专题03 三角形（期末复习课件）七年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份人教版五四制初中数学七年级下学期期末复习课件，聚焦“三角形”专题，以学习支架形式涵盖考情分析、必备知识、题型突破及分层验收，整合概念性质、解题方法与应用案例。 资料特色鲜明，通过表格梳理三边关系文字与数学语言培养几何直观，折叠问题探究提升空间观念，角平分线与高综合题强化推理能力，分层练习适配不同学情，助力学生用数学思维解决问题，为教师提供结构化资源，提升复习效率。

专题03 三角形 七年级数学下学期 期末复习大串讲 人 教 版 五 四 制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 三角形基础概念与性质 掌握三角形的核心概念与分类；牢记并理解三角形的基本性质；掌握三角形稳定性的特性，了解其实际应用价值。 基础考点，多以选择、填空题形式出现，考查三角形的分类、三边关系、重要线段的特征、内角和与外角性质等基础知识点。 三角形重要线段的应用 准确理解高、中线、角平分线的概念，能规范作出不同类型三角形的三条重要线段，掌握其位置特点及核心性质。 重点考查中线平分面积的性质，常以填空题或解答题小题形式出现，通过线段中点关系求解三角形或四边形的面积。 角度计算综合题 牢记三角形内角和为180°，理解其剪拼、作平行线等证明思路；熟练运用直角三角形两锐角互余的性质及逆判定；掌握三角形外角的定义、性质及外角和为360°的结论。 高频考点，多以解答题形式出现，综合运用内角和定理、外角性质、直角三角形锐角互余、角平分线定义等知识，涉及折叠模型、双角平分线模型等常见题型。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 三 角 形 知识点01 2.按边的相等关系分类： 不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 3.三角形具有稳定性． 4.三角形的重心：是三角形三边中线的交点． 1.三角形的概念： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 三角形三边关系 知识点02 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中， a+b＞c； a+c＞b； b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围： |a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．   三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中， |a-b|＜c； |a-c|＜b； |b-c|＜a A C a b c 1.三角形三边关系定理： 三角形的角平分线、中线和高 知识点03 三角形的高 三角形的中线  三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．  三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．  三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示       作法 过点A作AD⊥BC于点D．  取BC边的中点D，连接AD．  作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．  符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°， ∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°)  1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点．  1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．    性质 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．  ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 注意： 1.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 2.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点； 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三角形的角平分线、中线和高 知识点03 A C A C A C D ∟ E ∟ F ∟ D ∟ ∟ E ∟ F ∟ D ∟ H H 三角形内角和定理 知识点04 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠C=180°   2. 三角形内角和定理的操作探究 如图，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 9 三角形内角和定理 知识点04 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路  图 示 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角   利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角   利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角   三角形的外角 知识点05 三角形的外角： 如图 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒： 如图 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 三角形的外角 知识点05 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角和定理 符号语言：如图 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 ° 直角三角形的性质与判定 知识点06 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边’ 2.直角三角形的性质与判定   文字语言 几何语言 图形   性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90°     判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°， ∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形   破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 三角形的相关概念 题型一 【典例1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（ ） 解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． A． B． C． D． D 三角形的相关概念 题型一 【变式1-1】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 解：空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性． D 三角形的相关概念 题型一 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， A 【变式1-3】（22-23八年级上·山东滨州·期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：图中的三角形有： ，共5个． C 三角形的三边关系 题型二 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·期末）若一个三角形的两边长分别为5和12，则第三边长不可能是（   ） A．7 B．9 C．13 D．16 解：设三角形的第三边长为， 由三角形三边关系可得： ， 即， 第三边长不可能是， A 三角形的三边关系 题型二 【典例2-2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 解：A、，不能构成三角形， 则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； B、，不能构成三角形， 则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； C、，，能构成三角形， 则此项能搭建一个三角形木架，符合题意； D、，不能构成三角形， 则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； C 三角形的三边关系 题型二 【典例2-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 解：因为，， 所以，即， 因为是等腰三角形， 所以， 所以的周长． 三角形的三边关系 题型二 【变式2-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 解：选项A：∵， ∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7， ∴不能围成三角形； 选项C：∵， ∴不能围成三角形； 选项D：∵，，， ∴能围成三角形； D 三角形的三边关系 题型二 【变式2-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ）  A． B． C． D． 解：， ∴， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， D 三角形的三边关系 题型二 【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 8，8，5或6，6，9 三角形的重要线段 题型三 【典例3-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， D A． B． C． D． 24 三角形的重要线段 题型三 【典例3-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（    ） A． B． C． D． 解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可得最短， A 三角形的重要线段 题型三 【变式3-3】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 6 三角形的重要线段 题型三 【变式3-1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高．选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， A 三角形的重要线段 题型三 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 解：∵是中线，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高，∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H，  ∵是角平分线，∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线，∴与不一定相等，故D错误，符合题意． D G ∟ H ∟ 三角形的重要线段 题型三 【变式3-3】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长， 三角形的重要线段 题型三 解：∵点D为边的中点，且的面积等于15， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∵点F为边的中点， ∴． 【变式3-4】（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且的面积等于15，则的面积为 ． 三角形内角和定理的证明 题型四 【典例4】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， 则可得， ， ， ，故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， D 三角形内角和定理的证明 题型四 【变式4-1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于． 小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明． 下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 三角形内角和定理的证明 题型四 证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴， 即． 三角形内角和定理的证明 题型四 【变式4-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，．求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）． 下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（ ） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 三角形内角和定理的证明 题型四 【变式4-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，．求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）． 下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（ ） ，（平角的定义） ．（ ） 两直线平行，内错角相等 等量代换 三角形内角和定理的证明 题型四 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 三角形内角和定理的应用 题型五 【典例5】（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵ （三角形内角和定理）， （已知）， ∴， 即， ∴． A 三角形内角和定理的应用 题型五 【变式5-1】（24-25八年级上·山东德州·期末） 若的三个内角之比是，则是（    ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解：由题意：， ∴的三个内角度数为，， ∴是等腰直角三角形， D 三角形内角和定理的应用 题型五 【变式5-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 解：共有个角， 则共有（个）三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 所以锐角三角形的个数． 3 三角形折叠中的角度问题 题型六 【典例6】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 解：由折叠的性质可知： ，， ∴ ． 在中，，， ∴ ． 三角形折叠中的角度问题 题型六 【变式6-1】（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 解：在中，， ∴， 由折叠可知， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． C 三角形折叠中的角度问题 题型六 【变式6-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 解：，， 由折叠可知， ， ， ， 三角形折叠中的角度问题 题型六 【变式6-3】（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 解：∵将沿直线翻折，使点B落在处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 40 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 【典例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． （1）解：∵平分，， ∴， ∵，∴； （2）解：是的平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵，∴， ∴，∴是的平分线． 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 解：∵平分， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，∴， ∴， ∴． 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． （1）解：如图1中，与的平分线相交于点， ， ，； 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． （3）解：如图，延长至， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 即， 又，， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍， 那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③， 则， 综上所述，的度数是或或． 与高的角平分线有关计算 题型八 【典例8】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 解：是边上的高， ． ，， ， ． ． 是的平分线， ． ． 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 【变式8-1】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 与高的角平分线有关计算 题型八 【变式8-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末） 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． （1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 与高的角平分线有关计算 题型八 【变式8-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； 【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长． 与高的角平分线有关计算 题型八 【变式8-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 与高的角平分线有关计算 题型八 【变式8-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末） 【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； （1）解：根据折叠可知： ， ， ， ； （2）证明：如图， 过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，由题可知，，， ， 平分，， ，， 即平分； M ∟ F ∟ H ∟ 与高的角平分线有关计算 题型八 【变式8-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末） 【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长． （3）如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，  由题可知，，， ， 由（2）可知，， ， ， 即， 解得． M ∟ M ∟ 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【典例9】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． （1）证明：∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【变式9-1】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． （1）证明：∵ ， ∵，∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴． 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【变式9-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时， ； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ． 解：（1）由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【变式9-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时， ； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ． （2）设，则， ∵射线平分， ∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，∴． 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【变式9-3】（23-24八年级上·全国·期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． （1）解：，理由如下， 如图1，∵与互补， ∴． 又∵， ∴， ∴； 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【变式9-3】（23-24八年级上·全国·期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； （2）证明：如图2，由（1）知，， ∴． 又∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴； 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 【变式9-3】（23-24八年级上·全国·期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵ ∴ ∵，∴ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴的大小不会发生变化，其值为． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 解：∵三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性， ∴图形中具有稳定性的是A． A 期末基础通关练 2．（22-23八年级上·全国·期末）一把直尺和一块三角尺如图所示放置，若图中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． B 期末基础通关练 3．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） 解：根据三角形外角性质得， ， ， ， D A． B． C． D． 期末基础通关练 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 期末基础通关练 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． （1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 期末重难突破练 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． C 解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 6．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 解：由题意得，，， 是的一个外角， ． 期末重难突破练 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． （2）解：，， ， 平分， ， ， ． （1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， 又， ， ； 期末综合拓展练 8.（25-26八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的底角是（     ） A． B．或 C． D．或 B 解：由题意知，分的角是顶角和底角两种情况求解： ①当的角是顶角， 则等腰三角形的底角为； ②当的角是底角，则等腰三角形的底角为， 综上，等腰三角形的底角为或． 期末综合拓展练 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数) ， 期末综合拓展练 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． （1）∵在中，， ∴． 由折叠，可知，∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 期末综合拓展练 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； （2）． 理由如下：如图，连接，  则，分别是和的外角， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴． 期末综合拓展练 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． （3）． 如图，设与相交于点O，  则是的外角， 是的外角， ∴， ， ∴． ∵，， ∴． O 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $