精品解析：安徽六安市毛坦厂中学东部新城校区2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 14 B. 17 C. 90 D. 144 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 4. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 120种 6. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 7. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列满足，，设，数列的前n项和为，若，则整数k的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当且时， B. 若，则 C. 若只有1个零点，则 D. 若的一个极值点为，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 13. 已知随机变量，若，则__________. 14. 机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的二项展开式中的常数项. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 19. 已知函数f（x）＝，g（x）＝． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在，使得f（x）－ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）已知，方程f（x）＝g（x）在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 14 B. 17 C. 90 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的导数公式进行求解即可. 【详解】由， 故选：C 3. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 4. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知每粒种子发芽的概率均为，则2粒均不发芽的概率为：， 这两粒种子至少有1粒发芽的概率为． 5. 甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案. 【详解】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法， 甲乙相邻且在两端有种排法， 故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 6. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法， 再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：B. 7. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 8. 已知等比数列满足，，设，数列的前n项和为，若，则整数k的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件列出关于和的方程，求出和，写出通项公式，进而可得到通项公式，再利用分组求和法求出，最后根据的单调性求出的范围，从而得到整数的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q， ，，解得，. . . ，，，即关于单调递增， 又.时，，即整数的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由，得， 当时，，单调递增， 又，所以． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当且时， B. 若，则 C. 若只有1个零点，则 D. 若的一个极值点为，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导确定函数单调区间，即可判断，对于B，由解析式代入化简即可判断，对于C，通过取，可判断，对于D，由，确定，再结合列出等式化简即可. 【详解】， 令，得或． 对于A，因为，所以，当时，单调递增， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 当时，单调递增，只有1个零点， 此时， 当时，，故C错误； 对于D，因为的一个极值点为，所以，即， 由，得， 即，因为，所以，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 【答案】－3750 【解析】 【分析】首先根据题设条件，利用，即可求得的值. 【详解】数列的前n项和， . 故答案为：－3750. 13. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】直接利用公式求解，即随机变量，则有，再根据方差的性质求解. 【详解】由题知， 所以， 解得. 故答案为：36 14. 机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 【答案】 ①. 0.954 ②. 1907或1908 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，结合题目所给的参考数据，可求出第1空的概率；易判断合格品数服从二项分布，进而求出合格品的概率，列出最大的不等式组，即可求出第2空的值. 【详解】解：因为，则，， 所以，，， 因此，此高精密零件合格的概率约是0.954． 由该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是， 设生产1999个零件，合格品数为，则， 则，若最大，则， 即， 即，解得， 又，所以或1908． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的二项展开式中的常数项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数计算公式求出； （2）利用通项公式求出，可得答案. 【小问1详解】 由，得，即，解得， 由，得且，所以； 【小问2详解】 由（1），得， 的二项展开式中通项公式为， 令，得， 所以的二项展开式中，常数项为. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. 【小问2详解】 因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是 设数列的前项和为， 则. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过求导得到切线斜率，再计算切点处的函数值，最后用点斜式写出切线方程即可； (2)求导找到函数的极值点，求出极大值与极小值，由题意列方程，求解方程即得参数值. 【小问1详解】 当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可； （2）利用条件概率的公式计算； （3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. 【小问2详解】 设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. 【小问3详解】 的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 19. 已知函数f（x）＝，g（x）＝． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在，使得f（x）－ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）已知，方程f（x）＝g（x）在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分析导函数在内的符号，根据导数与单调性的关系得出结论； （2）先将不等式变形为关于的不等式，再分析在该区间的符号，构造新函数，通过求导判断新函数在区间内的最值，进而确定的取值范围； （3）构造函数，分析的周期性相关性质，再结合的区间特点，通过比较与的大小，利用函数单调性得出结论. 【小问1详解】 对求导得：， 恒成立，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 题目等价于：存在，使得成立，即， 设， 求导化简得：， 因此在上单调递减，最大值为：， 故的取值范围为； 【小问3详解】 对任意，令， 代入方程得：， 记， 求导得在恒成立， 故单调递减，且， 因此方程在每个内有且只有一个根，该根可表示为，其中， 对任意，有， 又单调递减，， 因此：，即是递增数列， ， 由得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $