培优专训(3) 函数图象信息题&培优专训(4) 一次函数的应用-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

8,AP=16一21，当P与A点重合时，1=15=8，AP=0,在P在A点左侧时， 2 16-2t(0t<8) 8<t10,AP=2t-16...AP=0(t=8) (2)6或9 2t-16(8<t10) 进阶测评六（18.1~18.3) 1.C2.D3.C4.D5.B6.27.AD∥BC(答案不唯一)8.60°√3 9.(1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE,∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.: FG∥CE,.∴.∠FGE=∠CEB..∴.∠FGE=∠FEG..FG=FE.∴.FG=EC ∴.四边形CEFG是平行四边形.又CE=FE,.四边形CEFG是菱形；(2) 解：矩形ABCD中，AB=6,AD=10,BC=BF,.∠BAF=90°.AD=BC =BF=10.∴，AF=8..DF=2.设EF=x,则CE=x,DE=6-x,,∠FDE =90°，∴22+(6-x)2=x2,解得x=10 ..CE=10 ∴.SI边形CEFG=CE·DF X2-2010.D证明：AB/CD,AD/CE,:四边形A 3· 行四边形..AB∥CD,,∴.∠CAE=∠DCA..AC平分∠DAE,,∴.∠CAE ∠DAC.∠DCA=∠DAC..AD=DC..平行四边形AECD是菱形；(2) 解：：四边形AECD是菱形，∴.AC⊥DE,OD=OE,OA=OC,AD=CD=5. .△ACD的周长为18，∴.AC=18-AD-CD=18-5-5=8..OA=OC= 4.在Rt△AOD中，∠AOD=90°，DO=√AD-OA=3,∴.DE=6. S发形aD=2AC·DE=)X6X8=24.1.(1)解：四边形DHFG是矩形， 证明略.(2)BE=GF,证明：延长AE交CD于点R,'四边形ABCD是正 形，.AB=CD..AR⊥MN,CF⊥MN,.AR∥CF..∠ARD=∠HCD.. AB∥CD,∴.∠BAE=∠ARD..∠BAE=∠DCH.AB=CD,∠AEB= ∠CHD=90°..△ABE≌△CDH(AAS).∴.BE=DH.,四边形DGFH是 矩形，.GF=DH=BE.(3)作DP∥MN交AE于点P,则四边形DGEP为 矩形.由(2)可得△ADP≌△CBF,.AP=CF.,PE=DG,∴.AE=AP+ PE=CF+DG..AE=3DG+2,CF=16,,∴.3DG+2=16+DG.解得DG 培优专训（一）分式化简求值 1.解：原式=t一y) x+x=2w·2 x十y (x-y)x+y“1x-4+(y-9)2 一0，义90=y=9.小原式十g京2解：原式 x+1 (x-2)2 _x1. =x-2-1_x-3 2xD=D,xD名x1、x1x-D .x是满足条件-1≤x≤3的整数，∴.x=一1,0,1,2,3..x一2≠0，且x≠ 0,且x2一1≠0，.x≠2，且x≠0，且x≠士1.∴.x=3..当x=3时，原式= 3-3 m+2 30.3.解：原式m十m1D÷m-1m十1)一3 m+1 m+2 m+1 m+2 m+1 (m+1)(m-1) m2-1-3 =(m+1)(m-1) ·（m+2)(m-2) (m-1)(m-2)m2-3m+2:m2-3m-4=0,m2-3m=4.当m2-3m 1 =4时，原式-4十2行4解：原式=(”4+m士.m-3m+3) 11 m+3 m+3 m+1 =m2-1.m-3)(m+3)=m-1)(m+D.m-3)m+3）=(m-1D(m m+3 m十1 m十3 m十1 -3)=m2-4m十3，，m2-4m-6=0,∴.m2-4m=6.∴.原式=6+3=9. 培优专训（二）分式方程的应用 1.解：(1)1210(2)设该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价 是万元，则每件B款人形机器人在网上的售价是(1一20%)m万元，由题 600 意，得1-20%)mm -600=10,解得m=15.经检验，m=15是原方程的解，且 符合题意，答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元. 2.解：(1)1612(2)设要购买m个“侗族”玩偶，则要购买(500一m)个 “苗族”玩偶，由题意，得12m十16(500-m)≤7200.解得m≥200.答：至少要 购买200个“侗族”玩偶.3.解：(1)9(2)设购进A款汽车x辆，由题意， 得1027.5x十6(15-x)105.解得8x10..x的正整数解为8,9,10， ,∴.共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽车9辆，B款汽 车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆；(3)设总获利为W元，购进A款汽车 x辆，W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x十30-15a,当a=0. 5时，(2)中所有方案获利相同. 培优专训（三）函数图象信息题 1.B2.D3.C4.B5.B6.5 培优专训（四）一次函数的应用 1.解：(1)1.2 购买学生暑期专享卡后，每借一本书的费用2购买暑期 专享卡的费用(2)k2=1.2÷0.6×0.8=1.6.(3)由(1)(2)得，y1=1.2x十 2,y=1.6x.当y1>y2时，1.2x十2>1.6x,解得x<5.当y1=y2时，1.2x十 2=1.6x,解得x=5;当y1<y2时，1.2x+2<1.6x,解得x>5.∴.当小明借 书数量小于5本时，方案二所需费用少；当小明借书数量等于5本时，两种方 案所需费用一样；当小明借书数量大于5本时，方案一所需费用少 í130x(0x300) 2.解：(1)y= 180x+15000(x>300) (2)若甲种花卉种植面积为xm,则 乙种花卉种植面积为(1200-x)m.依题意，得x≥200， ≤2(1200-x).200≤x≤ 800.①当200x300时，W=130x+100(1200-x)=30x+120000.当 300x800时，W=80x+15000+100(1200-x)=135000-20x.,∴.种 植总费用W与种植面积x的函数关系式为W 135000-20x(300<800).②当200≤x≤300时，：k=30>0,:当x 30x+120000(200x300) =200时，W最小值=126000元；当300<x≤800时，k=-20<0,∴.当x= 800时，W最小值一119000元.：119000<126000，.当x=800时，总费用最 少，最少总费用为119000元.此时乙种花卉种植面积为1200一800=400 m.答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m和400m2,才能 使种植总费用最少，最少总费用为119000元.3.解：(1)y=-0.4x十90 (2)依题意，得60一x≤)x.解得x≥24..24≤x<60.·y=-0.4x十90，k =一0.4<0，.y随x的增大而减小，.当x=24时，y取得最大值，最大值 为一0.4×24十90=80.4..该店购进甲种蔬菜24千克，乙种蔬菜60一24= 36(kg).答：该店购进甲种蔬菜24kg,乙种蔬菜36kg时，获得的总利润最 大；(3)有3的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元(a>0),则 y=-0.4x十90-3a(60-)-(号4-0.4)x十90-20a.“获得的总利润y 随r的增大而减小“号a-0.4<0,解得a<1.2a的取值范围为0<a< 1.2.4.解：(1)350200(2)设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片 (8000a)颗.根据题意，得a≥3(8000一a),解得a≥6000.设所需资金W 元，则W=350a+200(8000-a)=150a+1600000.150>0,∴.W随a的 增大而增大..a≥6000，.当a=6000时W值最小，W最小=150×6000+ 1600000=2500000(元).答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少， 最少资金是2500000元.(3)①80②1.5或4.5或6.5 培优专训（五）一次函数与几何综合 1解：在为=3x+1中.令=0则=1.B(010.令=0，则x=-3 ∴.A(-3,0).过点C作CE⊥x轴于点E,:△ABC为 y 等腰直角三角形，.∠BAC=90°，AB=CA.∴.∠CAE +∠BAO=90°..∠CAE+∠ECA=90°，∴.∠BAO B ∠ECA.又AOB=∠CEA=90°，.△AOB≌△CEA (AAS).,∴.EA=BO=1,CE=AO=3..∴.OE=OAH D EA=4.∴.C(-4,3).将点B(0,1),C(-4,3)代入y2= 一+6=3，解得= x+b,得/b=1, 2’∴.直线y2的表达式为y2= 1 b=1 1. 2.解：1)将直线)y=十8向下平移2个单位长度得到直线1…直线 1的表达式为y=子x+8-2=是x+6,当y=0时0=x+6,解得x=-8 当x=0时，y=6,A(-8,0),B(0,6).(2):A(-8,0),B(0,6),∴.AO=8, BO=6.∴.AB=√AO+BO=10.设M(b,0),①当AB=AM=10时，1b 8=10,解得b=2或一18..M(2,0)或（一18,0）；②当BM=AB=10时，. BOAM,.MO=AO=8..∴.M(8,0).综上所述，点M的坐标是M(2,0)或 (一18,0)或(8,0)跨单元整合 培优专训（三） 函数图象信息题 类型一 根据实际问题判断函数图象 A.电池能量最多可充400W·h 1.如图，“漏壶”是一种古代计时器，在它内部 B.摩托车每行驶10km消耗能量300W·h 盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内 C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25km 壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时 D.摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 间.用x表示漏水时间，y表示壶底到水面 4.甲无人机从地面起飞，乙 y/m 入甲 的高度.不考虑水量变化对压力的影响，下 无人机从距离地面30m 面适合表示y与x的对应关系的图象是 高的楼顶起飞，两架无人40 30 机同时匀速上升10s. 甲、乙两架无人机所在的 5 10x/s 位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机 上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所 示.下列说法正确的是 () D 2.小亮的奶奶出去散步，从家走了20分钟到 A.5s时，两架无人机都上升了40m 一个离家900米的报亭，奶奶看了10分钟 B.10s时，两架无人机的高度差为30m 报纸后，用了15分钟返回家，下面图中的哪 C.乙无人机上升的速度为6m/s D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 一幅能表示奶奶离家的时间与距离之间的 关系 类型三动点问题与函数图象 ( ) ↑距离 距离 5.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A 出发，沿AB一BC一CD运动，至点D处停 止.点P运动的路程为x,△ADP的面积为 y,且y与x之间满足的关系如图2所示，则 01020304050时间 01020304050时间 当y=8时，对应的x的值是 () A B ◆距离 距离 6 01020304050时间 01020304050时间 图1 图2 C D A.4 B.4或12 类型二 根据函数的图象分析实际问题 C.4或16 D.5或12 3.(2025·广东)在理w·h 600 6.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点 想状态下，某电动500 400 A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动 摩托车充满电后以300 200H 至点B,图②是点P运动时，△ABP的面积y 恒定功率运行，其100 (单位：cm)随时间x(单位：s)变化的函数图 电池剩余的能量y51015202530x/km 象，则该三角形的斜边AB的长为 (单位：W·h)与骑行里程x(单位：km)之间 /cm 的关系如图.当电池剩余能量小于100W·h 时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论 正确的是 x/s B3 跨单元整合 培优专训（四） 一次函数的应用 类型一 两种方案优选问题 类型二分段函数问题 1.暑期将至，新华书店面向学生推出暑期借书 2.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一 优惠活动，活动方案如下， 个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲 方案一：购买学生暑期专享卡，借书的费用 种花卉的种植费用y(单位：元)与种植面积x 按六折优惠； (单位：m)之间的函数关系如图所示，乙种花 方案二：不购买学生暑期专享卡，借书的费 卉的种植费用为每平方米100元. 用按八折优惠， (1)y与x的函数关系式为 设某学生暑期借书x本，按照方案一所需费用 (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 为y元，且y=k1x十b;按照方案二所需费用 1200m,如果甲种花卉的种植面积不 为2元，且y2=k2x,其函数图象如图所示. 少于200m,且不超过乙种花卉种植面 (1)k1= ,它的实际意义是 积的2倍. ①试求种植总费用W与甲种花卉种植 b= ,它的实际意义是 面积x之间的函数关系式； ②应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植 (2)求k2的值， 面积才能使种植总费用最少？最少总 (3)八年级学生小明计划暑期前往新华书店 费用为多少元？ 借书x本，请你通过计算判断小明选择 y/元1 55000 哪种方案所需费用更少？ 39000 /元1 300500 x/m -B4 类型三最佳方案问题 4.(2025·绥化)自主研发和创新让我国的科 3.某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每 技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流 千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5 某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、 元.该店计划一次购进这两种蔬菜共60kg, B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片 并能全部售出.设该店购进甲种蔬菜x千 和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A 克，销售这60kg蔬菜获得的总利润为y元. 型芯片和3颗B型芯片共需要1300元， (1)则y与x的关系式为 (1)则购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分 (2)若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 别需要 元和 元； 号，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少印 (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯 片共8000颗，其中购买A型芯片的数 克时，获得的总利润最大？ 量不少于B型芯片数量的3倍.当购买 (3)由于蔬菜自身的特点，有号的乙种蔬菜 A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少 需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是α 资金是多少元 元(a>0).若获得的总利润随x的增大 (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从 而减小，请直接写出a的取值范围. M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前 往目的地N,两车到达N地后均停止行 驶.如图，y甲（单位：km)、yz（单位：km) 分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车 行驶的时间x(单位：h)之间的函数关 系.请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是 km/h. ②当甲、乙两车相距30km时，直接写出 x的值 y/km 8 B5