专题5.2 导数的运算（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦导数的运算核心知识点，从利用定义求导入手，系统梳理基本初等函数导数公式、四则运算法则、复合函数求导法则，进而延伸至切线问题（在点处和过点处）的求解，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固知识点，题型设计从典例到变式层层递进，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识。切线问题的步骤化教学（如“在型”“过型”清晰步骤），以精确数学语言表达，提升解决问题的条理性，课中辅助教师分层授课，课后助力学生查漏补缺。

专题5.2 导数的运算 教学目标 1.了解利用定义求函数的导数。 2.掌握基本初等函数的导数，并会利用公式求简单函数的导数 。 3.能利用导数的运算法则求函数的导数，并掌握导数的四则运算法则及应用。 4.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，并综合运用函数的求导法则解决简单的问题。 教学重难点 1.重点 （1）利用公式求简单函数的导数； （2）利用四则运算法则及应用； 2.难点 （1）运用复合函数的求导法则； （2）熟练解决公切线问题。 知识点01 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 【即学即练】 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 【即学即练】 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【即学即练】 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 切线问题（在和过） 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练】 1．设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】 下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【变式1-2】下列求导运算正确的是（    ） A． B．是常数 C． D． 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型02 导数的加减法 【典例2】 已知函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型03 导数的乘除法 【典例3】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的导数（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的导数（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】若函数，则导函数（   ） A． B． C． D． 题型04 简单复合函数的导数 【典例4】 下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数，则 . 【变式4-2】求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝e3x+2； (4)y＝sin ． 【变式4-3】求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1sin x； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝． 题型05 求在曲线上一点处的切线方程 【典例5】 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【变式5-1】过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】曲线在处的切线方程为 ． 【变式5-3】曲线在处的切线方程是 . 【变式5-4】曲线在点处的切线方程为 ． 题型06 求过曲线上一点处的切线方程 【典例6】 过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 题型07 已知切线求参数 【典例7】 已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式7-1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式7-2】若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式7-3】已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 题型08 公切线问题 【典例8】 若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式8-1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【变式8-2】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【变式8-3】已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ． 一、单选题 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的导函数是，则（ ）. A． B． C． D． 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 7．曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 8．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 9．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．已知函数的图像在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．4 D．8 11．已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 二、填空题 12．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 三、解答题 14．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 15．已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 16．求下列函数的导函数. (1)； (2). 17．已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 导数的运算 教学目标 1.了解利用定义求函数的导数。 2.掌握基本初等函数的导数，并会利用公式求简单函数的导数 。 3.能利用导数的运算法则求函数的导数，并掌握导数的四则运算法则及应用。 4.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，并综合运用函数的求导法则解决简单的问题。 教学重难点 1.重点 （1）利用公式求简单函数的导数； （2）利用四则运算法则及应用； 2.难点 （1）运用复合函数的求导法则； （2）熟练解决公切线问题。 知识点01 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 【即学即练】 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 知识点02 导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 【即学即练】 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则求导后判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 知识点03 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【即学即练】 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 知识点04 切线问题（在和过） 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练】 1．设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】 下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】A 【分析】根据求导公式计算即可. 【详解】, , , 即α＝2， 故选：A 【变式1-2】下列求导运算正确的是（    ） A． B．是常数 C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的导数计算可得答案. 【详解】. 故选：C. 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由求导公式得出结果. 【详解】由求导公式可知. 故选：D 【点睛】运用求导公式是解题的关键. 【变式1-1】 题型02 导数的加减法 【典例2】 已知函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：A. 【变式2-1】已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度大小为. 故选：B. 【变式2-2】已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导后代入可得. 【详解】，所以. 故选：B. 【变式2-3】已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】直接求导求值即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 题型03 导数的乘除法 【典例3】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 【变式3-1】已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】由题意知，，所以， 故选：D． 【变式3-2】函数的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用自然对数和常数求导即可求解. 【详解】求导得：， 故选：A. 【变式3-3】函数的导数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据诱导公式、函数的求导法则和商的求导公式可得所求. 【详解】， 所以， 故选：B 【变式3-4】若函数，则导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的运算法则可求得. 【详解】因为，则. 故选：C. 题型04 简单复合函数的导数 【典例4】 下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 【变式4-1】已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用导数的定义，化简得到，再由，求得，即可求解. 【详解】由， 又由函数，可得，则， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝e3x+2； (4)y＝sin ． 【详解】(1)y＝，设y＝，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝)′(1－2x)′ ＝·(－2)＝． 即y′＝． (2)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′ ＝×2＝， 即y′＝． (3)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2． (4)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′′＝2cos u ＝2cos ，即y′＝2cos ． 【变式4-3】求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1sin x； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝． 【详解】　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1． (2)f(x)＝，f′(x)＝． (3)f(x)＝，f′(x)＝． 题型05 求在曲线上一点处的切线方程 【典例5】 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 【变式5-1】过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 【变式5-2】曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程． 【详解】设， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：． 【变式5-3】曲线在处的切线方程是 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的斜截式、一般式进行求解即可. 【详解】由题意知，故切线的斜率，而切点为， 故切线方程为. 故答案为： 【变式5-4】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以切线方程为，即． 故答案为： 题型06 求过曲线上一点处的切线方程 【典例6】 过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 【变式6-1】过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可. 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 【变式6-2】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】和 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 题型07 已知切线求参数 【典例7】 已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 【变式7-1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 【变式7-2】若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 【变式7-3】已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值. 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 题型08 公切线问题 【典例8】 若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 【变式8-1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 【变式8-2】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 【变式8-3】已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解. 【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为， 则处的切线方程为，即； 直线与曲线相切于，， 可得切线方程为， 即， 因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同， 则且， 则，即 可得，解得， 故答案为：. 一、单选题 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数公式判断各项正误即可. 【详解】由，，，， 所以A、B、D错，C对. 故选：C 2．若函数的导函数是，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，然后代入求值即可. 【详解】， . 故选：A. 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 4．已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质得，再根据几何意义求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即对恒成立 所以，解得， 所以，所以， 所以，， 所以，所求切线方程为，即． 故选：B 5．已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得， 故选：B. 6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 7．曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数的导函数，再求导函数在时的值，结合导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程． 【详解】因为，所以，故， 所以曲线在点处的切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A. 8．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 9．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解． 【详解】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B 10．已知函数的图像在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求得函数在处的切线方程，可求得的值. 【详解】因为，所以，所以，， 则的图像在处的切线方程为，即， 又函数的图像在处的切线方程为，则， 所以，，故. 故选：C. 11．已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】求导，令，即可得解. 【详解】由，得， ，得. 故选：B. 二、填空题 12．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可. 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合两条直线垂直的条件即可求出答案. 【详解】对求导得，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 三、解答题 14．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】（1），因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. （2）设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 15．已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 16．求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【详解】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 17．已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【详解】（1）由点在的图象上，得， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1， 得，解得， 所以的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $