专题03 导数应用问题七大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题03 导数应用问题七大题型 题型一：利用导数研究不等式恒（能）成立问题（重难点） 题型二：利用导数研究函数零点（方程根)（重难点） 题型三：利用导数证明不等式（重难点） 题型四：极值点偏移（重难点） 题型五：隐零点（重难点） 题型六：导数在实际问题中的应用 题型七：导数新定义 题型一：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 1．已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）结合导数研究的单调区间即可求出最小值； （2）将问题转化为当时，不等式等价于，令，结合导数求出在上的最小值即可求解. 【详解】（1）当时，， 则令 ．当时，，，故（等号不恒成立），所以在上单调递增． 又，所以当时，，故在上单调递增． 所以 （2）由题可得：, 则,， 由于,则, 所以， 当时，， 则在上单调递增， 所以，满足条件； 当时，令, 则, 由于,则,所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以, 若，即时，则， 所以在上单调递增， 所以，满足条件； 若时，即时，由于当时，,, 所以存在唯一使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以,不满足题意； 综上，实数的取值范围是． 2．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据切线斜率值求出参数，进而得到函数的表达式. （2）构造新函数，求导判断单调性，根据不等式恒成立求出结果即可. 【详解】（1）由，得， 则切线的斜率，所以． （2）令． 因为恒成立，所以，在上恒成立， 因为，又的图象在定义域上是连续不间断的，所以是的一个极大值点，则， 又，所以，得， 下证当时，对任意恒成立， 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即， 而，所以当时． 综上，若恒成立，则． 3．设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 4．设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. （2）当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. 5．已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； (3)若，证明：在上恒成立. 【答案】(1) (2)当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用倒数的符号变化判断单调性，进而确定极值. （3）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，通过构造函数、研究单调性和最值来证明. 【详解】（1）当时，，， 所以， 所以，又， 则曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，， 所以，， 令，， 则，. 当时，，函数在上单调递增， 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. （3）不等式可化为， 即， 令，. 则，， 由（2）可知，时，函数在上单调递减， 在上单调递增，在处取得最小值， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以函数在上单调递增. 所以. 即当时，在上恒成立. 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对于任意的，恒成立，求的最大值； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）通过对参数分类讨论，利用导数判断单调性； （2）换元与构造辅助函数，转化为恒成立条件下的最值问题，借助导数分析最值位置并建立不等式； 【详解】（1）， 当时，，在上单调递减， 当时，令， 当时，，故函数在区间单调递减； 当时，，故函数在区间上单调递增； （2）对恒成立， 当时，时，左边与条件矛盾，舍去，∴， 令，即对恒成立， 令， 当时，，时，， 所以在上单调递减；单调递增， 故只需． 7．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 8．已知函数，若在处取得极值10，. (1)求的值； (2)方程在有解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，结合极值定义，进行验证，即可求解； （2）由（1）得到，且，利用导数求得函数的单调性与最值，得出的值域，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为在处取得极值10，所以， 解得或， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，此时无极值，不符合题意， 所以. （2）由（1）知，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由，所以函数在上的值域为， 要使得方程在有解，则. 9．已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）根据导函数的解析式，对参数分类讨论结合导函数的符号即可求解； （2）根据不等式的有解性问题，分离参数、构造新函数求出新函数的最值即可秋求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解， 在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 所以，所以， 故实数的取值范围是. 题型二：利用导数研究函数零点（方程根) 10．已知函数. (1)若直线：是曲线的一条切线，求的值； (2)若函数有三个零点，设为，，且. （i）求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)（i）； 【分析】（1）设直线与曲线相切于点，利用函数在处的导数为直线的斜率，列出方程组求解即可； （2） （i）根据题意进行参变分离得到，然后构造函数，结合函数的单调性和图象的变化趋势即可解得； 【详解】（1）依题意，，设直线：与曲线相切于点， 则，解得，；所以的值为； （2）（i）令，则； 设，则， 由，得或；由，得； 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值；当时，取得极大值； 又当时，；当时，且，大致图象如图；    若函数有三个零点，即函数与的图象有三个交点， 则，即实数的取值范围是； 11．已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的符号来确定函数单调性（要根据导函数零点来分类），即可求解； （2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，利用导数判断其单调性，即可证明． 【详解】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． 12．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断f（x）的零点个数并证明； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不等式的解集为区间 (2)三个零点，证明见解析 (3). 【分析】（1）先求得的定义域为，并证得的图像关于中心对称，再确定当时的符号，进而根据对称性得的解集； （2）先通过导数分析的单调性，并根据零点存在性定理确定在上有唯一零点，再根据的图像关于中心对称及，即可得到f（x）的零点个数； （3）由题意，根据的图像关于中心对称知“恒成立”等价于“在上恒成立”.并分析得到，进而，再通过导数分析得到在上单调递增，从而即可得a的取值范围. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，所以. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. （3）由（1）知恒成立等价于在上恒成立， ， 若， 所以存在，使得对有，即在上单调递减. 所以，这与在上恒成立矛盾. 所以. 此时. 令， 所以 令 则， 所以在上单调递减，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立，即恒成立. 综上所述，. 13．设函数，其中． (1)讨论零点个数； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，分，和三种情况，结合零点存在性定理和函数单调性，判断出各种情况下的零点情况，得到答案； 【详解】（1）因为，其中， 所以， 当时，由，令，解得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，故存在，使得， 又趋向于时，趋向于，故存在，使得， 故当时，零点个数为2； 当，，故有且仅有唯一零点； 当时，，令得或0， 当时，，故恒成立，在上单调递增， 而，，， 故存在，使得， 故当时，零点个数为1；当时，， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在单调递减， ，， ，令，则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 故当时，， 令，得， 取，则，故，又， 故存在，使得， 故时，零点个数为1；当时，， 所以时，，时，， 则在上单调递增，在单调递减； 而，，， 同理可得，故存在唯一的零点，使得， 故当时，零点个数为1； 故当时，零点个数为1； 综上，时，零点个数为1；当时，零点个数为2； 14．已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)设有两个零点，且. ①当时，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2)①②证明见解析 【分析】（1）用作差法构造新函数，然后求导判断单调性，确定最大值，进而可证之； （2） ①先列出的表达式，构造新函数，求导判断单调性，确定零点范围，令，然后构造新函数，求导判断单调性，进而求出的范围和的范围 【详解】（1）若，则函数， 所以， 令，对函数求导得 ，令， 则，所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，所以，即. （2）因为，所以， 则的零点问题转化为与的图象交点问题，对求导得. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，；， 所以当时，有两个零点. ①，化简得. 令，所以，所以，即. 因为，所以，求导得 ，令， 求导得，所以在上单调递减，所以. 所以，又，所以. 故在上单调递减，所以，即. 又因在上单调递减，， 所以. 题型三：利用导数证明不等式 15．已知函数，其中. (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义进行讨论即可. （2）对函数求导判断导数符号即可证明；根据函数的单调性和奇偶性，不等式等价于，进而可求得解集. 【详解】（1）因为，而. 函数的定义域为. 当时，，此时函数为偶函数； 当时，，此时函数为奇函数； 当时，函数为非奇非偶函数； （2）因为时，函数，求导得. 当时，，所以，所以（当且仅当时取等号）. 所以函数在上是严格增函数. 由（1）知为偶函数，而在上是严格增函数. 所以根据函数的单调性和奇偶性，不等式等价于. 两边平方得，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 16．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导数得切线斜率，点斜式可求切线方程； （2）移项构造新函数，求导判断单调性可求最值，进而可证不等式； （3）移项作差，构造新函数，利用导数判断单调性，求出最值可证结论. 【详解】（1）依题意，，则， 而， 故， 故所求切线方程为. （2）证明：要证，即证， 设，则， 令，则， 因为，所以，因此单调递减， 又，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 即，即得证. （3）证明：依题意，,即， 即，即. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故， 令，则， 令，则， 令，解得，， 所以当和时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 且，， 因此当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即； 故当时，，即得证. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数，再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，根据主元法，构造函数，确定其在上单调递增，进而转化成恒成立，进而可求证. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）依题可知，在上恒成立. 令，则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 只需， 又，故. （3）令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 18．（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）递增区间为，无递减区间；（2）证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得解； （2）由，得，则要证，只需证明，令，构造函数，求出函数的最小值即可得证. 【详解】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 19．已知函数，其中，．当，时，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，将问题转化成证明，构造函数，，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，的最大值，即可求解. 【详解】由题知，要证明，即证明，且，即证明， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当且仅当时取等号， 则成立，所以命题得证. 20．当时，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】分与讨论，构造函数、、、，利用导数讨论单调性，从而对原不等式进行放缩即可得. 【详解】， 故要证，只需证， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 又， 故时，； 令，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，则， 则当时，，从而只需证， 且有，从而只需证， 即只需证，令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，故， 即当时，，即有， 故时，； 综上所述，原不等式得证. 题型四：极值点偏移（重难点） 21．已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】(1)1 (2)，证明见解析 【分析】（1）求导，因式分解，即可分离参数，构造函数，，由导数求解函数的最值即可得解， （2）对讨论，结合函数的单调性可得的范围，构造函数，有导数求解函数的单调性，即可求证. 【详解】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 22．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 23．设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 24．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若满足，求证：； 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断的正负即可得出答案； （2）要证，只需证，令，对求导，结合基本不等式得出在上单调递增，即可得证； 【详解】（1）解：， 当时，在上单调递增， 当时，令，解得， 单调递减， 单调递增， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由题意，则. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即 ， 由均值不等式可得 （当且仅当，即时，等号成立）. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用方法有如下几种： 方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明； 方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立. 25．已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可； （2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证. 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 题型五：隐零点（重难点） 26．已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值. (2) (3). 【分析】（1）若，则，利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）若对任意的恒成立，即,只需，利用导数研究函数的单调性，求出该函数的最大值，即可求解； （3）存在零点等价于与轴有交点，结合（2）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）（1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. （3）令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 27．设函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性即可证明； （2）证法一：通过求导推得在区间上单调递增，在区间上单调递减，化简计算得到，要证等价于证明，即证，由计算即得证得；证法二：由（1）可推出在区间上恒成立，又当时，，分析去掉等号即可得证； 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，故， 所以在区间上单调递减，所以，即. （2）证法一：当时，. 当时，，此时； 设，则， 当时，，当且仅当时取等号， 故在区间上单调递减， 又，因此存在唯一的，使得， 即，即， 且当时，，当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由. 由且，得. 故， 要证等价于证明，即证. 因为，所以，不等式成立， 即得证. 解法二：由（1）知当时，， 当时，，所以， 所以在区间上恒成立， 所以当时，， 由于前面的等号在处取到，后面的等号在处取到， 所以，即. 28．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在轴上方. 【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】（1）由，求得，结合导数的正负，即可求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，根据零点的存在定理，得到在上存在一个，使得，进而利用函数的单调性和极值，证得，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数，则 令，解得， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数单调递减， 所以函数在区间单调递增，在区间单调递减. （2）由题意，函数，则， 可得函数的递增， 因为， 所以在上存在一个，使得 即， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以的图象在轴的上方. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 29．已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间有唯一零点，证明：. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求导得， 分， ，，三种情况讨论可得单调区间. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且 所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可. 试题解析：（Ⅰ），， 令，， 若，即，则， 当时，，单调递增， 若，即，则，仅当时，等号成立， 当时，，单调递增. 若，即，则有两个零点，， 由，得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求. 此时，就是函数在区间的唯一零点. 所以，从而有， 又因为，所以， 令，则， 设，则， 再由（1）知：，，单调递减， 又因为，， 所以，即 点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 30．已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间. （3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， ①当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减； ③当时，，函数在上单调递减； ④当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. （3）①当时，函数在上单调递减，而，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ②当时，函数在处取得极小值， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， ，当时，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ③当时，函数在处取得极小值，， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点， 所以有且仅有一个零点. 31．已知函数．恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】. 【分析】构造函数，根据题意，只需，求导判断函数的单调性，求出最小值，列出不等式求得实数m的取值范围. 【详解】令，， 则. ，， 令，， 因为时，， 当时，，，， 所以在上恒成立， 则为增函数，即为增函数， ①当，即时，， 所以在上为增函数， ， 即在上恒成立； ②当，即时，， ，使， 当为增函数； 当为减函数， ，与在上恒成立相矛盾， 不成立. 综上所述，实数m的取值范围是. 题型六：导数在实际问题中的应用 32．某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1)答案见解析； (2)10万件. 【分析】（1）根据年利润的计算公式，结合已知条件求出年利润关于年产量的函数解析式； （2）分别讨论不同区间内函数的最大值，进而得出年利润最大时的年产量. 【详解】（1）由 题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上，； （2）当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 33．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)， (2)应该以千米/小时行驶 【分析】（1）求出每小时的运输成本以及全程行驶时间，相乘即可得出关于的函数关系式； （2）利用导数可求出当取最小值时的值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 34．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），；（ii）答案见解析. 【分析】（1）由题设得，应用作差法比较大小； （2）（i）由（1）及球体、圆柱的表面积求法，写出函数表达式，注意定义域；（ii）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得. 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 35．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定点D的位置. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 题型七：导数新定义 36．已知函数定义域为，对于实数，定义集合，. (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合满足：，则称和互为对称集.证明：“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【答案】(1)，或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）根据题设定义得到对于任意，都有，分析函数的单调性，结合图象求解即可； （3）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性. 【详解】（1）由在上单调递减，在上单调递增， 则时，，即， 而或. （2）因为对于任意，均有， 若，则，即若，则，所以， 由，则， 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 又， 作出函数的图象， 由于对于任意，都有，则或， 所以的取值范围为. （3）若函数是偶函数， 则对任意，， 对任意，若，即且， 则， 由，得，而，则； 若，则且， 则， 由，得，而，则， 所以对任意实数与互为对称集，充分性成立； 若对任意实数与互为对称集，则， 而，， 由，等价于， 对任意，，则，则， 对任意，，则，则， 所以，则函数是偶函数，必要性成立. 综上所述，“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 37．设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】(1)函数具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，将问题转化为函数的零点问题，进而结合单调性与零点存在性定理求解即可； （2）根据函数定义，将问题转化为存在实数，使得有三个实数根问题，再构造函数求解即可. （3）由题将问题转化为存在实数根的充要条件为充分性的证明方面，先验证当时，函数具有性质，再讨论当且时，结合函数隐零点得存在满足，即成立；再证必要性：先说明不成立，再研究的性质得函数在严格减函数，严格增函数，进而得得矛盾即可证明. 【详解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 38．记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）求导，设“点”为，解方程组，可得结论． （2）假设存在“点”为，解方程组，应用等式无解可得结论； （3）设“点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围即可求解. 【详解】（1）设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . （2）由题意 需同时满足：， 令， 函数有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数与不存在“点”； （3）对任意的，存在，使得函数和在区间内存在“点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为， 所以， 由 得： ， 又因为，所以，解得， 此时，当，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在满足题意； 所以存在，使得函数和在区间内存在“点”. 39．已知函数，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合． (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明：若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得在处的切线方程，得到，由，得出，即可求解； （2）求得点和处的切线方程，得到和，结合题意，化简得到，由，得到，转化为证明，即可得证； （3）求得，得到的解集为，令，求得，分和，两种情况讨论，求得其单调性和极值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. （2）解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. （3）解：由函数，可得， 当时，可得， 所以切线方程为，即， 因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，，则不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 导数应用问题七大题型 题型归纳 题型一：利用导数研究不等式恒（能）成立问题（重难点) 题型二：利用导数研究函数零点（方程根)（重难点） 题型三：利用导数证明不等式（重难点) 题型四：极值点偏移（重难点) 题型五：隐零点（重难点） 题型六：导数在实际问题中的应用 题型七：导数新定义 题型专练 题型一：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 1.已知函数f(x=e-cosx-a.x. (1)当a=1时，求函数f(x)在区间[0，+∞)上的最小值： (2)若对任意的x≥0，都有fx)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 2.己知函数f(x)=cosx+元ln(1+x),且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为1. (1)求f(x)的表达式： (2)若f(x)≤ax+1恒成立，求a的值. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.设函数fx)=mx-e+2,meR,f'x为f(x)的导数. (1)讨论函数∫(x)的最值； (2)若a为整数，m=1,且x∈(0，+o）,不等式(x-af'(x<x+1恒成立，求a的最大值. 4.设函数f(x=x3-ax2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若对任意x∈0，+o),fx)≥lnx恒成立，求a的取值范围； 5.己知函数f(x)=(x+a)lnx,aeR· (1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1，f()处的切线方程； (2)若f'(x)为函数f(x)的导函数，讨论函数f'(x)的极值； (3)若a>1,证明：f(x)-2x>-2在(L,+∞)上恒成立. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.已知函数f(x=2e-xa≠0 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若对于任意的xeR,ef(x+a≥0恒成立，求a的最大值； 7.已知函数fx=x2-2alnx-2(aeR). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若不等式fx)≤2(1nx)2+x2-2x在区间(1，+∞)上有解，求实数a的取值范围. 8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R),若f(x)在x=1处取得极值10，· (1)求a,b的值； (2)方程f(x)=m在x∈[0,2]有解，求实数m的范围. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.已知函数f(x)=lnx+a(a为常数) (1)讨论函数∫(x)的单调性： 2上有解，求实数a的取值范围。 1 (2)不等式f(x)≥1在x∈ 题型二：利用导数研究函数零点（方程根 10.已知函数f(x=ae-(x-1)2. (1)若直线1：4x-y+1=0是曲线f(x)的一条切线，求a的值； (2)若函数f(x)有三个零点，设为X,2,x且x<x2<x (i)求实数a的取值范围； 11.已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1)2有两个零点X1，x2: (1)求a的取值范围： (2)证明：x1+x2<2. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.已知函数f到=加2文+ain(: (1)当a=-1时，解不等式：fx)>0; (2)当a=1时，判断f(x)的零点个数并证明； (3)若(x-1f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 1.设函数f)=a+D+r,其中aeR. (1)讨论f(x)零点个数： 14.已知函数fx=xlnx-ax+l,aeR. a若a=0,证明：当x>1时f八y<+: (2)设f(x)有两个零点1,2，且x<x2 ①当点>2时，求a的取值范围； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三：利用导数证明不等式 5.已知函数f=e+号，其中aeR. (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)当a=1时，证明函数f(x)在[0，+o)上是严格增函数，并解不等式f1-2x)>fx+2). 16.已知函数f(x)=ax+1-(ax+I)e,a∈R· (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程： (2)当a≥1时，证明：f(x)≥x; (3)当a≤0时，证明：f(x)≤x(1-ax). 17.已知函数fx=a2e-3ax+2sinx,a≠0. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0，∫(0)月处的切线方程： (2)若a>√2，且f(x)在(0，+o）上单调递增，求a的取值范围； (3)证明：当ae[l,+oo)时，f(x)≥1. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8（①已知函数=e-x+e+号，求国在0a上的单区间： (2)若k≥。，证明：ke2≥1+n2x 19.己知函数f(x=ae-m,其中a,meR.当a=4,m=2时，证明：f(x>x(1+lnx. 20.当20时，证明：e+与in2x≥2sinx+sm2x. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四：极值点偏移（重难点) 21.己知函数f(x)=ae2r+(a-2)e-x a冷到=了八，（到≤(e+》x对Yx[0恒成立，求的最大值 2)若f()有两个零点x,,求a的范围，并证明：x+,<21n」 22.已知函数f(x=e--sinr, (1)当a=e时，求y=∫(x在(0，f(0)处的切线方程； (2)若xe0,+0时，∫(x≥0恒成立，求a的范围； )若f(到在(0，列内有两个不同零点x、名，求证：牙<5+<元。 23.f x)=(x+1 Inx-(x-1 In a(a>0). (1)若a=1,求函数y=fx)的图象在x=1处的切线方程； (2)若f(x)≥0在[1，+0)上恒成立，求实数a的取值范围； 3)若函数y=f(x存在两个极值点x(x,<x),求证：x+x2>2. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.已知函数fx)=e-ax-1. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a>0时，若满足fx)=fx2)(x1<x2),求证：x+x2<2lna; 25.己知函数f(x=ln(mx-x(m>0). (1)若f(x≤0恒成立，求m的取值范围： (2)若f(x)有两个不同的零点x,x2,证明x+x2>2. 题型五：隐零点（重难点) 26.已知函数fx=ae-lnx-cosx-1)(a20,gx=lnx-bx+1b∈R). (1)若b=2,求gx的极值： (2)若gx)≤0对任意的x(0,+0)恒成立，求b的取值范围； (3)若f(x)存在零点，求a的取值范围. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.设函数f(x=asinx+xCOSX,x∈[0，π. 4)若a=-1,证明：当x∈0，]时，f(x≤0； (2)若a=1,证明：f(x<2; 28.己知函数f(x)=lnx. (1)求函数y=f(x)-x+1的单调区间； (2)求证：函数g(x)=e-e2f(x)的图象在x轴上方. 29.已知函数fx)=ln(x+1)+a.xr2，a>0. (1)讨论函数fx)的单调性； (2)若函数f(x在区间(-1,0)有唯一零点x,证明：e2<x。+1<e. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10