第七节抛物线讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦抛物线核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及应用，按“定义—方程—性质”逻辑架构梳理知识，结合数形结合思想。通过知识清单梳理、自主诊断检测、命题点分类讲解及真题模拟训练，帮助学生系统突破难点，体现复习针对性。 资料以近三年高考真题为导向，采用定义法推导轨迹方程、焦点弦性质应用等教学策略，培养学生数学思维与几何直观。设置基础诊断与分层训练，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第七节　抛物线 新课标要求 真题分布 1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质． 2．通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想． 3．了解抛物线的简单应用． 2025年 全国Ⅰ卷T10，全国Ⅱ卷T6 2024年 新高考Ⅱ卷T10 2023年 新高考Ⅰ卷T22，新高考Ⅱ卷T10 知识清单 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________. (2)数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 剖析　若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称 轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 ________ ________ ________ ________ 离心 率 e＝1 准线 方程 ________ ________ ________ ________ 【常用结论】 1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦． 2．抛物线焦点弦的性质 直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1＞0，y2＜0，α为直线l的倾斜角，则有： (1)焦半径：|AF|＝x1＋＝x2＋. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝. (3)坐标关系：x1x2＝，y1y2＝－p2. (4)3个相切：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　) (4)抛物线的方程都是二次函数．(　　) 2．(人教A版选修一P133练习T2(2)改编)抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　) A． B． C． D． 3．(人教A版选修一P138习题T2(1)改编)准线方程为x＝2的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．x2＝－8y D．x2＝8y 4．(人教A版选修一P133练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________. 命题点一　抛物线的定义及应用 例1 (1)(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)(2026·漳州模拟)已知点N(1，1)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|＋|PF|的最小值为(　　) A． B．2 C． D．3 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版选修一P138习题T3)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M与焦点F的距离|MF|＝2p，则点M的坐标为________. 学习笔记：(1)根据抛物线的定义，把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化． (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝＝. 　跟踪训练　(2026·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点P在C上，直线l′：4x－3y＋11＝0，点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值是________． 命题点二　抛物线的标准方程 例2 (1)已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为(　　) A．x2＝－4y B．x2＝4y C．x2＝－2y D．x2＝2y [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线x＋2y－6＝0上，则抛物线C的标准方程为(　　) A．y2＝－12x B．x2＝8y C．x2＝－12y D．x2＝12y [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝12y B．x2＝y或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记： (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P139习题T11)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为(　　) A．y＝x2－1(x≠±1) B．x＝y2－1(y≠±1) C．y＝－x2＋1(x≠±1) D．x＝－y2＋1(y≠±1) (2)(衔接·人教A版选修一P139习题T7)如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7 m，高为0.7 m．根据图中的坐标系，则这条抛物线的方程为(　　) A．x2＝y B．x2＝y C．y2＝x D．y2＝x 命题点三　抛物线的几何性质 例3 (1)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)(多选)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有(　　) A．抛物线的焦点坐标为F(0，－1) B．若|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C．以线段AF为直径的圆与x轴相切 D．以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P138习题T5)M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，则|FM|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(衔接·人教A版选修一P139习题T10)已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则这个等边三角形的边长为________. 第七节　抛物线 知识清单 1．(1)相等　焦点　准线 2．F(，0)　F(－，0)　F(0，)　F(0，－)　x＝－　x＝　y＝－　y＝ 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，所以p＝，开口向上，故焦点坐标为(0，)．故选C. 答案：C 3．解析：由题意设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，则－＝2，∴m＝－8，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选A. 答案：A 4．解析：抛物线y2＝12x，焦点在x轴上，其中＝3，焦点坐标是(3，0)．设所求点的坐标是(m，n)，则m＋＝m＋3＝9，∴m＝6，∴n2＝12×6，∴n＝±6，∴所求的点的坐标是(6，－6)或(6，6)． 答案：(6，－6)或(6，6) 例1　 解析：(1)如图所示，在y＝－2x＋2中，令y＝0，得x＝1，∴F(1，0)，∴抛物线的标准方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，当x＝－1时，y＝4，∴B(－1，4)，∴yA＝4，则xA＝4，∴|AF|＝|AB|＝4－(－1)＝5(或|AF|＝＝5)．故选C. 解析：(2)过点P作PQ垂直抛物线C的准线l：y＝－1于点Q，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，则|PN|＋|PF|＝|PN|＋|PQ|≥|NQ|，当且仅当N，P，Q三点共线，NQ垂直抛物线C的准线，即xP＝1时，|PN|＋|PQ|有最小值2.故选B. 答案：(1)C　 答案：(2)B 真题探源　解析：由题意可知抛物线的焦点F(，0)，准线方程为x＝－.设点M的坐标为(x，y)，∵|MF|＝2p，∴x＋＝2p，∴x＝p，又点M在抛物线上，∴y2＝2p×p＝3p2，∴y＝±p，∴点M的坐标为(p，p)或(p，－p)． 答案：(p，p)或(p，－p) 跟踪训练　 解析：由题意，抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知，点P到直线l的距离等于点P到点F的距离，因此点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值，即为点F到直线l′的距离，即为＝3. 答案：3 例2　解析： (1)方法一　轨迹方程法 设点P(x，y)，则点M(x，－1)．连接PF，由题意知|PF|＝|PM|，即＝|y＋1|，整理得x2＝4y，则曲线C的方程为x2＝4y.故选B. 方法二　几何定义法 由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y＝－1的距离，则点P的轨迹为以点F(0，1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线，则曲线C的方程为x2＝4y.故选B. (2)直线x＋2y－6＝0与y轴的交点为(0，3)，所以抛物线C的焦点为(0，3)，故＝3，解得p＝6，所以抛物线C的标准方程为x2＝12y.故选D. (3)将y＝ax2转化为x2＝y，当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y＝－，点M(5，3)到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，所以抛物线方程为y＝x2，即x2＝12y；当a<0时，抛物线开口向下，准线方程y＝－，点M(5，3)到准线的距离为＝6，解得a＝－或a＝(舍去)，所以抛物线方程为y＝－x2，即x2＝－36y.所以抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－36y.故选D. 答案：(1)B　(2)D　(3)D 跟踪训练　解析：(1)设点M的坐标为(x，y)(x≠±1)，则直线AM的斜率是，直线BM的斜率是.由题意可知＝2，化简得y＝－x2＋1(x≠±1)，即点M的轨迹方程为y＝－x2＋1(x≠±1)．故选C. (2)由题图，可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，∵B()，∴＝2p×0.7，解得p＝，∴抛物线的方程为x2＝y.故选B. 答案：(1)C　(2)B 例3　 解析：(1)设准线与x轴的交点为M，由题意可知，F(，0)，准线l方程为x＝－，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，∴|QF|＝6，∵PQ垂直于准线l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，由抛物线的性质可知，|PQ|＝|PF|，∴△PQF为等边三角形，∴|PF|＝|QF|＝6.故选B. (2)对于A，抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，焦点为F(0，1)，故A错误；对于B，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝8，可得y1＋y2＝6，∴线段AB的中点到x轴的距离为＝3，故B正确；对于C，∵|AF|＝y1＋1，AF的中点为()，该点到x轴的距离为＝|AF|，故以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；对于D，∵|AF|＝y1＋1，故以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切，故D正确．故选BCD. 答案：(1)B　 答案：(2)BCD 跟踪训练　解析：(1) 由题意，得F(1，0)，设M(m，n)，过点M作MA垂直于x轴，垂足为A.∵Rt△AFM中，∠AFM＝60°，∴|MF|＝2|FA|，即|FM|＝2(m－1)，|MF|＝，∵|MA|＝|n|，∴|MF|＝，∴2(m－1)＝，整理得n2＝3(m－1)2　①，又∵M是抛物线y2＝4x上一点，∴n2＝4m　②，联立①②，得m＝3或m＝(小于1舍去)，∴|FM|＝2(m－1)＝4.故选B. (2)设这个等边△OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>y2，则 ＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2＞0，2p＞0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．∵x轴垂直于AB，∴∠AOx＝30°，∴＝tan 30°＝，又x1＝，∴y1＝2p，∴|AB|＝2y1＝4p. 答案：(1)B　(2)4p 学科网（北京）股份有限公司 $