培优专训(9) 特殊平行四边形的性质与判定&培优专训(10) 四边形的探究性问题-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

培优专训（六）反比例函数与面积 1.C2.B3.84.-65.-56.47.-48.39.8 培优专训（七）反比例函数的应用 1.C2.解：(1)高(2)反比例函数描点连线略.设反比例函数表达式 为y=点.则k=100×870=8700.∴y与x的关系为：y=8700.(3)这批 吸管制作的排箫不能吹出低音区的Do音，理由：当y=262,x=87000÷262 ≈332>200，∴.这批吸管制作的排箫不能吹出低音区的Do音， 培优专训（八）牢记折叠性质稳解折叠问题 1.4a十2b2.√123.(1)72(2)√204.解：(1)四边形AECF为菱形 理由如下：由翻折可知，EA=EC,FA=FC,∠CEF=∠AEF,.矩形AB CD,∴.AD∥BC.∴.∠AFE=∠CEF,∠AEF=∠AFE.AE=AF..AE= EC=AF=FC,∴.四边形AECF为菱形；(2)在Rt △AFG中，AG=4,设FG=x,则DF=x,AF=8-x,由勾 股定理得，4+x2=(8-x),.x=3.过点F作FH⊥CE 垂足为H,..EH=EC一CH=5一3=2，FH=4,.EF √20.5.解：(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC (2)①15°②∠MBQ=∠CBQ,理由如下：，BM=BC, BQ=BQ,..Rt△BQM≌Rt△BQC(HL),.∴.∠MBQ=∠CBQ: 39m 或cm6,C7.D8.解：()四边形AOBC是正方形，点A(0,6. (6,0),.OB=OA=6=BC=AC,AC∥OB,AO∥BC..∴.点C(6,6);(2).点 M是边AC的中点，∴.AM=号AC=3,由折叠可得EM=OE,设OE=x,则 EM=OE=x,AE=6-x,在Rt△AEM中，EM=AM+AE,即x2=3+ (6-x),解得r=尽：E(0,9):(3)设0E=m,则EM=0E=m,AE=6 -m,在Rt△AEM中，EM=AM+AE,即m2=t+(6-m)2,解得m= 3Eo.6) 12 培优专训（九）特殊平行四边形的性质与判定 1.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=BD,AD∥ BC.又E,F分别是CD,BC的中点，.EO,EF是△CDB的中位线.∴EO∥ BC,EF∥DB..四边形OEFB是平行四边形.，AD⊥DB,AD∥BC, ∠CBD=∠ADB=90°.∴.平行四边形OEFB是矩形.(2)，四边形ABCD 是平行四边形，AC=10,∴.AO=CO=7AC=5,BC=AD=4.在Rt△AD0 中，∠ADO=90°，.DO=√A0-AD=3..OB=DO=3.由(1)可知，EO 是△CDB的中位线，四边形OEFB是矩形，OE=2BC=2.·S彩FB OE·OB=2X3=6. 2.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.∠C ∠CDC'=90.由折叠得∠DCE=∠C=90,∠CDE=∠C'DE=2∠CDC =45°，CD=CD,C'E=CE,∴.∠CED=∠CDE=45°.∴.CD=CE.∴.C'D= CD=CE=CE..四边形CDCE是菱形.∠C=90°，.四边形CDCE是 正方形.(2)63.解：(1)证明：.四边形ABCD是正方形，.∴.∠BOE= ∠AOF=90°，OB=OA.又AM⊥BE,.∴.∠MEA+∠MAE=∠AFO十 ∠MAE=90°.∴.∠MEA=∠AFO.又∠BOE=∠AOF,BO=AO,∴.△BOE ≌△AOF(AAS)..OE=OF.(2)OE=OF成立.证明：.四边形ABCD是 正方形，∴.∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA.∠E+∠OBE=90°.AM⊥ BE,∴∠F+∠MBF=90°.又∠MBF=∠OBE,∴.∠F=∠E.·∠BOE= ∠AOF,BO=AO,∴.△BOE≌△COF.∴.EO=FO. 培优专训（十）四边形的探究性问题 1.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD.:CF∥BD,DF∥ AC,∴四边形OCFD是平行四边形.∴.CF=OD..CF=OB.:CF∥BD, ∠EFC=∠EBO,∠ECF=∠EOB.在△FCE和△BOE中， ∠EFC=/EBO, CF=OB. .∴.△FCE≌△BOE(SAS).(2)①菱形②矩形③正 ∠ECF=∠EOB, 方形2.解：(1)②BE=DG②60°(2)由条件可知四边形ABCD和 AEFG均为正方形，∴.∠EAG=90°，AE=AG,∠AEG=∠AGE=45°.由条 件可知AH=EH=GH=2EG,.EG=2AH.:DE+EG=DG =BE.同(1)可证△BAE≌△DAG(SAS)..BE=DG,∠AEB= ∠AGE=45°...BE=DE+2AH.∠BEG=∠AEB+∠AEG= 90°...∠BED=90°： (3)补图如图：AH,DE,BE之间的关为：DE=BE+2AH,∠BED=90° 第三部分高效学习日目优 第15章分式 15.1分式及其基本性质 15.1.1分式 1.B2.C3.A4.(1)2(2)=-55.②⑤⑥⑧①③④⑦ 6.①)解：≠-2.(2)解：x≠ 15.1.2分式的基本性质 1.D2.B3.A4.6xy5.(1)解：原式=y 3x1 (2)解：原式= (a-1)2 a-1 3 3bc a-b2a(a-b) (a+1)(a-1)a+1' 6.(1)解：2db2abc'abc2ac 2 2(x+1) 1. (2)解：z-xx(x十1)(x-1)'2-1x(x十1)(xD 15.2分式的运算 15.2.1分式的乘除 1.D2.B3.C4.A5.a26.(1)解：.a十b一3=0，，.a十b=3∴.原式 -4a480=aD=4=是.(2)解：原式=at)a3》。 (a+b)2 (a+b)2a+b3· (a-2)2 aa·。g。二当a-1时原武马 1 21-2=-1. 15.2.2分式的加减 1.A2.A3.C4.A5.x6.(1)解：原式-3y 2 (2)解：原式=a十b. (3)解：原式-4 a+1 15.3可化为一元一次方程的分式方程 1.D2.D3.D4.一15.26.解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小 张平均每小时掰玉米(x十2)筐.根据题意，得36。=30，解得r=10,经检 x+2 x 验，x=10是所列方程的解，且符合题意.答：小李平均每小时掰玉米10筐. 15.4零指数幂与负整数指数幂 15.4.1~15.4.2零指数幂与负整数指数幂和科学记数法 1A2C3C4A5-561)解：原式=1++9+3=13 (2)解：原式=石 第16章函数及其图象 16.1变量与函数 1.C2.D3.x≠34.x≥25.一16.解：(1)剩余长度(2)根据表格 时间每增加1min,长度减少0.8cm,'.当时间为20分钟时，香剩余的长度 为20一0.8×20=4(cm).答：当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是4 cm. 16.2函数的图象 16.2.1平面直角坐标系 1.B2.DC3.D4.二51 ↑y 5.解：B(-1,一2)和C(1,一1)，∴.建立平面直角坐 标系，如图.∴.A(一3，一1)，D(一3,2)，E(4,1),F(1, D 3),G(-1,3). 27跨单元整合 。 培优专训（九） 特殊平行四边形的性质与判定 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,AD⊥DB,E,F分别是CD,BC的 中点。 (1)求证：四边形OEFB是矩形； (2)若AD=4,AC=10,求四边形OEFB的 面积. 3.如图1，正方形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O,E是AC上的一点，连结EB,过 点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相 交于点F. (1)求证：OE=OF; (2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM ⊥BE于点M,AM的延长线交DB的延 长线于点F,其他条件不变，结论“OE= OF”还成立吗？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由 2.实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 ABCD沿过D的直线折叠，使点C落在AD 上的点C处，得到折痕DE,然后再把纸片 图2 展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片 ABCD沿过点E的直线折叠，点A恰好落 在CD上的点A'处，得到折痕EF,BC交 A'B'于点M,再把纸片展平.问题解决： (1)如图1，求证：四边形CDC'E是正方形； (2)如图2，若CA'=3,DA'=6,求△A'CM 的面积为 图1 图2 B11 跨单元整合 培优专训（十） 四边形的探究性问题 1.(2025·西峡期未)如图，平行四边形ABCD 【深入思考】 的对角线AC、BD交于点O,分别过点C、D (2)如图②，当a=90°，且点E在线段DG上 作CF∥BD,DF∥AC,连结BF交AC于 时，过点A作AH⊥EG于点H,探究线 点E 段AH,DE,BE之间的数量关系，并求 (1)求证：△FCE2△BOE; ∠BED的度数； (2)用“矩形、菱形、正方形”填空： 【拓展延伸】 ①当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形 (3)当a=90°，且点E在线段DG的延长线. OCFD为 上时，过点A作AH⊥EG于点H,请你 ②当△ADC满足AD=CD时，四边形 补全图形，并直接写出线段AH,DE, OCFD为 BE之间的数量关系及∠BED的度数， ③当△ADC满足AD=CD,∠ADC=90° 时，四边形OCFD为 图① 图② 备用图 2.【问题提出】 如图，四边形ABCD和AEFG均为菱形，且 ∠C=∠F=a,连结BE和DG 【探究猜想】 (1)如图①，当a=60时， ①线段BE和DG之间的数量关系为 ； ②直线BE和直线DG相交所成的较小 角的度数为 B12