精品解析：内蒙古巴彦淖尔市临河区第四中学2026年5月期中考试八年级数学试题

临河四中2026年5月期中考试八年级数学试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解题的关键，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；      B、，是最简二次根式，故该选项符合题意；        C、，不是最简二次根式，故该选项符合题意；       D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知的三边满足，则是直角三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和恒为，根据题意可得内角和，再结合多边形内角和公式，其中为边数，列方程求解即可； 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵ 任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍，且边形内角和为， ∴ 列方程得 解得 ， 因此这个多边形的边数是六． 5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB=90°， ∴， ∴EF=DE-DF=1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，  四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 7. 如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长． 【详解】解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝5， ∵EA＝3，ED＝4， 在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°， 在Rt△EDC中，CE＝＝＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等． 8. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积． 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN ∴S矩形EBNP= S矩形MPFD , 又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD， ∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8， ∴S阴=8+8=16， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 10. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为 ______． 【答案】75° 【解析】 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质，求出∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，从而得到∠ABE=15°，即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD=∠ABC＝90°，∠ABC＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ABE为等腰三角形，∠BAE＝60°+90°＝150°， ∴∠ABE＝（180°-150°）＝15°， ∴∠CBE＝90°﹣15°＝75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 11. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 12. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】点B的对称点是点D，连接，交于点P，再得出即为最短，解答即可． 【详解】解：过点D做轴于点F， ∵四边形是菱形，顶点，， ∴中，，， ∴，， ∴点D的坐标为， 连接，交于P，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴， 即为的最小值， ∵点E的坐标为， ∴， 即的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的性质和最短路径问题，解答关键是利用菱形的轴对称性，将折线段长度转化从线段的长度． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化为最简二次根式，再计算加减混合运算； （2）根据平方差公式，完全平方公式计算即可； （3）根据二次根式的性质，分母有理化，混合运算求解即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝1，AD＝，BD＝2，∠ABC＋∠ADC＝180°，CD＝． （1）判断△ABD的形状，并说明理由； （2）求BC的长． 【答案】（1）△ABD是直角三角形． 理由如下：在△ABD中， ∵AB2＋AD2＝12＋()2＝4， BD2＝22＝4， ∴AB2＋AD2＝BD2． ∴△ABD是直角三角形． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可证得△ABD是直角三角形； （2）根据四边形内角和定理可证得是直角三角形，再根据勾股定理即可求得答案. 【详解】（1）略 （2） 在四边形ABCD中， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°． 由（1）得∠A＝90°，∴∠C＝90°． 在中，∠C＝90°， BC2＝BD2－CD2＝22－()2＝2． ∴BC＝． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，四边形内角和定理，勾股定理及其逆定理的灵活应用是解题的关键. 15. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 16. 如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，所以，可推出，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，的周长为18， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 17. 阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：， （1）模仿材料中的计算方法，化简________；________． （2）计算：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2）2025 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先把a，b化简，再根据完全平方公式把原式化为，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 18. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临河四中2026年5月期中考试八年级数学试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 6. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 7. 如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 4 D. 5 8. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为 ______． 11. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 12. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 ________________． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算： （1） （2） （3） 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝1，AD＝，BD＝2，∠ABC＋∠ADC＝180°，CD＝． （1）判断△ABD的形状，并说明理由； （2）求BC的长． 15. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 16. 如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 17. 阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：， （1）模仿材料中的计算方法，化简________；________． （2）计算：； （3）已知，，求的值． 18. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $