精品解析：吉林省长春市长春高新技术产业开发区慧仁学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

东北师范大学慧仁实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学学科 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 使分式有意义的x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 化学原子键长石墨烯具有优异光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. y随x的增大而增大 D. 若，则 4. 学校准备从初三年级的四个班中选出一组代表参加全市的数学知识大赛，各班平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示： 1班 2班 3班 4班 7 8 8 6 1 1 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应该选（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 5. 把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 要使有意义，x的取值应满足的条件是______． 10. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、80分、85分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩是______分． 11. 点在x轴上，则______． 12. 若点都在反比例函数的图像上，则______（填“”“”或“”） 13. 在平面直角坐标系中，点为的顶点，则顶点D的坐标为_____________． 14. 如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论序号有______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出的解集． 18. 为建设美丽中国，各地从2023年开始通过建造小而美的“口袋公园”来提升人民群众的幸福感．为此某地绿化部门现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．求B种绿植单价． 19. 如图，在四边形中，，若平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积 20. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 m 27.5 8 2 乙 28 n 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的_________，_________； （2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好． 21. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画矩形，使其面积为3． （2）在图②中画正方形． （3）在图③中画，使其面积为10． 22. 长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点．甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大．在此过程中，若两人各自行走的路程y（米）与乙出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示． （1）______． （2）求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式． （3）在两人驻足观景前，当两人行走距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离． 23. 【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 24. 【定义1】对于给定两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： （1）该一次函数的“友好函数”为 ； （2）已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； （3）当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； （4）已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北师范大学慧仁实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学学科 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 使分式有意义的x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由分式有意义，得， 解得， 故选：A． 2. 化学原子键长石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：． 故选：B． 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. y随x的增大而增大 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．反比例函数，，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：反比例函数，， A、当时，，图象必经过点，故此选项不符合题意； B、图象位于第二、四象限，故此选项不合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项符合题意．   故选：D ． 4. 学校准备从初三年级的四个班中选出一组代表参加全市的数学知识大赛，各班平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示： 1班 2班 3班 4班 7 8 8 6 1 1 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应该选（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差作决策，根据平均数越大，方差越小，成绩越好越稳定，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，2班，3班平均数最高，但2班方差最小， 故应选2班去参赛； 故选B． 5. 把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数平移问题，熟记“左加右减，上加下减”即可得出本题答案． 【详解】解：∵直线向下平移1个单位长度后， ∴， 故选：D． 6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 7. 如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质与等腰三角形的判定．证明，则，同理，求出，从而即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合；作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，设，则，再根据面积公式列出等式，即可求出的值． 【详解】解：如图：作轴于点，于点， ，， 设，则， ， 解得：， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 要使有意义，x的取值应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后解不等式即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故答案为：． 10. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、80分、85分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩是______分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，解题关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该名志愿者的综合成绩是分， 故答案为：84． 11. 点在x轴上，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了x轴上的点的坐标特征，根据x轴上的点的纵坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 故答案为：0． 12. 若点都在反比例函数的图像上，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，根据题意确定的值，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点都在反比例函数的图像上， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点为的顶点，则顶点D的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形等知识点，掌握平行四边形的对角线相互平分成为解题的关键． 设点D的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，然后解方程即可解答． 【详解】解：设点D的坐标为， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解得：， ∴点D坐标为． 故答案为：． 14. 如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． ①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④根据②中，得出，则可得出，在中，根据勾股定理得出，得出，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④根据②中， ， ， 在中，，， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法是解题的关键．根据零指数幂及负指数幂，二次根式的乘法法则即可求解． 【详解】解：原式 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据交点坐标和函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵点和点在的图象上， ∴， ∴，， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴由图象可得，当时，的解集为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及利用函数图象求不等式解集，熟练掌握待定系数法及数形结合思想的应用是解题的关键． 18. 为建设美丽中国，各地从2023年开始通过建造小而美的“口袋公园”来提升人民群众的幸福感．为此某地绿化部门现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．求B种绿植单价． 【答案】B种绿植的单价为15元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设B种绿植的单价为x元，根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，进而求解即可． 【详解】解：设B种绿植的单价为x元，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； 答：B种绿植的单价为15元． 19. 如图，在四边形中，，若平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质结合的周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形 为平行四边形 ∵ ∴， ∵ 平分 ∴ ∴ ， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形 是菱形 ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 20. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 m 27.5 8 2 乙 28 n 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的_________，_________； （2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好． 【答案】（1）； （2）乙 （3）乙 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数和加权平均数的计算，熟练掌握其知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平均数的概念和中位数的计算方法求解即可； （2）根据平均数和中位数求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图知，甲的平均得分， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 乙的中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：乙的平均得分为，甲的平均得分为， 乙的得分中位数为，甲的得分中位数为， ∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好； 【小问3详解】 解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 乙队员表现更好． 21. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画矩形，使其面积为3． （2）在图②中画正方形． （3）在图③中画，使其面积为10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定作出图形； （3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【小问1详解】 解：如图①中，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，四边形即为所求． 22. 长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点．甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大．在此过程中，若两人各自行走的路程y（米）与乙出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示． （1）______． （2）求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式． （3）在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离． 【答案】（1）180 （2） （3）45 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）由图象直接得出结论； （2）用待定系数法求出函数解析式； （3）根据甲、乙路程相等求出的值，再求出距栈道端的距离． 【小问1详解】 解：由图象可知，的值为180， 故答案为：180； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； 小问3详解】 解：由图象可知，乙行走的速度为(米/分)， 根据题意得：， 解得， 此时甲距栈道端的距离为(米)． 23. 【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 【答案】感知：；探究：（1）见解析；（2）2；应用：32 【解析】 【分析】感知：由矩形的性质和折叠的性质可得，，，从而得到，，由勾股定理即可求解； 探究：（1）由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，得到，，即可证明；（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，即可求解； 应用：由勾股定理可求，，推出，从而得到的面积即可求解． 【详解】感知：解：四边形是矩形 ， 将沿直线翻折得到且 ，， 是等腰直角三角形 故答案为：． 探究：（1）证明：四边形是矩形 ，， 由折叠可得：， ， 在和中 （2），， 故答案：2． 应用：将沿直线翻折得到且 ，， 解得： 四边形的面积 故答案为：32． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： （1）该一次函数的“友好函数”为 ； （2）已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； （3）当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； （4）已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键． （1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解； （2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解； （3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可； （4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，根据“友好函数”的定义， 当时，， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，符合题意； 当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，不符合题意； 综上，； 【小问3详解】 解：当时，，随的增大而减小， 当时，有最大值为，当时，临近最小值为； 当时，，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值为； 综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为； 【小问4详解】 解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下： 直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$