6.2.4 向量的数量积 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4向量的数量积同步训练 一、单选题 1．已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．已知|，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．在上的投影向量为 7．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 8．若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若向量，满足，，则（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为 10．若，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 11．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．与夹角为 D． 三、填空题 12．已知向量的夹角为，，则＝ ． 13．已知，，且，则向量，夹角为 ． 14．如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 四、解答题 15．已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 16．已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 17．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 18．如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求的取值范围. 19．已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 2．C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 3．D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 4．B 【分析】根据已知及投影向量的求法求向量在向量上的投影向量即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：B 5．D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 6．B 【分析】由向量的模，数量积，向量平行的条件，投影向量逐项判断可得. 【详解】对于A，，则， 所以，又， 所以，故，故A正确； 对于B，因为，则， 又，即， 设，则，解得，故B错误； 对于C，， 由可得，即，故C正确； 对于D，，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：B. 7．A 【分析】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 8．A 【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 9．BD 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 10．ABC 【分析】首先根据数量积公式判断A，再根据数量积，代入模，垂直，向量夹角公式，即可判断BCD. 【详解】对于选项A，，所以正确； 对于选项B，，则，所以B正确； 对于选项C，，所以，C正确； 对于选项D，因为， . 所以， 因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误. 故选：ABC 11．BCD 【分析】根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，即， ∴，选项B正确. ∵， ∴不成立，选项A错误. ∵，， ∴与夹角为，选项C正确. ∵， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据数量积的公式和运算律计算. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以． 故答案为：. 13． 【分析】将已知等式展开求出，代入向量夹角公式可得. 【详解】因为，，所以， 解得，所以， 又，所以. 故答案为： 14． 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 （2）在上的数量投影为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． （2）因为，， 所以， 所以． 17．(1)； (2). 【分析】（1）应用向量数量积的运算律及定义求数量积； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求参数值. 【详解】（1）由； （2）由，则， 所以，可得. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意先求出，再结合平面向量基本定理将和用表示，然后利用向量数量积的运算律计算即可； （2）根据题意结合平面向量基本定理将和用表示，然后化简计算，再结合可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在平行四边形中，， 所以，， 因为，， 所以 ； （2）因为，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 得， 所以的取值范围为. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解； （2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可. 【详解】（1）， ． （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $