专题05 整式的乘法（期末复习课件，知识必备+9大重难题型+过关验收）七年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份人教版五四制初中数学七年级下学期期末复习课件，围绕整式的乘法专题，构建“考情分析-必备知识-重难点题型-分层验收”的学习支架，涵盖幂的运算、整式乘除、平方差公式等核心知识点，配套典例解析与变式练习。 资料突出数学核心素养，通过公式推导过程培养推理意识，结合几何图形（如长方形面积解释整式乘法）发展几何直观，设置规律探究、几何应用等题型提升创新意识。分层练习满足不同学生需求，帮助学生夯实基础、提升解题能力，也为教师提供系统复习方案，助力高效教学。

专题05 整式的乘法 七年级数学下学期 期末复习大串讲 人 教 版 五 四 制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算 熟练识记并理解整式乘法的基础法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，明确各法则的适用条件与限制范围，能准确区分易混淆公式。 高频考点：重点考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式辨析与计算，常以选择题、填空题形式出现。 整式的乘法法则应用 全面掌握整式乘法的运算类型，涵盖单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，能规范完成每一步运算，精准处理符号问题与漏乘问题。 高频易错点：多项式与多项式相乘的漏乘问题，常以直接计算题、运算正误判断题形式考查，侧重检验运算的规范性与准确性。 乘法公式的灵活运用 深度理解并熟记乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式，知晓公式的几何背景，并能掌握公式的基本变形。能运用整体代入、换元、配方等方法解决整式乘法相关的化简求值问题；能将实际问题转化为整式乘法模型，实现代数运算与实际应用的衔接。能参与公式的推导过程，通过特例猜想、验证归纳规律，应对与杨辉三角相关的规律探索题，提升逻辑推理素养。 核心考点：平方差公式、完全平方公式的直接应用、变形应用是考查核心，既出现在选择题、填空题的化简求值中，也常作为解答题的核心步骤，部分地区会结合几何图形考查公式的几何意义，体现数形结合导向。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 幂 的 运 算 知识点01 1.同底数幂的乘法     推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，   am · an = m个a n个a = aa…a =am+n (m+n)个a （aa…a） （aa…a） am · an = am+n (m、n为正整数) 幂 的 运 算 知识点01   推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，   符号表示 (m，n都是正整数) (am)n=amn 2.幂的乘方 （1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘. （2）幂的乘方的性质 (am)n n个am n个m 幂 的 运 算 知识点01 （3）同底数幂的乘法与幂的乘方的比较 运算种类 公式 运算性质中的运算 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法   (m，n都是正整数) 乘法 不变 相加 幂的乘方   乘方 不变 相乘 推导过程 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，   幂的运算 知识点01 3.积的乘方 （1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方. 如 等. （2）积的乘方的性质 (ab)n = ab·ab·……·ab =(a·a·……·a) (b·b·……·b) =an·bn n个ab n个a n个b 整式的乘法 知识点02 （1）单项式乘单项式法则： 1.单项式与单项式相乘 （2）单项式与单项式相乘的步骤 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式. 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 整式的乘法 知识点02 （2）单项式与多项式相乘的几何解释： 2.单项式与多项式相乘 （1）单项式乘多项式法则 文字语言 符号表示 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加   p( a ＋ b + c ) ＝pa＋pb＋pc (p，a，b，c都是单项式） 如图，大长方形的面积可以表示:p(a＋b＋c) ， 也可以视为三个小长方形的面积之和， 即:pa＋pb＋pc. ∴p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 10 整式的乘法 知识点02 3.多项式与多项式相乘 （1）多项式乘法法则 文字语言 符号表示 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加  ( a + b )( p + q )＝ap＋aq＋bp＋bq (a，b，p，q都是单项式) （2）多项式与多项式相乘的几何解释： 如图，大长方形的面积可以表示为:(a＋b)(p＋q)， 也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即:ap＋aq＋bp＋bq. ∴(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 整式的乘法 知识点02 4.同底数幂的除法 同底数幂的除法的性质 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减 式子表示 (a ≠ 0， ，都是正整数， >) 零指 数幂 规定 ＝1(a ≠ 0) a可以是不为零的单项式或多项式 文字叙述 任何不等于0的数的0次幂都等于1 5.零指数幂 12 整式的乘法 知识点02 6.单项式除以单项式 运算法则 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 一般步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式 整式的乘法 知识点02 7.多项式除以单项式 运算法则 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 式子表示 注意：多项式(被除式)除以单项式是单项式乘多项式(商)的逆运算，因此多项式(被除式)除以单项式的结果可以用单项式乘多项式(商)进行检验. 平方差公式 知识点03 图①中阴影部分的面积为a2－b2， 把它分割并拼接成图② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). ∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 1. 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法： (a＋b)(a－b)＝a²－ab＋ab－b² ＝ a²－b² (2)几何图形证明法： 平方差公式 知识点03 3.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2 符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－  a2＝b2－a2 系数变化 (3a＋2b)(3a－2b) ＝(3a)²－(2b)²＝9a2－4b2 指数变化 (a³＋b2)(a³－b2)＝(a³)²－(b2)²＝－ 增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)²－c² 连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝－ 完全平方公式 知识点04 (a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²； (a－b)²＝(a－b)(a－b)＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b² . 完全平方公式： 1. 完全平方公式的推导： (1)代数运算证明法 (2)几何图形证明法(数形结合思想) ①：大正方形的面积为(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab； ②：左下角正方形的面积为(a－b)²＝a²－2ab＋b². 语言叙述： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. (a＋b)²＝a²＋2ab＋b² (a－b)²＝a²－2ab＋b². 完全平方公式 知识点04 3. 完全平方公式的几种常见变形 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]. 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 幂的运算 题型一 【典例1-1】（24-25八年级上•四川乐山•期末）计算（ ） A． B． C． D． 解： C 【典例1-2】（24-25八年级上•河南南阳•期末）已知 ，则 的值是（ ） A．8 B．24 C．40 D．48 解： ∵ ∴ ． D 幂的运算 题型一 【典例1-3】（24-25八年级上•河南周口•期末） 比较， ， 的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 解 ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ； C 幂的运算 题型一 【典例1-4】（25-26八年级上•新疆乌鲁木齐•期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 解：对于选项A：根据幂的乘方法则， , ，正确，符合题意； 对于选项B： ，错误，不符合题意； 对于选项C：根据同底数幂相乘法则， ，错误，不符合题意； 对于选项D：根据积的乘方法则， ，错误，不符合题意． A 幂的运算 题型一 【典例1-5】（24-25八年级上•内蒙古兴安盟•期末）计算： ． 解： ， 1 幂的运算 题型一 【变式1-1】（25-26八年级上•广东广州•期末）下列运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 解：A、 ，原计算错误，不符合题意； B、 ，正确，符合题意； C、 与 不是同类项，不能合并，不符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意． B 幂的运算 题型一 【变式1-2】（25-26八年级上•湖南•期末） 已知，则a、b、c、d的大小关系( ) A． B． C． D． 解∵ ， 且指数均为 11， 比较底数： ，∴． D 幂的运算 题型一 【变式1-3】（24-25八年级上•四川泸州•期末） 已知 ，则 ． 解： ， 3 幂的运算 题型一 【变式1-4】（23-24八年级上•福建福州•期末） 若 ，则 的值为 ． 解：∵ =8 ， 幂的运算 题型一 【变式1-5】（24-25八年级上•吉林白城•期末）计算： ． 解： ． 整式乘法 题型二 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 解：原式 【典例2-2】（25-26八年级上•甘肃•期末）一个长方形的长和宽分别是 （其中 ），则这个长方形的面积是 ． 解：∵长方形面积= 长 宽 ， ∴这个长方形的面积是 ． 整式乘法 题型二 【典例2-3】（24-25八年级上•福建福州•期末）化简： . 解： ， 【典例2-4】（24-25八年级上•青海西宁•期末）计算 的结果是 ． 解： ， 【典例2-5】（23-24八年级上•河北邯郸•期末）计算： ． 解： 整式乘法 题型二 【典例2-6】（24-25八年级上•湖北襄阳•期末）若 ， 则a＝ ． 解：由题意 可得 或 ，解得 或； 当 时， ． 综上，a可取值 或2或0． 或2或0． 整式乘法 题型二 【典例2-7】（25-26八年级上•全国•期末）计算： (1) ； (2) ． （1）解： ． （2）解： ． 整式乘法 题型二 【变式2-1】（24-25八年级上•贵州黔东南•期末） ． 解： 3 整式乘法 题型二 【变式2-2】（25-26八年级上•全国•期末）计算： 解： 整式乘法 题型二 【变式2-3】（24-25八年级上•浙江台州•期末）化简： (1) ； (2) ． （1）解： ； （2）解： ． 整式乘法 题型二 【变式2-4】（24-25八年级上•宁夏固原•期末）计算： (1) ； (2) ． （1）解： ； （2）解： ． 整式乘法 题型二 【变式2-5】（24-25八年级上•贵州•期末） 计算：（1）； (2) ． (3) ． 解：（1） （2） （3） ． 整式乘法 题型二 【变式2-6】（24-25八年级上•四川绵阳•期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是 a米，周边道路的宽度是x 米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是m 米，请用m 表示出花圃的面积． 解：（1）依题意，空地的长为 米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是 米，花圃的长是 米， ∴S花圃= 平方米； （2）∵花圃的宽是 米，且要求花圃的宽是米， ∴， ∴ ， ∴花圃的面积为 平方米． 平 方 差 公 式 题型三 【典例3-1】（25-26八年级上•甘肃天水•期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 解： A、 ，不符合平方差公式； B、 ，不符合平方差公式； C、 ， ∵相同项为，相反项为和 ， ∴原式 ，符合平方差公式； D、 ， 不符合平方差公式． C 平方差公式 题型三 【典例3-2】（25-26八年级上•江西•期末）计算： ． 解：原式 ． 【典例3-3】（24-25八年级上•广东东莞•期末）计算： ． 解： 平方差公式 题型三 【变式3-1】（24-25八年级上•甘肃酒泉•期末）计算： 解： ． 平方差公式 题型三 【变式3-2】（24-25八年级上•甘肃武威•期末）综合探究： 小明遇到下面一个问题：计算． ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) （1）解： 平方差公式 题型三 【变式3-2】（24-25八年级上•甘肃武威•期末）综合探究： 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 平方差公式 题型三 【变式3-2】（24-25八年级上•甘肃武威•期末）综合探究： 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) （2）解： =… 完全平方公式 题型四 【典例4-1】（25-26八年级上•甘肃•期末） 已知 ，则a的值为（ ） A．4 B．±4 C．2 D．12 解：∵ ， 且给定 ， ∴ ． 比较x项系数： ，∴ ； 验证常数项： ，符合． ∴a的值为2． C 完全平方公式 题型四 【典例4-2】（24-25八年级上•全国•期末） 若 是完全平方式，则的值为（ ） A． B． C． D．4 解： ， ∴ ， ∴ ， B 完全平方公式 题型四 【典例4-3】（24-25八年级上•甘肃武威•期末）已知， 则 的值是 ． 解： ， ∴ ， ， ． 98 完全平方公式 题型四 【变式4-1】（24-25八年级上•广东肇庆•期末）已知多项式 恰好是一个完全平方式，则 ． 解： ∵多项式 恰好是一个完全平方式， ∴， ∴． 完全平方公式 题型四 【变式4-2】（25-26八年级上•全国•期末） 已知，,求 的值． 解： ， ∴原式 ． 含乘方公式的混合运算 题型五 【典例5-1】（24-25八年级上•山西大同•期末）计算 的结果是 ． 解： 含乘方公式的混合运算 题型五 【典例5-2】（25-26八年级上•广东惠州•期末）计算： 解：原式 ． 【典例5-3】（24-25八年级上•新疆乌鲁木齐•期末）化简： 解：原式 ． 含乘方公式的混合运算 题型五 【变式5-1】（24-25八年级上•河北邯郸•期末） 小江将 展开后得到 ， 小华将 展开后得到， 若两人计算过程无误，则 的值为 ． 解： ∵ 展开后得到 ∴ ； ∵ 展开后得到 ， ∴， ∴ ． 4043 含乘方公式的混合运算 题型五 【变式5-2】（24-25八年级上•吉林白城•期末）计算： ． 解： 原式 ． 含乘方公式的混合运算 题型五 【变式5-3】（24-25八年级上•河北石家庄•期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中是两个关于， 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为 ， 多项式为__________， 例题的计算结果为__________； (2)计算： ． 同理，得：， ， 例题的化简结果为： 原式 ， （1）解：由题意得： ， 含乘方公式的混合运算 题型五 【变式5-3】（24-25八年级上•河北石家庄•期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中是两个关于， 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为 ， 多项式为__________， 例题的计算结果为__________； (2)计算： ． ． （2）解： 化简求值问题 题型六 【典例6-1】（25-26八年级上•全国•期末）先化简，再求值： ，其中 ． 解： ， 当时，原式 ． 【典例6-2】（24-25八年级上•福建泉州•期末）先化简，再求值： ，其中 ． 解： ， 当时，原式． 化简求值问题 题型六 【典例6-3】（24-25八年级上•青海西宁•期末）先化简再求值， 已知 ．求 的值． 解： ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴原式 ． 化简求值问题 题型六 【变式6-1】（24-25八年级上•四川乐山•期末）先化简，再求值： ，其中 ． 解： 当 时， 原式 ． 化简求值问题 题型六 【变式6-2】（24-25八年级上•四川眉山•期末） 先化简，再求值，已知 ， 求代数式 的值． 解： 原式 ， ∴ ， ∴原式 ． 化简求值问题 题型六 【变式6-3】（24-25八年级上•甘肃武威•期末）先化简，再求值： ，其中 ． 解： ， 当 时， 原式 ． 化简求值问题 题型六 【变式6-4】（25-26八年级上•全国•期末） 先化简 ， 然后从 ，1，3三个数中，任选一个合适的数作为x的值代入求值． 解： ， 当 时，原式 ． 规律探究问题 题型七 【典例7】（24-25八年级上•云南红河•期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如， 在三角形中第三行的三个数 ， 恰好对应 展开式中各项的系数； 第四行的四个数 ， 恰好对应着 展开式中各项的系数等等． 则 展开式中的第三项是（ ） A． B． C． D． 展开式中的第三项是 ． C 62 规律探究问题 题型七 【变式7-1】（24-25八年级上•河南新乡•期末） 观察下列等式，并回答问题 ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________ ______ . (2)用含有字母（ 的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 解：（1）由题中等式可知， （ 为正整数） ∵ ， ∴ ． （2）由题中等式可知，这一规律为： ， 右边 ． 即左边 =右边， 这一规律成立． 规律探究问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上•四川泸州•期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ， （1）你发现的规律是： ， 并写出推理过程； 类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ( )； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考： 把多项式 分解因式． 规律探究问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上•四川泸州•期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ， （1）你发现的规律是： ， 并写出推理过程； 类似地，你还可以得到如下规律： ； 解：（1）( ， 类似地， ， 规律探究问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上•四川泸州•期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： （2）用你发现的规律填空： ； ； ( )； ； （1）你发现的规律是： ， （2） 规律探究问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上•四川泸州•期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考： 把多项式 分解因式． （1）你发现的规律是： ， 解：（3） ① ： ； ② 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-1】（24-25八年级上•广东汕头•期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上 后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-1】（24-25八年级上•广东汕头•期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上 后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． （1）解：长方形的长为： 长方形的宽为： ； 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-1】（24-25八年级上•广东汕头•期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上 后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． （2）解：另一个长方形的宽： ． 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-2】（24-25八年级上•贵州黔东南•期末）如图，现有一块长为 米、宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． （1）解：阴影部分的面积为： ∴长方形孔部分的面积为 （2）当 时， 原式 即完成绿化共需要 （元) 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-3】（24-25八年级上•河南周口•期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ，求 的值． 解： ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)如图，C是线段上的一点，分别以为边向两侧作正方形，设 ，两正方形的面积和为20，求的面积； (2)若 ， 求 的值． （1）解： 设， ∴ ． ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-3】（24-25八年级上•河南周口•期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ，求 的值． 解： ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)如图，C是线段上的一点，分别以为边向两侧作正方形，设 ，两正方形的面积和为20，求的面积； (2)若 ， 求 的值． （2）解： ∵ ， ∴ ， ∴ ． 与几何图形有关问题 题型八 【典例8-4】（24-25八年级上•北京•期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式 ； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式： ； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示 (a+c)(a+2b)=a2+2ab+ac+2bc，其中a≠b≠c.， （3）解：如图所示， 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-1】（24-25八年级上•重庆九龙坡•期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（ ） A．43 B．33 C．38 D．48 解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为 ，如图所示： 在正方形中，， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为： ， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴ ，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为： ， ． 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴正方形A，B的面积之和为43． A 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-2】（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 ． (1)用含a，b的代数式分别表示 ； (2)若 ，求 的值； (3)当 时，求出图3中阴影部分的面积 ． （1）解：由图可得， ， ； （2）解： ， ∵ ， ∴ ； 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-2】（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 ． (1)用含a，b的代数式分别表示 ； (2)若 ，求 的值； (3)当 时，求出图3中阴影部分的面积 ． （3）解：由图可得， ， ∵ ， ∴ ． 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-3】（24-25八年级上•广东湛江•期末） 综合与实践． 图1是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式 ， ,之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求 的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-3】（24-25八年级上•广东湛江•期末） 综合与实践． 图1是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）解：图2中， 整体是边长为的正方形,面积为 ， 阴影部分的正方形的边长为，因此面积为 ， 四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有 ． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式 ， ,之间的等量关系为 ； ． 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-3】（24-25八年级上•广东湛江•期末） 综合与实践． 图1是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求 的值； (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式 ， ,之间的等量关系为 ； ． ∵， ∴ ； （2）解： 与几何图形有关问题 题型八 【变式8-3】（24-25八年级上•广东湛江•期末） 综合与实践． (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． （3）解：阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为10． 新定义问题 题型九 【典例9-1】（24-25八年级上•浙江台州•期末）一个四位自然数，满足 ，则称这个四位数为“幸运数” 例如：对于 ，∵ ，∴ 是“幸运数”； 对于，∵ ，∴ 不是“幸运数”． 若存在幸运数 ，使得，则满足条件的“幸运数”有（ ）个． A． 4 B．3 C．2 D．1 解：由题意得， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∵均为整数，且 ， ∴ 或 或 ， 当 时， 幸运数为 ， 当 时， 此时幸运数为 ， 当 时， 此时幸运数为 ， 则满足条件的“幸运数”有 3个， B 新定义问题 题型九 【典例9-2】（24-25八年级上•内蒙古巴彦淖尔•期末） 现规定一种新的运算， ，其中，为实数， 那么等于 ． 解：根据题意得： ， 新定义问题 题型九 【变式9-1】（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”， 例如（ ，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 解：设两个连续奇数分别为 和 （ 为正整数） ∵“和谐数” ∵“和谐数”不超过 ∵n为正整数∴ n的最大值为 ∴所有“和谐数”之和为： D 新定义问题 题型九 【变式9-2】（24-25八年级上•福建泉州•期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如： ，因此8 ，16 ，24 都是“登高数”． (1)特例感知：判断40 是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为 和 ，其中是正整数，那么“登高数”都能被8 整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过 2000的所有“登高数”的和． （1）解： 40是“登高数”，理由： 设 ， 解得： ， ∴ ， ∴ 40是 “登高数”； 新定义问题 题型九 【变式9-2】（24-25八年级上•福建泉州•期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如： ，因此8 ，16 ，24 都是“登高数”． (1)特例感知：判断40 是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为 和 ，其中是正整数，那么“登高数”都能被8 整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过 2000的所有“登高数”的和． （2）解：“登高数”能被 8整除，理由 ， ∵k 是正整数， ∴8 k能被 8整除， ∴ 能被8 整除， ∴“登高数”都能被8 整除； 新定义问题 题型九 【变式9-2】（24-25八年级上•福建泉州•期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如： ，因此8 ，16 ，24 都是“登高数”． (1)特例感知：判断40 是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为 和 ，其中是正整数，那么“登高数”都能被8 整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过 2000的所有“登高数”的和． （3）解：由（2），可知“登高数”能被8 整除， ， 不超过 的所有“登高数”有 ， ． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列运算正确的是（ ） A. a²+a³=a5 B.a²·a³=a6 C.(a²)³=a5 D. (ab)³=a³b³ D 解：A、a² 和 a³不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、a²·a³=a5 ，故本选项错误，不符合题意； C、 (a²)³=a6 ，故本选项错误，不符合题意； D、(ab)³=a³b³ ，故本选项正确，符合题意； 期末基础通关练 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末） ． 解： 期末基础通关练 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）计算： ． 解: 期末重难突破练 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知 ，， ，则的值是（ ） A．212 B．54 C．31 D．27 B 解： ∵，， ∴ 期末重难突破练 5．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值： ，已知 a、b满足 ． 解： ∴原式 期末综合拓展练 6．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）有n 个依次排列的整式：第一项是x² ；第二项是x²-2x+1 ；用第二项减去第一项，所得之差记为m1 ，将 m1加 2记为 m2 ；将第二项与m2 相加作为第三项；将m2 加 2记为m3，将第三项与m3相加作为第四项，以此类推，则m5和第 n项an的结果分别是（ ） m5 =-2x+9， an =(x-n)2 B. m5 =-2x+7， an =(x-n+1)² C. m5 =-2x+9， an =(x-n+1)² D. m5 =-2x+9， an =(x-n-1)² 解：由题意可得 第 n项an形式为 D 期末综合拓展练 7. (24-25 八年级上·浙江台州·期末)如图，两个正方形放置于长方形EFGH内(正方形的两边在长方形的边上)，长方形ABCD是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， 则AB+HG= (用含m、n的代数式表示). 解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴ ∴ 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $