精品解析：广西壮族自治区河池市第二高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中学科素养学情检测数学试题

2026年春季学期高二年级学科素养学情检测数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章7.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 7. 由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ） A. 480 B. 560 C. 750 D. 630 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则（ ） -1 0 1 A. B. C. D. 11. 某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（ ） A. 一共有种安排方法 B. 若每个人最多值2天班，一共有种安排方法 C. 若甲值2天班并且连续值2天，一共有种安排方法 D. 若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有种安排方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 13. 某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是____________. 14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的最小值. 16. （1）已知，化简，并计算时的值； （2）在的展开式中，的系数等于的系数的倍，求的展开式中所有项的二项式系数之和. 17. 设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）． （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 18. 现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，2名女学生相邻； （2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）2名女学生之间只有2名男学生． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二年级学科素养学情检测数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章7.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念，可得结果. 【详解】由平均变化率定义得. 故选：C. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点分布概率和为1，列方程求解即可. 【详解】随机变量服从两点分布， . 3. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得. 【详解】由求导，可得：. 而，故. 故选：C. 4. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大. 【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴． 故选：C 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求. 【详解】因为，所以，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：B. 6. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为. 故选：D. 7. 由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ） A. 480 B. 560 C. 750 D. 630 【答案】C 【解析】 【分析】分个位为0、2、4、6四种情况，分别求出没有重复数字的四位偶数的个数，最后相加即可. 【详解】1、当个位为0，没有重复数字的四位偶数的个数为； 2、当个位为2，没有重复数字的四位偶数的个数为； 3、当个位为4，没有重复数字的四位偶数的个数为； 4、当个位为6，没有重复数字的四位偶数的个数为 ∴共有个没有重复数字的四位偶数. 故选：C 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据单局胜率表示出总比赛局数的概率分布，再利用给定的数学期望建立方程即可求解. 【详解】由题意得随机变量可能的取值为2，3， ， 因为比赛必定在2局或3局结束，所以打满3局的概率就是不出现2局结束的对立事件概率， 即， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则（ ） -1 0 1 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，得，故，所以A正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得，，所以B正确； ，所以C不正确； ，所以D正确. 11. 某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（ ） A. 一共有种安排方法 B. 若每个人最多值2天班，一共有种安排方法 C. 若甲值2天班并且连续值2天，一共有种安排方法 D. 若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有种安排方法 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析可能的分组方案和，再分别计算每组的排法，进而判断选项A；根据已知条件得出符合的分组方法为，进而计算判断选项B；先安排甲，再将剩下的3天分成2组，最后由分步乘法计数原理计算判断选项C；利用树形图枚举所有符合的排班方法，判断选项D． 【详解】对A，将5月1日~5月5日这5天分成三组，然后再将一个组分给1个人： （1）分成3，1，1时，则有种安排方法； （2）分成2，2，1时，则有种方法， 共有种安排方法，故A错误； 对B，若每个人最多值2天班，将5天分成2，2，1三组，然后再将1个组分给1个人， 则有种安排方法，故B正确； 对C，因为甲连续值2天班，先安排甲，共有4种方法； 然后将剩下的3天分成2组，即分成2，1， 然后再将这两个组分给乙、丙两人，一组分给1个人，则有种安排方法， 由分步乘法计数原理得，共有种方法，故C错误； 对D，由树形图： 共有种方法，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可得解. 【详解】. 13. 某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为，进而求出甲没有拿到白色鲜花的概率． 【详解】设事件为甲拿到白色鲜花， 根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆， 甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为， 所以，则甲没有拿到白色鲜花的概率． 故答案为：． 14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，利用单调性的性质求解即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以得. 所以不等式的解集是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的最小值. 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）求导，利用即可求解； （2）由（1）得，求导，利用导数判断函数单调性，从而求出最小值. 【小问1详解】 由题意可得， 故， . 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 令，解得， 因为当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 16. （1）已知，化简，并计算时的值； （2）在的展开式中，的系数等于的系数的倍，求的展开式中所有项的二项式系数之和. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理的展开式可化简的表达式，代值计算可得的值； （2）利用二项式定理可得出的系数和的系数，根据题意可得出关于的等式，解出的值，结合二项式系数和的定义即可得解. 【详解】（1） 当时，； （2）的展开式通项为， 所以的系数为，的系数为，故，即， 所以，由题意可知且，解得， 所以所有项的二项式系数之和为. 17. 设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）． （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用组合数公式求出从个球中取个球，个球中恰好有个红球、个白球的取法数，再利用古典概型概率计算公式进行计算即可; 从乙袋中取2个球放入甲袋，分两种情况进行考虑，再利用条件概率公式及全概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 依题意，从甲袋8个球中取4个球有种取法， 其中4个球中恰好有3个红球， 即恰好有3个红球、1个白球，有种取法， 所以4个球中恰好有3个红球的概率； 【小问2详解】 记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球， 为从甲袋中取出2个红球， 则， ， 所以． 18. 现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，2名女学生相邻； （2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）2名女学生之间只有2名男学生． 【答案】（1）192 （2）72 （3）576 【解析】 【分析】（1）元素相邻运用捆绑法，借助于排列组合公式即得； （2）元素互不相邻运用插空法，特殊元素优先法处理即可； （3）要使2名女生之间只有2名男生，应先选出2名男生再进行捆绑，考虑女生和男生内部顺序，再考虑这个整体与另外三人共四人全排即得. 【小问1详解】 因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有种， 这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种， 女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种， 由分步乘法计数原理，不同的排法有种； 【小问2详解】 先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的3名男生有种站法， 所以共有种不同的站法； 【小问3详解】 先任选2名男生站两名女生中间，有种站法， 再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有种， 由分步乘法计数原理，共有种不同的站法． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极小值为1，无极大值. （2） （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. 【小问3详解】 证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $