精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区尚德学校2025-2026学年下学期八年级数学期中试题

2025－2026学年度下学期学科练习八年级数学 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在式子中，分式的个数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图像分布在第一、三象限 C. y随x的增大而减小 D. 必过点 4. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则x的值为_________． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 11. 若关于x的分式方程 有增根，则m的值为___________． 12. 电动车每小时比自行车多行驶20千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少．设电动车的平均速度为x千米/小时，应列方程为________ 13. 若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 14. 如图，正比例函数；和反比例函数 的图象交于，B两点，若，则x的取值范围是 _________________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解分式方程： （1） （2） 17. 先化简，再求值 ，其中． 18. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求此时点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； （3）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 19. 在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高.某位同学利用量筒和相同大小的玻璃球进行了实验，在量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出的条件下，研究了量筒中水面高度与投入玻璃球数量粒之间的变化关系.根据实验结果得到如下的表格数据： 投入玻璃球数量/粒 0 5 10 15 20 … 水面高度/cm 10 11 12 13 14 … （1）由表格知：投入玻璃球数量每增加5粒，水面高度增加_____cm，进而可得与的函数表达式为______； （2）当量筒内水面的高度是时，请求出投放玻璃球多少粒？ 20. 某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． （1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； （2）如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数解析式； （2）连接，，求的面积； （3）在轴上找一点，使得的值最小．请直接写出点的坐标． 22. 甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 23. 阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． （1）已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． （2）已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． （3）已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 24. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm，点D在线段AC上，且CD＝7cm，动点P从距B点15cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动，时间为t秒． （1）求AD的长． （2）用含有t的代数式表示AP的长． （3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． （4）直接写出t＝______秒时，△PBC为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期学科练习八年级数学 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2. 在式子中，分式的个数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式定义：若都是整式，且中含有字母，则是分式，逐个判断：分式要求分母中含有字母，注意是常数不是字母． 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 分母是常数，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 综上，一共有个分式． 3. 反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图像分布在第一、三象限 C. y随x的增大而减小 D. 必过点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，反比例函数的增减性和反比例函数 图象经过的象限，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据解析式判断出增减性和经过的象限，最后求出当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， 在中，当时，， ∴反比例函数必过点， ∴四个选项中只有C选项说法错误，符合题意； 故选：C． 4. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 5. 已知直线过点，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，依据题意，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可．解题的关键是掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：∵直线，， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 6. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选A． 7. 一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ，故正确． 8. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于； 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．分式有意义，则要求分式分母不为0，即可求得答案． 【详解】解：∵要使分式有意义，即分式分母不能为0， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 若关于x的分式方程 有增根，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 12. 电动车每小时比自行车多行驶20千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少．设电动车的平均速度为x千米/小时，应列方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据电动车与自行车速度相差20千米可设自行车的平均速度为千米时，然后再用路程与速度的商表示出两种交通工具各自行驶里程所用的时间，最后用相差的时间建立分式方程．根据两种交通工具行驶时间相差1小时建立方程是解题的关键． 【详解】解：因为电动车的平均速度为千米小时，则自行车的平均速度为千米时． 故自行车行驶30千米所用的时间为小时，电动车行驶40千米所用的时间为， 根据两种交通工具所用时间相差1小时，可得：． 故答案为：． 13. 若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将点代入平移后的解析式求解即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后的解析式为： ， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得：． 14. 如图，正比例函数；和反比例函数 的图象交于，B两点，若，则x的取值范围是 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，表示正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方的部分，据此即可求解． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知：， 表示正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方的部分， 由图可知：或， 故答案为：或． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）26 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程化为整式方程，求解后检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边乘，得， ， ， 经检验，时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘，得， ， ， ， 经检验，时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 17. 先化简，再求值 ，其中． 【答案】；2027 【解析】 【分析】先对括号内通分作差，再将除法化为乘法约分化简，然后计算加法，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求此时点的坐标； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； （3）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的特征，平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键： 根据轴上的点纵坐标为，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； 根据平行于轴上的点的横坐标相同，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； 根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，分两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：当点在轴上时，点的纵坐标为， ， 解得：， ， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得：； 【小问3详解】 解：点到轴的距离与到轴的距离相等， 或， 解得：或， 当时，， 当时，，， 点的坐标为或． 19. 在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高.某位同学利用量筒和相同大小的玻璃球进行了实验，在量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出的条件下，研究了量筒中水面高度与投入玻璃球数量粒之间的变化关系.根据实验结果得到如下的表格数据： 投入玻璃球数量/粒 0 5 10 15 20 … 水面高度/cm 10 11 12 13 14 … （1）由表格知：投入玻璃球数量每增加5粒，水面高度增加_____cm，进而可得与的函数表达式为______； （2）当量筒内水面的高度是时，请求出投放玻璃球多少粒？ 【答案】（1）1， （2）投放玻璃球30粒 【解析】 【分析】本题考查了一次函数： （1）找出投入玻璃球数量与水面高度变化的规律，设与的函数表达式为，将数值代入从而得到表达式； （2）代入函数表达式即可． 【小问1详解】 解：由表可知，投入玻璃球数量每增加5粒时， 水面高度分别增加了，，， 故投入玻璃球数量每增加5粒，水面高度增加， 设与的函数表达式为， 将代入表达式，得， ， 解得：， 故表达式为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得：． 答：投放玻璃球为粒． 20. 某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． （1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； （2）如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 【答案】（1） （2）选用的木板的面积至少要 【解析】 【分析】（1）根据图象，双曲线过点，待定系数法求出解析式，曲线在第一象限，即可得出自变量取值范围； （2）根据压强不超过，求出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图象得：双曲线过点，在第一象限， ∴， ∴反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时：，即：； 由图象可知，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴选用的木板的面积至少要． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键． 21. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数解析式； （2）连接，，求的面积； （3）在轴上找一点，使得的值最小．请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中求出双曲线的函数解析式，进而求出点坐标，再将，两点坐标代入中求解，即可解题； （2）记直线与y轴交于点，利用直线的解析式推出，再根据求解，即可解题； （3）作关于x轴的对称点，连接交x轴于点，连接，由对称性质可知，当三点共线时，，此时的值最小，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于，两点． ， 双曲线的函数解析式为， ， 即， 则， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与y轴交于点， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ， ∵，， ； 【小问3详解】 解：作关于x轴的对称点，连接交x轴于点，连接， 由对称性质可知， 当三点共线时，，此时的值最小， ∵， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为， 当时， 解得：， 点P的坐标为． 22. 甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】（1）30；40 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得； （2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． 【小问2详解】 解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． 【小问3详解】 解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 23. 阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． （1）已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． （2）已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． （3）已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 【答案】（1）不是的“和谐式”，理由见解析 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，整理可得：的表达式； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ， 不是的“和谐式”； 【小问2详解】 解：∵是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ∵，， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∵是的“和谐式”， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴关于的“和谐值”是5． 24. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm，点D在线段AC上，且CD＝7cm，动点P从距B点15cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动，时间为t秒． （1）求AD的长． （2）用含有t的代数式表示AP的长． （3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． （4）直接写出t＝______秒时，△PBC为等腰三角形． 【答案】（1）5cm；（2）PA=；（3）t的值为4或16；（4）1或14或12.5或. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即可解决问题； （2）根据线段的和差关系可求出AE的长，根据距离=速度×时间可求出PE的长，根据绝对值的定义即可表示出AP的长； （3）当AC＝PA时，△ABC与△ADP全等，列方程即可求出t的值； （4）分三种情形：BC＝BP，BC＝CP，PC＝PB分别求解即可． 【详解】（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm， ∴AC＝＝＝12（cm）， ∵CD＝7cm， ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣7＝5（cm）． （2）∵AB=5，BE=15， ∴AE=BE+AB=20， ∵点P以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动， ∴PE=2t， ∴AP==， （3）∵AD＝BD＝5cm，∠BAC＝∠PAD＝90°， ∴当AC＝PA时，△ABC与△ADP全等， ∴=12， 解得：t＝4或t=16， ∴满足条件的t的值为4或16． （4）当BC＝BP时，＝13， 解得t＝1或t=14， 当CP＝CB时，PA＝AB＝5， ∴=5， t=12.5或t=7.5， ∵t=7.5时，点P与点B重合，不符合题意， ∴t＝12.5． 当PC＝PB时，122+（20-2t）2＝（2t﹣15）2， 解得：t＝， 故答案为：1或14或12.5或 【点睛】本题考查绝对值的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $