精品解析：广西壮族自治区柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习（4）

2028届高一（下）数学自主练习（4） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据复数的四则运算、共轭复数的定义与复数的几何意义计算，即可求解. 【详解】设R)，则， 由，得， 即，所以， 解得，故， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, 又，， 由零点存在定理可知,零点所在区间为. 故选:. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 4. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 5. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误； 对于B选项，若，，则，故B选项正确； 对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误； 对于D选项，若，，则或，故D选项错误； 故选：B 6. 函数在单调递增，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域得到不等式组，求出a的取值范围. 【详解】在上为增函数， 故要想在单调递增， 所以在上单调递增，且在恒成立， 故且， 解得：， 故选：D 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ） A. 高为2 B. 母线长为3 C. 表面积为14π D. 体积为π 【答案】D 【解析】 【详解】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×3，即r＝1；2πR＝×6，即R＝2.又圆台的母线长为l＝6－3＝3，所以圆台的高h＝＝2，故A，B正确．圆台的表面积S＝π(1＋2)×3＋π×12＋π×22＝14π，故C正确；圆台的体积V＝π×2×(22＋12＋2×1)＝π，故D错误．故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（ ） A. 不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B. 采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C. 在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D. 在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（ ） A. 的外接圆半径为 B. C. D. 为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由平方关系求出，利用正弦定理运算求出外接圆半径；对B，利用正弦定理求出判断；对C，由余弦定理求解判断；对D，由余弦定理可求得，可判断. 【详解】对于A，因为，所以． 因为，所以，所以的外接圆半径为，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，即． 因为，所以，故C正确； 对于D，由选项C，，因为，即，所以角是钝角， 所以为钝角三角形，故D不正确． 故选：BC. 11. 如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点A到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明依据线面平行判定定理判断A，棱锥体积公式求出，再根据八面体的体积等于棱锥体积的2倍，判断B，将几何体展开，利用余弦定理判断C，等体积法求点到面的距离判断D. 【详解】 在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分， 故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为4，所以四边形是正方形且， 面，， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍， 而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面， 由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为， 在中由余弦定理可知 ，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为， 由等体积法知 即， ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 13. 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用正切的和角公式进行化简求值. 【详解】已知， 故， 所以 故答案为：2 14. 已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是______. 【答案】② 【解析】 【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①；利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②；首先表示四面体外接球的半径，再判断有无最值. 【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ， 所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误； 对于②：， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； 对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误. 故答案为：② 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解． 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 17. 如图，在四棱柱中，平面平面，，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . 【小问2详解】 连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 （1）求A； （2）求周长的最大值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【小问1详解】 已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 19. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）最大值. 【解析】 【分析】（1）通过，确定，即可求证； （2）（ⅰ）通过平面，得到，即可求证；（ⅱ）作，，确定是二面角的平面角.设.得到，.再结合体积公式，结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点. 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面. 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一（下）数学自主练习（4） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 函数在单调递增，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ） A. 高为2 B. 母线长为3 C. 表面积为14π D. 体积为π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（ ） A. 不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B. 采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C. 在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D. 在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（ ） A. 的外接圆半径为 B. C. D. 为锐角三角形 11. 如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点A到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必过定点_____． 13. 的值为__________． 14. 已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 17. 如图，在四棱柱中，平面平面，，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 （1）求A； （2）求周长的最大值. 19. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $