6.2.4向量的数量积同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学向量的数量积同步练，以基础概念理解为起点，通过梯度化题型设计，实现从单一知识点到综合情境应用的巩固路径，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|投影向量、数量积定义|直接考查定义辨析（如选择1-2），夯实概念理解| |提升层|几何图形、垂直条件|结合菱形、单位向量等情境（如选择3、7），深化运算推理| |综合层|动态最值问题|设置三角形动态情境（如解答15），需建模转化，发展应用意识|

6.2.4　向量的数量积（同步训练） 一、选择题 1.平面向量，满足||＝·＝1，则在方向上的投影向量为(　　) A.－ B. C.－ D. 2.已知△ABC是边长为4的正三角形，则·＝(　　) A.8 B.8 C.－8　 D.－8 3.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝(　　) A.　 B. C.6　　 D.4＋2 4.已知||＝3，向量在向量上的投影向量为，则·等于(　　) A.3　　　 B.　　　 C.　　　 D. 5.已知，为非零向量，且满足·(－)＝0，则－2在上的投影向量为(　　) A. B.－ C.2 D.－2 6.设，为单位向量，在方向上的投影向量为－，则|－2|＝(　　) A. B. C. D. 7.已知非零向量，满足4||＝3||，设与的夹角为θ，且cos θ＝，若⊥(t＋)，则实数t的值为(　　) A.4　　 B.－4 C.　　 D.－ 8.(多选)对于向量，，和实数λ，下列命题中错误的有(　　) A.若·＝0，则＝或＝ B.若λ＝，则λ＝0或＝ C.若2＝2，则＝或＝－ D.若·＝·，则＝ 二、填空题 9.已知向量，的夹角的余弦值为，||＝1，且(2－)·＝－14，则||＝_______ 10.已知平面向量，均为单位向量，且|＋|＝1，则向量与的夹角为________ 11.已知向量与的夹角为60°，||＝2，|－|＝2，则||＝_____ 12.已知，为单位向量，且·＝0，若＝2－，则cos〈，〉＝________ 三、解答题 13.已知||＝4，||＝3，在下列条件下求·： (1)向量与平行时； (2)向量与的夹角为60°； (3)向量与垂直时． 14.设和是两个单位向量，其夹角是，求向量＝2＋与＝2－3的夹角． 15.如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问： 与的夹角取何值时， ·最大？并求出这个最大值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：依题意，在方向上的投影向量为＝．故选D． 2.C 解析：由题意有，·＝4×4×cos 120°＝4×4×＝－8．故选C． 3.C 解析：如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋·＝×4＋×4＋2×2×＝6．故选C． 4.D 解析：因为||＝3，向量在向量上的投影向量为＝＝，解得·＝．故选D． 5.B 解析：，为非零向量，且满足·(－)＝0，则·－2＝0，(－2)·＝·－22＝－2，故－2在上的投影向量为×＝－．故选B． 6.D 解析：因为在方向上的投影向量为－，所以·＝－，则＝－，又因为，为单位向量，所以||＝||＝1，所以cos〈，〉＝－，所以|－2|＝＝＝＝．故选D． 7.B 解析：由题意知，cos θ＝＝，所以·＝||2＝2．因为·(t＋)＝0，所以t·＋2＝0，即t2＋2＝0，解得t＝－4． 8.ACD 解析：A中，若·＝0，则＝或＝或⊥，故A错；C中，若2＝2，则||＝||，故C错；D中，若·＝·，则可能有⊥，⊥，但≠，故D错．故只有选项B正确．故选ACD． 二、填空题 9.答案：4 解析：因为向量，的夹角的余弦值为，||＝1，所以·＝||||cos〈，〉＝||，因为(2－)·＝－14，所以2·－2＝－14，及||－||2＝－14，解得||＝4(舍负)． 10.答案： 解析：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，平面向量，均为单位向量，且|＋|＝1，则 2＋2·＋2＝1，即1＋2×1×1×cosθ＋1＝1，解得cos θ＝－，故θ＝． 11.答案：4 解析：∵向量与的夹角为60°，||＝2，|－|＝2，∴|－|2＝(－)2＝||2－2||||cos 60°＋||2＝12，即4－2||＋||2＝12，∴||2－2||－8＝0，解得||＝－2(舍去)，或||＝4． 12.答案： 解析：∵c2＝(2－)2＝42－4·＋52＝9，∴||＝3. 又∵·＝·(2－)＝22－·＝2，∴cos〈，〉＝＝ 三、解答题 13.解：(1)当向量与平行时，向量与的夹角为0°或180°， 当向量与的夹角为0°时，·＝||||·cos0°＝3×4×1＝12； 当向量与的夹角为180°时，·＝||·||cos 180°＝3×4×(－1)＝－12． 综上，·＝±12． (2)当向量与的夹角为60°时，·＝||||cos 60°＝3×4×＝6． (3)当向量与垂直时，向量与的夹角为90°，所以·＝||||cos 90°＝3×4×0＝0． 14.解：∵||＝||＝1且与的夹角是，∴·＝||||cos＝1×1×＝． ||＝|2＋|＝＝＝＝， ||＝|2－3|＝＝＝＝， ·＝(2＋)·(2－3)＝·－62＋22＝－6×1＋2×1＝－． 设与的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝－． 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故与的夹角为． 15.解：如图，设与的夹角为θ，则 ·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝－a2－·＋·＝－a2－·(－)＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ. 故当cos θ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $