专题04 二元一次方程组（期末复习课件）七年级数学下学期新教材人教版

这是一份初中数学七年级下学期期末复习课件，聚焦二元一次方程组，通过“析考情、记知识、破难点、分层验收”四模块构建学习支架，涵盖概念、解法、思想方法及应用，配套典例与变式练习。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，以“问题情境—解题技巧—易错点拨”模式培养抽象能力与运算能力，如通过行程问题、利润问题强化模型意识，分层验收题满足不同学生需求，助力教师系统教学，帮助学生夯实基础提升解题能力。 七年级学生处于初中初期，需适应数学思维转变，本资料通过系统梳理知识、实例解析与分层训练，帮助学生巩固基础、培养逻辑推理与应用能力，高效备战期末。

专题04 二元一次方程组（期末复习讲义） 七年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程组概念 理解掌握定义及解的概念，能准确辨析； 多以选择填空考查概念、解的判断与含参计算。 二元一次方程组解法 熟练运用代入、加减消元法灵活解题； 必考解答题，侧重基础计算与含参问题。 三元一次方程组解法 会消元转化为二元一次方程组再求解； 基础解答题，考查转化与消元能力。 一次方程组解法中的数学思想方法 理解消元、转化、整体代入等数学思想； 渗透各类题型，常结合含参、巧算考查 整体代入简化。 一次方程组的应用 会列方程组解行程、工程、利润等应用题； 必考解答大题，分值高。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二元一次方程组 知识点01 1.二元一次方程的概念 含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程． 3.二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解； 一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 2.二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.   二元一次方程组 知识点01 4.二元一次方程组解法 （2）加减消元法 解题思想：消元 在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. （1）代入消元法 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 三元一次方程组 知识点02 1.定义：如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 2.解三元一次方程组的基本方法是： 二元一次方程组 一元一次方程 三元一次方程组 消 元 消 元 示例 一次方程组解法中的思想方法 知识点03 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 一次方程组的应用 知识点04 1.和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； 3.图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 2.数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二元一次方程组概念 题型一 解｜题｜技｜巧 紧扣“二元、一次、整式”三条件，解需满足两方程； 易｜错｜点｜拨 混淆方程/组解；忽略分母含未知数非整式。 二元一次方程组概念 题型一 【典例1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． A 解： A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 二元一次方程组概念 题型一 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 解： ∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， C 二元一次方程组概念 题型一 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， A 二元一次方程组的解法 题型二 解｜题｜技｜巧 系数为±1用代入； 系数同/反用加减 消元漏乘、移项不变号； 易｜错｜点｜拨 未化最简即计算 。 二元一次方程组的解法 题型二 【典例1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将①×（-5）+②×2 B．要消去，可以将①×2+②×（-5） C．要消去，可以将①×5+②×3 D．要消去，可以将①×5+②×2 A 解：， 要消去x，可以将①×（-5）+②×2 或①×5-②×2 ， 故选项A正确，选项B错误； 要消去y，可以将①×3+②×5 故选项C，D错误． 15 二元一次方程组的解法 题型二 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． （1）解：， ①×2−②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：整理得， ①×2得， ，得， ，得，解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 16 二元一次方程组的解法 题型二 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末） 若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 解:（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 17 三元一次方程组解法 题型三 解｜题｜技｜巧 先消同一元化二元，再按二元法求解； 消元混乱；漏求第三个未知数；未检验 。 易｜错｜点｜拨 三元一次方程组解法 题型三 【典例1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 解： 把①代入③中，得， ， 把代入中， 得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 三元一次方程组解法 题型三 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知， 则的值为________． 解： ①+②+③得： ∴   三元一次方程组解法 题型三 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 解:（1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ 三元一次方程组解法 题型三 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) （2） ①+③得 联立②和④，得， 解得把代入①， 得： ∴ 一次方程组解法中的思想方法 题型四 解｜题｜技｜巧 消元降次化未知为已知 不会整体换元； 易｜错｜点｜拨 转化思路不清致步骤错。 23 一次方程组解法中的思想方法 题型四 【典例1】解方程组 解：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得： 4x+3(21-3x)=53 解得：x=2 把x=-2,代入③式，得：y=3 ∴方程组的解为 【点睛】 这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 一次方程组解法中的思想方法 题型四 【典例2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：①②，得，即．③ ③ ，得．④ ①④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 一次方程组解法中的思想方法 题型四 【典例2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． (1)请你仿照上面的解法，解方程组： （1）解： ②①，得．③ ②－③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 一次方程组解法中的思想方法 题型四 【典例2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． （2）解： ②−①得：． ∵，∴．③ ②－③，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解： 一次方程组解法中的思想方法 题型四 ① ② 【典例3】解方程组 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可化 解之，得：， 即 解之，得： 一次方程组解法中的思想方法 题型四 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末） 关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． B ∵ ①+②得 2 x + y= 9k， 把代入得： ， 解得 . 解： 一次方程组解法中的思想方法 题型四 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得：； D 一次方程组的应用 题型五 解｜题｜技｜巧 找准两个等量关系，合理设元，规范作答 等量找错； 易｜错｜点｜拨 设元不当；解未检验舍负值。 一次方程组的应用 题型五 【典例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 B 解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 一次方程组的应用 题型五 【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 等量关系： 甲车4h的路程+乙车4h的路程=400km， 甲车5h的路程+（甲车2h的路程+乙车2h的路程）=400km， 【分析】 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意， 画出示意图: 一次方程组的应用 题型五 解： 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意，可得方程组  由①,得y=100-x ③ 把③代入②,得7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h. 【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 一次方程组的应用 题型五 【典例3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下： （水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ （1）解：根据题意可得， ， 解得，，即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为： ， 答：6月份小王家用水， 应交水费元． 一次方程组的应用 题型五 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 一次方程组的应用 题型五 【变式2】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 上坡路与平路的长度之和为： ， 答：小华家离学校． 一次方程组的应用 题型五 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； （表1） 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 表2 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 一次方程组的应用 题型五 （1）解：由题意可知： 解得：． 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 一次方程组的应用 题型五 （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算，即： （元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费，则 解得：． ∴这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练（测试时间：１0分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末） 已知满足方程组，则之间的关系式是（   ） A． 　B． C． 　　D． A 解：， ①×2+②得： ， 期末基础通关练（测试时间：１0分钟） 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 解：将代入方程，得： 解得： D 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程 ，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． 　B． C． D． B 解：依题意，， 解得：， 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（   ） A． 　　B． C． 　　　　　D． 解：依题意，得：， A 等量关系： 康乃馨的枝数+百合的枝数=18枝 康乃馨的价钱+百合的价钱=100元 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《张邱建算经》中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． 　　　 B． C． 　　　 D． 解：设甲原有枚，乙原有枚， 则：， D 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 解：， 由①＋②得，， ， 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）若是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 解：把代入，得： ， 解得：； 3 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末） 已知，则_____． 解： ①+②得：， 则， 代入①得：， 则， 原式， 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，表1，表2分别列举了关于的方程和方程的部分解： x ….. 1 2 3 4 …… y …… 0 1 2 3 …… 表1 x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 则关于的方程组的解为_________． 表2 解：把时，，时，， 分别代入得： ，解得：， ∴可以变为： ，即， 把时，，时，， 分别代入得： ，解得：， ∴可以变为： ， 即， 解方程组得：． 三、解答题 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）解二元一次方程方程组：． 解：①×2-②×3得： ， 解得：， 把代入②， 得，解得， ∴原方程组的解是． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）解方程组：； ①+②+③得，， 整理得： ④， ④−①得，， ④−②得，， ④−③得，， ∴原方程组的解为； 解： 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．今年夏天苏超联赛火热进行，运动员需要科学搭配饮食以确保最佳竞技状态．一名中场球员每日训练和比赛需要确保充足的能量（热量）和蛋白质摄入，以维持高强度运动并促进肌肉恢复．现计划主要使用鸡胸肉、全麦面包和牛奶三种食物来满足核心需求．营养成分数据如表： 食物 每份热量（千卡） 每份蛋白质（克） 每份钙（毫克） 鸡胸肉 320 32 30 全麦面包 280 7 80 牛奶 50 3.4 150 (1)若某运动员今日所食用的鸡胸肉和全麦面包的总热量为4400千卡，总蛋白质230克，则该运动员食用鸡胸肉和全麦面包各多少份？ (2)在满足基础热量和蛋白质需求（即问题（1）的膳食方案）后，营养师需进一步优化饮食结构，使运动员每日钙摄入量不低于1200毫克．为简化调整过程，要求如下：总食物份数与鸡胸肉份数保持不变，仅通过减少全麦面包份数、等量替换为牛奶的方式进行优化．请基于上述条件，设计合理的饮食调整方案． 说明： 鸡胸肉、全麦面包、牛奶按100克/份计算． （1）解：设该运动员食用鸡胸肉x 份，全麦面包 y份， 由题可知 解之得 ， 答：该运动员食用鸡胸肉5份，全麦面包10份． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．今年夏天苏超联赛火热进行，运动员需要科学搭配饮食以确保最佳竞技状态．一名中场球员每日训练和比赛需要确保充足的能量（热量）和蛋白质摄入，以维持高强度运动并促进肌肉恢复．现计划主要使用鸡胸肉、全麦面包和牛奶三种食物来满足核心需求．营养成分数据如表： 食物 每份热量（千卡） 每份蛋白质（克） 每份钙（毫克） 鸡胸肉 320 32 30 全麦面包 280 7 80 牛奶 50 3.4 150 (1)若某运动员今日所食用的鸡胸肉和全麦面包的总热量为4400千卡，总蛋白质230克，则该运动员食用鸡胸肉和全麦面包各多少份？ (2)在满足基础热量和蛋白质需求（即问题（1）的膳食方案）后，营养师需进一步优化饮食结构，使运动员每日钙摄入量不低于1200毫克．为简化调整过程，要求如下：总食物份数与鸡胸肉份数保持不变，仅通过减少全麦面包份数、等量替换为牛奶的方式进行优化．请基于上述条件，设计合理的饮食调整方案． 说明： 鸡胸肉、全麦面包、牛奶按100克/份计算． （2）解：设替换后全麦面包 m份，牛奶（10-m） 份， 由题可知 解得，取最大整数为6， 所以全麦面包最多6份，牛奶最少4份． 调整方案： 替换4份全麦面包为牛奶，即全麦面包6份，牛奶4份， 此时钙总量为： 毫克． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． 　　　　　B．1 　　C．2 　　　　　　　D．3 解：代入方程，得： 整理，得 解得： D 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 　　　　　　C．150元 　　D．160元 解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元． 根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到： ， 化简得： ， 两边同时除以4，得： ， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． A 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末） 已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 　　　B．15 　　　　C．16 　　　　　　D．18 解：由题意，得， 整理②，得， 把①代入得， ∴． A 4．（24-25七年级下·山西长治·期末） 解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 解： ∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． B 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·期末） 已知方程组的解是，则____，_______ 解：∵方程组的解是， ∴， 3×①-②得， ， 解得：， 将代入① ，可得， 解得：， 6．（16-17七年级下·重庆江津·期中）已知方程组的解满足，则k的值为___________． 解：， 由①②得：， 联立， 由③④得：， 将代入④得：， 将，代入②得： ， 4 三、解答题 7．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)解方程：； (2)解方程组：． （1）解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 合并同类项，得 ， ∴； 把代入①，得④ 把代入②，得 ， 所以⑤ ⑤−④得， 所以， 把代入④得， 所以， ∴方程组的解为． （2）解：， ①−③得，∴， 8．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）解方程或方程组： ． 解： 整理，得：， ③×𝟐得：⑤ ④+⑤得，解得：， 把代入④ 得， 解得：． 方程组的解为． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 解：（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是， （2）在方程中，当时，； 当时，，代入得： ， 解得 ∴方程为， 它的共轭二元一次方程为：． 10．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）已知关于、的方程组．(1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． （1）解：把，代入得， ，解得， 方程的一组正整数解是：； （2）解：由和得， 解得， 代入得， ，解得：； 10．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）已知关于、的方程组．(1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． （3）解：整理得，， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为：． 11．（24-25七年级下·广东汕头·期末） 在解关于x，y的方程组时， 可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 (1)求m和n的值．(2)在（1）的条件下，解方程组 （1）解：， ①得：， ②得：， ①②消去未知数x， ， ①得：， ②得：， 用①②消去未知数y， ， ， 整理得：，解得：； 11．（24-25七年级下·广东汕头·期末） 在解关于x，y的方程组时， 可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 (1)求m和n的值．(2)在（1）的条件下，解方程组 ③+④得：, 即， 把代入①得： 即， 方程组的解为： 方程组为 （2）解：由（1）可知： ①得：③， ②得：④， 12．（24-25七年级下·广东珠海·期末）近期热播的电视剧《长安的荔枝》，讲述的是转运使李善德为将岭南新鲜荔枝运往长安，荔枝的物性是“一日而色变，两日香变，三日味变”，保质期极短．因此李善德面临荔枝保鲜和最优运输线路等难题．这些难题背后藏着不少数学问题，需要你的智慧来解决！若转运荔枝有水路和陆路两种路线可选择．走水路时，每筐会产生3%的损耗；走陆路时，每筐损耗为5%．现要用5艘船和10辆马车运输200筐荔枝，中途不改变运输方式，最终损耗恰好为8筐． (1)问每艘大船可以运多少筐荔枝，每辆马车可以运多少筐荔枝？ (2)水路运输每艘大船的费用是1200文，陆路运输每辆马车的费用是800文．为了控制成本，总运输费用不能超过14000文，且大船的数量不超过7艘．恰好运完200筐荔枝运输及不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量，才能让运输费用达到最低？最低费用是多少？ （1）解：设每艘大船可以运a筐荔枝， 每辆马车可以运b筐荔枝． 根据题意，得根据题意得： ， 解得：． 答：每艘大船可以运20筐荔枝， 每辆马车可以运10筐荔枝． 12．（24-25七年级下·广东珠海·期末）近期热播的电视剧《长安的荔枝》，讲述的是转运使李善德为将岭南新鲜荔枝运往长安，荔枝的物性是“一日而色变，两日香变，三日味变”，保质期极短．因此李善德面临荔枝保鲜和最优运输线路等难题．这些难题背后藏着不少数学问题，需要你的智慧来解决！若转运荔枝有水路和陆路两种路线可选择．走水路时，每筐会产生3%的损耗；走陆路时，每筐损耗为5%．现要用5艘船和10辆马车运输200筐荔枝，中途不改变运输方式，最终损耗恰好为8筐． (1)问每艘大船可以运多少筐荔枝，每辆马车可以运多少筐荔枝？ (2)水路运输每艘大船的费用是1200文，陆路运输每辆马车的费用是800文．为了控制成本，总运输费用不能超过14000文，且大船的数量不超过7艘．恰好运完200筐荔枝运输及不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量，才能让运输费用达到最低？最低费用是多少？ （2）解：设安排大船x艘， 则安排马车辆． 设运输费用为W文，则 ， 根据题意，得， 解得， ∵x为非负整数，∴或6或7， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴安排大船7艘、马车6辆才能让运输费用达到最低，最低费用是13200文． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末） 下列各组解中哪个是二元一次方程组的解（     ） A． B． 　　C．　　D． 解： ①+②得：， 即，解得：； 将代入①得：，解得． ∴方程组的解为：． C 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 　　　B． 　C．1 　D．2021 B 解：由题可列方程组， 解得， 把代入 得， ①+②得， ， ． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．如果设绳子长x尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是（     ） A． 　　　B． C． 　　D． 解：设绳子长为尺，木头长为尺． 由题意可得． D 二、填空题 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则 解： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即，两方程相加， 得， ，解得；故①正确； ②当时， 原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故②错误； 二、填空题 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则 ①×𝟑+②可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故③正确； ④由③知， ，故④正确； 故结论中正确的是：①③④． ①③④． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （1）正面数字最大的卡片记号为______； （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是______写出所有可能的情况 解：（1）求正面数字最大的卡片，设A卡片上的数字为x，B卡片上的数字为y，C卡片上的数字为z，D卡片上的数字为w，E卡片上的数字为根据表格中相邻两张卡片数字和可得方程组： ，解得， 比较2、3、3、4、8大小，可得8最大，所以正面数字最大的卡片记号为． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （1）正面数字最大的卡片记号为______； （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是______写出所有可能的情况 （2）求更改后五张卡片上的数字原来的数字为3、3、2、8、， ∵任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个， ∴原来的数字必须要更换，剩下的3、3、2、中更换一张； 设更换后的数字为a，，不妨设， 当更换数字时，则5张卡片分别为3、2、、a、，，，，则剩下数字必定有，则或，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、； 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是 ______ 写出所有可能的情况 当更换数字时，则5张卡片分别为3、3、、a、，，， 则剩下数字必定有，，即， 此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、； 当更换数字时，则5张卡片分别为3、3、、a、，，， 则剩下数字必定有或，即或， 此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、； 、、、、或、、、、或、、、、． 6．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为_____ ； （II）图③中的为_____ （用含的式子表示） 解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．  由图②中， ， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．  ∵， ∴， ∵， ∴ ， 6．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为_____ ； （II）图③中的为_____ （用含的式子表示） ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， ， ∴ ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴联立①③可得方程组：，解得：， ∴把代入②④可得方程组： ，解得：， ∴． 8．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组， 甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为， 乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 解：甲的解为 ，代入方程（2） 得： 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得： 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解： 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． ①若，求点的坐标； ②判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． （1）解：， ，， 与点互为“等和点”的是， 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． ①若，求点的坐标；②判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． 2）解：①点与点互为“等和点”， ， ， ，解得：， 点； 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． ①若，求点的坐标；②判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． ． ， ． ． ， 点与点互为“等和点”； ②点与点互为“等和点”． ，． ，． 在第二象限． 连接，作轴，轴， 则，， ， ． 的面积 △的面积的面积， 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． （3）解：如图，和的面积为，作轴于点，轴于点，由题意得：点的坐标为， ，， 解得：， 点的坐标为， ，， 的中点坐标为：， 由题意得：点和点关于点对称， 点的横坐标为：， 点的纵坐标为：， 综上：点或点。 11．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． （1）解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据题意得， ，得， 答：甲商品每件的进价为元， 乙商品每件的进价为元 2）解：设购进甲种商品件，则乙种商品为件，根据题意得， 解得： 且为整数，即可取、、； 设， 11．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 根据题意当购买件， 其中前件进价元， 后件进价元，因此： 乙的利润为： 甲的利润为 总利润 11．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 时， 总利润 元 当时， 总利润 元 当时， 总利润 元 当时，总利润为元，为最大值最优方案为购进甲种商品件， 乙种商品件，最大利润为元 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $