精品解析：辽宁省铁岭市西丰县第二中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度下期期中学业质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　 　） A. B. ∠A+∠B=∠C C. ∠A：∠B：∠C=3：2：1 D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7. 若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ） A. 5或6 B. 6或7 C. 5或6或7 D. 6或7或8 8. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 9. 一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 正八边形的一个外角的度数是_____． 12. 已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 13. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为___________． 14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 15. 如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 _____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算． （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形． 18. 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______． （2）画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 19. 下面是正多边形M和正多边形N的对话： （1）求正多边形M和正多边形N的边数； （2）在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 20. 如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 21. 如图，在中，平分交于点，过作，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求菱形的面积． 22. 如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，同时出发，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：______；______；______； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当t为何值时，四边形是平行四边形？ 23. 综合与实践课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中，． （1）动手实践 如图1，将矩形纸片折叠，点A落在边上的M处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形和四边形，则四边形的形状为______，四边形的形状为______； （2）探索发现 如图2，将图1中的四边形剪下，取边上一点E，使，将沿折叠得到，延长交于点F． 求证：． （3）反思提升 如图3，将图2中的剪下，折叠使点M落在直线上的点，折痕分别交和于点H、G．若是直角三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期中学业质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2. 下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开方开得尽方的因数或因式．据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、的被开方数10不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的减法与乘法法则、分母有理化逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的减法与乘法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键． 5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　 　） A. B. ∠A+∠B=∠C C. ∠A：∠B：∠C=3：2：1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】从边的角度，根据勾股定理的逆定理的判断；从角的角度，利用内角和定理，计算最大角，看是否为直角判断． 【详解】∵ ∴， ∴能围成直角三角形，A不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=×180°=90°，， ∴能围成直角三角形，C不符合题意； ∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°，， ∴能围成直角三角形，B不符合题意； ∵ ∴， ∴不能围成直角三角形，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练从边和角两个层面去探解是解题的关键． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 7. 若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ） A. 5或6 B. 6或7 C. 5或6或7 D. 6或7或8 【答案】C 【解析】 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 8. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，再根据已知得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴，即， ∴， 故选：B． 9. 一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题，要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，找到最短的路径，然后利用勾股定理计算即可求解，把圆柱的侧面展开，找到蚂蚁所走过的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，则， 根据两点之间，线段最短，可知，蚂蚁所走过的最短路径即为线段的长， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 10. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 证明四边形是菱形，利用勾股定理即可得的长，求出菱形的面积,根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 正八边形的一个外角的度数是_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是是解题的关键．利用多边形的外角和等于即可得出答案． 【详解】解：任何一个多边形的外角和都是， 正八边形的每个外角的度数是：． 故答案为：． 12. 已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 13. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在的正方形网格，， 以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ，即点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 15. 如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 _____ ． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，由正方形的性质可得关于对称，得到，进而得到，即得点和点重合时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 即点和点重合时，最小，最小值等于的长， ∵正方形的边长为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算加减法，即可作答． （2）先结合完全平方公式和二次根式乘法法则进行展开，再运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF． （2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD， 在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC． ∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF． ∴四边形BFDE是平行四边形． 18. 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______． （2）画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 【答案】（1） （2）①画图见解析；直角三角形；理由见解析②2 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得解； （2）①根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①画图如下：△DEF即为所求； 由图可知：，， ∴， ∴△DEF是直角三角形； ②． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 19. 下面是正多边形M和正多边形N的对话： （1）求正多边形M和正多边形N的边数； （2）在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【答案】（1）M和N的边数分别是4和6； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【小问1详解】 设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； 【小问2详解】 嘉嘉解法： ． 淇淇解法：正六边形的每个外角为：； 故正六边形的每个内角为． 20. 如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）EF=；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可； （3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题． 【详解】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝CF； （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD＝＝， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝； （3）过点D作DH⊥BC于H， ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DH＝DC＝， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，平分交于点，过作，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）连接CF，由菱形性质得到，由勾股定理逆定理验证，然后利用菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 连接，如下图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上运算法则． 22. 如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，同时出发，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：______；______；______； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】（1），， （2）当运动5秒时，四边形是平行四边形 （3）当运动4秒时，四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据平行四边形的判定定理可得当时，四边形是平行四边形．由此列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据平行四边形的判定定理可得当时，四边形是平行四边形．由此列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形． ， 解得：． ∴当运动5秒时，四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：， ∴， 当时，四边形是平行四边形． ∵， ， 解得：． ∴当运动4秒时，四边形是平行四边形． 23. 综合与实践课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中，． （1）动手实践 如图1，将矩形纸片折叠，点A落在边上的M处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形和四边形，则四边形的形状为______，四边形的形状为______； （2）探索发现 如图2，将图1中的四边形剪下，取边上一点E，使，将沿折叠得到，延长交于点F． 求证：． （3）反思提升 如图3，将图2中的剪下，折叠使点M落在直线上的点，折痕分别交和于点H、G．若是直角三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形；矩形 （2）见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）先判定四边形是矩形，再由，得出四边形是正方形，由三个角是直角的四边形是矩形，得出四边形是矩形； （2）连接，证明，即可证明结论； （3）分点在和的延长线上两种情况讨论，利用勾股定理得出方程，求得结果即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ， 四边形为矩形； 故答案为：正方形；矩形； 【小问2详解】 证明：连接， 四边形是矩形， ， 由折叠知，，， ， ， ，，， ，， 得， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：当点在上时，时， 设， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ，，， ， 解得（舍去），， ， 当点在延长线上时， 当时， ， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，掌握这些知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $