专题03 乘法公式9大题型（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

专题03 乘法公式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、运用平方差公式进行运算 1 题型二、利用平方差公式进行简便运算 3 题型三、平方差公式在几何图形中的应用 5 题型四、运用完全平方公式进行运算 9 题型五、利用完全平方公式进行简便运算 12 题型六、与乘法公式有关的化简求值问题 14 题型七、通过对完全平方公式变形求值 15 题型八、求完全平方式中的字母系数 18 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、运用平方差公式进行运算 1.运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活运用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）先化为平方差公式的形式，再利用平方差公式计算即可； （2）先变形，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 3．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型二、利用平方差公式进行简便运算 4.简便计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 5．简便方法计算：． 【答案】4 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ． 6．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)9999 (2)1 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平方差公式运算即可； （2）先根据平方差公式计算，再算加减； （3）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型三、平方差公式在几何图形中的应用 7.【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 8.综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 9.从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 题型四、运用完全平方公式进行运算 10.计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 题型五、利用完全平方公式进行简便运算 13.运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)104.04 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，． （1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可； （2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14.用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)252004 (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查利用平方差公式和完全平方公式简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． （1）由，结合完全平方公式计算即可； （2）由，结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 15.运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六、与乘法公式有关的化简求值问题 16．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据，求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 17．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项后计算多项式除以单项式，最后把，代入计算即可得到答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 题型七、通过对完全平方公式变形求值 19.当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 20.已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 21．已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 题型八、求完全平方式中的字母系数 22.已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 23．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 24．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或4x6或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时Q=4x6； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 25.图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 26.把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 27. 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 一、单选题 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：A. ，A选项运算错误，不符合题意； B. ，B选项运算错误，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，D选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）是完全平方式，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式的应用，掌握完全平方式的特征是解题的关键，注意：完全平方式有两个：和．利用完全平方公式计算即可求出的值． 【详解】是完全平方式， ， ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）若，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，求出M与N的差，根据完全平方的非负性即可解决． 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 故选：A． 4．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（    ）． A．8或10 B．8 C．10 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、绝对值和偶次方的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，则可得，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系分两种情况，据此求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰三角形的两条边， ∴①当这个等腰三角形的三边长为时，，满足三角形的三边关系， 则这个等腰三角形的周长是； ②当这个等腰三角形的三边长为时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 综上，这个等腰三角形的周长是10， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．94 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用． 设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）填空：( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，并能准确找出公式中的和是解题的关键．根据平方差公式，对进行变形，找出与对应的另一个因式． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川达州·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的应用，解题关键是将转化为． 将转化为后可得原式为，即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用， 根据平方差公式得，再结合代入可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 则． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·北京·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式，多项式除以单项式化简，再代入求值即可． 【详解】， 原式 ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 三、解答题 11．（24-25六年级下·山东淄博·开学考试）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． （2）根据平方差公式求解即可． （3）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式进行展开，合并同类项，再运用多项式除以单项式，得出，最后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，再结合，得出，然后代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， 解得， ． 当时，． 14．（21-22八年级下·湖北孝感·期中）已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． （1）直接将，代入，根据完全平方公式计算即可； （2）直接将，代入，根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25六年级下·山东淄博·开学考试）先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，4 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先算单项式乘以多项式和用完全平方公式展开，再合并同类项化简，最后把的值代入计算即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，然后算多项式除单项式，最后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解： ， 当，时，原式． 16．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，其中，B，C，E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为． (1)试通过计算说明，的值与a的大小无关； (2)①___________（用含a，b的代数式表示）； ②若，，则的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）①用两个三角形面积之和求出阴影部分的面积即可； ②根据图形列式求出，表示出，然后利用完全平方公式求出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴的值与a的大小无关； （2）解：① ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察前面等式的规律，确定第5个等式中各数； （2）先根据规律猜想第个等式，再通过整式运算展开化简左边，与右边比较证明等式成立． 本题主要考查了数字的变化规律以及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：． （2）解：第个等式：． 证明：左边 ， 右边， 所以左边右边， 所以等式成立． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 19．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【答案】(1) (2)①4；②1 (3)6 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正整数幂的尾数特征，准确识图，熟练掌握平方差公式的结构特征，正整数幂的尾数特征是解决问题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，再由图①，图②中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）①根据得，由（1）中的乘法公式得，将代入计算可得的值； ②变形得，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算，再根据，，，，，，…，得到的个位数字为6，然后根据得的个位数字为6，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图①中阴影部分的面积为：， ∵图②中阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图②中阴影部分的面积为：， 由拼图可知：图①中阴影部分的面积图②中阴影部分的面积， ∴得到的一个乘法公式是：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， 即， 由（1）中的乘法公式得：， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ； （3）解： ， ∵，，，，，，…， ∴的个位数字为6， 又∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为6． 20．（24-25七年级下·河北保定·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03乘法公式 目录 A题型建模·专项突破 题型一、运用平方差公式进行运算 题型二、利用平方差公式进行简便运算… .3 题型三、平方差公式在几何图形中的应用… 题型四、运用完全平方公式进行运算… 5 9 题型五、利用完全平方公式进行简便运算 12 题型六、与乘法公式有关的化简求值问题…。 .14 题型七、通过对完全平方公式变形求值.… .15 题型八、求完全平方式中的字母系数… 18 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 …18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、运用平方差公式进行运算 1运用平方差公式计算： (1)(x+3)(x-3)(x2+9); ++ 2.计算： (1)-3x2-5yj3x2-5y): 29x2+1(1-3x(-3x-1. 3.利用乘法公式计算下列各题： (1)川2x+y)(2x-y): e+5rj〔后-5rj月 (3x+3(x-3x2+9; ++》 题型二、利用平方差公式进行简便运算 4简便计算：-19乙×202 9 9 5.简便方法计算：30002-2998×3002. 6.用简便方法计算： 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1101x99: (2)20222-2023×2021. 1-11g1） 题型三、平方差公式在几何图形中的应用 7.【探究】(1)如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个 长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：-（用含，b的等 式表示)： b b← 图① 图② 【应用】(2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知m2=16+4n2,m+2n=4,则m-2n的值为- ②计算：20232-2024×2022. 【拓展】(3)计算：502-492+482-472+…+42-32+22-12. 8.综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： ③ ② (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有（填序号）： (2)【应用】利用"平方差公式”计算：20242-2023×2025； (3)【拓展】计算：(2+1)(22+1(24+1(28+1小…(24+1 9.从边长为α的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）. 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -ba习 ←-h 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是_（请选择正确的一个）. A.a2-2ab+b2=(a-b)月 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) (2)若x2-9y2=12,x+3y=4,求x-3y的值， 3)计算： （0-0-￥-(-24〔1-02) 题型四、运用完全平方公式进行运算 10.计算： 2x+3- 11.计算： (1)(-5a+4b; a. f-j (m 12.计算： (1)1+4a2; 2-5+3y)2: 3x2-6y: -2 5)(2a+1)2-4a(a-1: o6+2yj+5-2yj 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五、利用完全平方公式进行简便运算 13.运用完全平方公式计算： (1)97: (210.22. 14.用简便方法计算： (1)5022 (2)20232-2024×2022 15运用完全平方公式计算： (1)632: (2)982: (3)700.12; (4)499.92. 题型六、与乘法公式有关的化简求值问题 16.(25-26八年级上广东深圳开学考试)化简求值：[(x-y)2-x(3x-2y+(x+yx-y)]÷(2x,其中 x=l,y=-2 17.(25-26八年级上陕西西安开学考试)化简求值： [2x-32-x+23x-列-(x-x+3列]，其中xy=-号 1 18.(24-25七年级下.四川成都期中)先化简，再求值：(x-2y)2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)÷(2x), 其中(x-1)2+(y+1)2=0. 题型七、通过对完全平方公式变形求值 1 19.当a=。,b=2时，求下列代数式的值： 1a+b)2-(a-b)2: (2）a2+2ab+b2 20.已知a+b=4,ab=-5,求： (1)a2+b2的值： (2(a-b)的值. 21.已知(x+y)2=18,(x-y2=6,分别求下列式子的值： (1)x2+y2; 4/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)x2+3xy+y2: (3)x4+y4. 题型八、求完全平方式中的字母系数 22己知关于x的式子4x2+A+1是某个多项式的完全平方，那么A是 23.若x2+(a-1x+25是一个完全平方式，则a=_ 24.若整式4x4+x2+Q是完全平方式，请写出所有满足条件的Q是一· 题型九、完全平方公式在几何图形中的应用 25.图1是一个长为4b,宽为α的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方 形拼成一个“回形”正方形（如图2）， b a 5 bbbb 图1 图2 (1)观察图2，请你写出(a+b)2,（a-b)2,ab之间的等量关系：- (2)若m-n=3,mn=8,求(m+n的值为：- =7,求m+的值为：一 3)若m2+1 m 26把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一 种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全 平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(如图1). a b B b 图1 图2 图3 (1)观察图2，请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是 拓展应用：根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若x+y=4,x·y= ,且x>y,求-y的值： 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若(2025-m2+(m-2024)2=7,求2025-m)(m-2024)的值： (4)如图3，在△BCE中，∠BCE=90,CE=8,点M在边BC上，CM=3,在边CE上取一点9，使 BM=EQ,分别以BC,CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPO,连接BQ,若△BCQ的面积 等于)，设BM=x(x>O,求正方形ABCD和正方形COP巴的面积和 27.将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题 例如：若a-b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：：a-b=3,ab=1, ∴a2+b2=(a-b)+2ab=32+2×1=11请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若x+y=7,x2+y2=25,求y的值 (2)将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示方式放置，其中点D在边CE上，连 接AG，EG,若x+y=10,y=14,求阴影部分面积. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级下·河北石家庄期中)下列各式计算正确的是() A.-6a2b2.-3a2b=-18ab B.-2x3x2y-2xy)=-6x3y-4x2y D.(x+2)2=x2-4x+4 2.(24-25八年级上宁夏吴忠期末)4x2+mx+4是完全平方式，则m等于() A.8 B.8或-8 C.4 D.4或-4 3.(24-25七年级下.江苏盐城阶段练习)若M=2x2-12x+15,N=x2-8x+11,则M与N的大小关系为 () A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N 4.(24-25八年级上·全国阶段练习)已知a,b是等腰三角形的两条边，且a,b满足等式 a-4+b2-4b+4=0,则此等腰三角形的周长是(). 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.8或10 B.8 C.10 D.18 5.(24-25八年级上·浙江台州期末)有两个正方形A、B,现将B放在A的内部得图甲，将A,B重新放置 后，构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正 方形B,按如图丙摆放，则阴影部分的面积为() B 甲 丙 A.94 B.77 C.78 D.79 二、填空题 6.(25-26八年级上·全国单元测试)填空：(4x-y)( )=16x2-y2. 7.(24-25七年级下·四川达州期中)20252-2023×2027= 8.(25-26八年级上全国.单元测试)若ad2-b=12,a+b=4,则b-a= 9.(25-26七年级上北京开学考试)已知3x-2y=5,则代数式6x+(x2-°-(x+y-2x'的值 为 10.(24-25七年级下·河南郑州期末)如图，两个边长分别为Q和b的正方形如图(1)放置，其未叠合部分 (阴影)面积为S,；若再在图(1)中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图(2）)，两个小 正方形叠合部分（阴影）面积为S2.若a+b=9,ab=12,则S,+S2= a a S2 图(1) 图(2) 三、解答题 11.(24-25六年级下山东淄博·开学考试)计算： (1)4a3b-6a2b2+12ab3）÷2ab (2)a-2b+3ca+2b-3c (3)(3x-2y)-(2x+3y)2 12.(2025八年级上全国专题练习)先化简，再求值：(2x-y)+(2x+y(2x-y-2y÷(2x,其中 7/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=5,y=3 13.(2025八年级上·全国.专题练习)先化简，再求值：(x-2y)2-(x+3y)x-3y)+3y2÷(-4y),其中 y=Vx-1+-x+2. 14.(21-22八年级下湖北孝感期中)已知x=2-√5，y=2+√5，求下列式子的值： (1)x2+y2; (2)x2y2+y+V5. 15.(24-25六年级下·山东淄博开学考试)先化简，再求值 0x+2列-(++2x,其中x=石少=-25. (2(2x+y(2x-y)-(2x-3y)2]÷(-2y川，其中r=1,y=2 16.(24-25七年级下·江苏南京·阶段练习)如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG拼在 一起，其中a>b,B,C,E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为S,S2. D D G B C B 图1 图2 (I)试通过计算说明，S,的值与a的大小无关： (2①S2= (用含a,b的代数式表示)： ②若a-b=2,a2+b2=7,则S的值为 17.(25-26七年级上·全国·期中)观察下列等式： 第1个等式：2×4-32=-1； 第2个等式：3×5-42=-1； 第3个等式：4×6-52=-1； 第4个等式：5×7-62=-1； (1)写出第5个等式： (②)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明. 18.(24-25七年级下·浙江宁波·期中)如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对 称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）， 8/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m m n 图① 图② (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为-（用含m,”的式子表示）； (②)观察图②，写出代数式(m+n),(m-n)与m之间的等量关系： (3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题： ①若m+n=7,mn=5,求(m-n)的值； ②若a+1=3, 2 求a- 的值 a a 19.(24-25七年级下陕西汉中.期末)【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方 形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 Q a a b 图① 图② ()由上面的拼图可以得到一个乘法公式： (②)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m-n=3,4m2=12+n2,则2m+n的值为 ②计算：20222-2023×2021. (3)计算：(2+(22+1(2+1(2+1…(22+1+1的个位数字. 20.（24-25七年级下·河北保定·期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性， 可以帮助我们理解数学问题. M 一a>米b 图1 图2 图3 ①如图1，将边长为a+b的正方形分割成四部分，则a2+b2=(a+b)2- 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②用4个长和宽分别为a、b的长方形拼成如图2的正方形，则(a+b)2=(a-b)2+ 【阅读理解若x满足(70-x)(x-50)=30,求(70-x)2+(x-50)2的值” 解：设70-x=a,x-50=b, 则(70-x)(x-50)=ab=30,a+b=(70-x)+(x-50)=20 (70-x)2+(x-50)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340 【解决问题】 (1)若x满足(40-x(x-30)=-20,则(40-x)2+(x-30)2的值为 (2)如图3，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，四边形PODH是长方形，求图中阴影部分的面积.（结果必须是一个具体的数值） 10/10