过勾股定理得，，求即可． 【小问1详解】 解：如图，过 作，交于点 ，则， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过 作于点，则， ∵将沿翻折，得到，于 ， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由（）得：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，轴对称的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $