精品解析：广西玉林市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月阶段性检测数学试题

2026年5月高二年级阶段性检测（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知数列为正项等比数列，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 2. 某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ） A. 5 B. 20 C. 25 D. 50 3. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.45 6. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的个数为（ ） ①若随机变量服从两点分布（或-分布），且，则； ②要将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，不同分法的种数是种； ③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则； ④某人射击次，未击中目标的概率为，连续射击次，设击中目标的次数为，且每次射击相互没有影响，则. A. B. C. D. 8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. ， C. ， D. ， 10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为22 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为，则随机变量的期望为________． 13. 的展开式中，记项的系数为，则______． 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格（元） 日需求量（） （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中， 16. 已知数列的首项，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 17. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. （1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 （2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． （1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； （2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个不同零点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月高二年级阶段性检测（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知数列为正项等比数列，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求解即可 【详解】由等比数列的性质可得，， 因,故. 2. 某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ） A. 5 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即得. 【详解】依题意，从任意一个门进，有5种方法，又从任意一个门出，也有5种方法， 由分步乘法计数原理，共有不同的走法种数为. 故选：C. 3. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 4. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 5. 已知，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.45 【答案】C 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 6. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 7. 下列说法错误的个数为（ ） ①若随机变量服从两点分布（或-分布），且，则； ②要将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，不同分法的种数是种； ③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则； ④某人射击次，未击中目标的概率为，连续射击次，设击中目标的次数为，且每次射击相互没有影响，则. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①两点分布的均值与方差公式，代入检验即可；②先组合再分配，利用乘法原理求出不同分法的种类；③由条件概率公式，分布求出，，代入公式即可；④由二项分布的定义求解. 【详解】解：①根据两点分布的均值，方差， 若，则，因此①错误； ②将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，则说明必有人拿到个礼物， 所以可以先取个礼物，共有种；再将分好的组礼物分配，共有种， 因此，不同分法的种数为种，②正确； ③由事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，则第一枚点数可能为，，，共种， 而第二枚点数无要求，因此种； 又第一枚骰子投出的点数为奇数，两枚骰子点数之和为的情况，有和， 则，因此，③正确； ④由未击中目标的概率为，则击中目标的概率为，连续射击次，每次都相互独立，且概率均相同， 因此击中次数服从二项分布，即，因此④正确. 8. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案. 【详解】由概率的性质可得，解得， ， ， ， , 故选：CD 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题. 10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为22 【答案】AC 【解析】 【详解】由​，可得：, ，则， 所以数列的公差，故A正确； 等差数列前项和 ，因此， 即公差为的等差数列，与原数列公差不相等，故B错误； 由，，，可知等差数列前11项均为正，从第12项开始为负，因此最大，故C正确； 利用等差数列求和公式计算可得， ，， 因此要使的正整数的最小值为，不是，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 可得在区间上单调递减，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为，则随机变量的期望为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定的所有取值，再求出随机变量取每个值的概率，最后套公式求期望. 【详解】由题知，的所有取值为0，1，2. ，，. 所以随机变量的期望为. 故答案为：. 13. 的展开式中，记项的系数为，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】直接由二项式求出含有和的项，即可求解. 【详解】含有的项为，则； 含有的项为，则； 则. 故答案为：30. 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值. 【详解】由题可知，则， ， ==. 设，. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 则在时取得最大值. 【点睛】数列求和要熟练运用裂项相消和累加法，正确运用对数运算法则避免符号错误，结合函数与导数分析数列的单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格（元） 日需求量（） （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格元时，日需求量的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中， 【答案】（1） （2）预测值为 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用最小二乘法公式求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）将代入回归直线方程即可得解. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 由题意得， 且， 所以， ， 故回归直线方程为. 【小问2详解】 将代入回归直线方程得， 当价格元时，日需求量的预测值为. 16. 已知数列的首项，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义及递推公式推导出，即可得证； （2）由（1）可得，即可得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以， 所以， 又，所以数列是首项为，公差为的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得：，则， 所以 ① ， 则 ②， 两式相减得：， 所以， 所以. 17. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. （1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 （2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能认定产品质量与设备的新旧有关联 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意产品的质量指标值超过和不超过的件数，完善列联表，计算值判断即可； （2）先计算质量指标值在的频率为，进而根据频率估计概率得质量指标值在的产品数为，再结合二项分布求解即可. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过的频率为， 所以产品的质量指标值超过的有件， 所以产品的质量指标值不超过的有件， 故列联表如下： 设备 产品质量指标值 合计 超过75 不超过75 新设备 250 750 1000 旧设备 100 900 1000 合计 350 1650 2000 假设：产品质量与设备的新旧无关联， ， 所以依据小概率值的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联. 【小问2详解】 解：新设备产品质量指标值在的频率为：， 故根据频率估计概率，质量指标值在的概率为， 所以随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为， 所以；； ；； ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 4 所以，数学期望. 18. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． （1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； （2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果. （2）针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果. 【小问1详解】 设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”， 则． 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以． 故． 【小问2详解】 设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则． 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，． 由全概率公式可得． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个不同零点，，证明：且. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；在上单调递增； 当时，故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程； （2）分类讨论导函数正负得出函数单调性即可； （3）先应用极值点，再构造函数，，应用导函数正负得出函数单调性即可证明. 【小问1详解】 由题意得. 当时，，， 则曲线在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ①，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ②当时，由得，或. （i），即时， 当时，， 当时，， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； （ii），即时，同理可得在上单调递减； （iii），即时，同理可得在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递减；在上单调递增； 当时，故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知，时，的极小值为， 当时，的极小值为， 当时，在单调递减，故时，至多有一个零点. 当时，在单调递减，在单调递增. 要使有两个零点，则，即，得. 令，， 则 ， 所以在时单调递增，，. 不妨设，则，，，. 由在单调递减得，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $