18 模型构建专题(2) 与正方形有关的几种几何模型-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

模型构建专题（二） 与正 模型一 正方形中十字模型 型展 示 图1 图2 正方形ABCD中，若 在图1的基础上，将AM, 型 AM⊥BN,则AM= BN按图2进行平移，则 读 BN. EF=HK. 在正方形的对边分别取点并连结，所得的两条 论 线段若垂直，则相等；反之亦成立， 1.如图，ABCD是一个正方形花园，E,F是它的 两个门，且DE=CF.要修建两条路BE和 AF,这两条路等长吗？它们有什么位置关 系？为什么？ 2.(2025·郑州期中)（一）感知：如图①，在正方 形ABCD中，E为边A,B上一点（点E不与 点A,B重合)，连结DE,过点A作AF1 DE,交BC于点F,易证： .（填写 相等的线段) (二)探究：如图②，在正方形ABCD中，E,F 分别为边AB,CD上的点(E,F不与正方形 的顶点重合)，连结EF,作EF的垂线分别交 边AD,BC于点G,H,垂足为O.若E为AB 方形有关的几种几何模型 的中点，DF=1,AB=4,求GH的长. (三)应用：如图③，在正方形ABCD中，点E, F分别在BC,CD上，BE=CF,BF,AE相交 于点G.若AB=3,图中阴影部分的面积与正 方形ABCD的面积之比为2：3，则△ABG 的面积为 H o ③ 助学助教优质高效86 模型二正方形中过对角线交点的直角问题 模型展示 正方形ABCD中，O为两条对角线的交 点，点E,F分别在边AB,BC上.若∠EOF为 模 直角，OE,OF分别与DA,AB的延长线交于点 型 G,H,则△AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH, 读 △OGH是等腰直角三角形，且Sg边形OEBF S正方形ABCD. 3.【课本再现】 (1)如图1，点O是正方形ABCD对角线的交 点，同时，点O是正方形A1B1C1O的一个 顶点，且这两个正方形的边长相等，两个 正方形重叠的部分为四边形EBFO,则 AE BF,S四边形EBrO= S四边形ABCD(填“>”“=”或“<”)； 【拓展延伸】 (2)如图2，正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点E是边AB上一点，连结 OE,过点O作OF⊥OE,交BC于点F,若 四边形OFBE的面积是4，则线段AB的 长为 图1 图2 模型三正方形中的三垂直问题 4.如图，直线1经过正方形AB CD的顶点A,分别过点B,D 作BE⊥I于点E,DF⊥I于点 F,若BE=4,DF=5,则EF 的长为 87八年极数学·下册·HS 5.如图1，在正方形ABCD中，P是 CD上的一动点，连结PA,分别过 点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂 足为E、F (1)求证：BE=EF+DF; (2)如图2，若点P是DC的延长线上的一个 动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间 的数量关系？并说明理由； (3)如图3，若点P是CD的延长线上的一个 动点，请探索BE、DF、EF三条线之间的 数量关系？（直接写出结论，不需说明 理由) 模型四正方形中的“角平分线十垂直”模型 模 G (AH-=CE) (BH=BE) 图1 图2 在正方形ABCD中，点E在射线CB上， 解读 EF交外角∠DCG的平分线（图1）或其所在直 线（图2）于点F,且AE⊥EF,则有AE=EF 6.如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上 任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形的 外角∠DCG的平分线CF于点F. 求证：AE=EF. 7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中 点，∠AEF=90°，且AE=EF 求证：CF是正方形ABCD外角的平分线 模型五 正方形中的半角模型 图1： 模型展示 G 图2： 图1中，正方形ABCD,∠EAF=45°，则： 模 ①EF=BE+DF;②FA平分∠DFE. 图2中，正方形ABCD,点E在CB的延长线 读 上，点F在DC的延长线上，∠EAF=45°，则： ①EF=DF-BE;②FA平分∠DFE, 8.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点 F在CD上，连结AE,AF,EF.若∠EAF= 45°，BE=3,CF=4,求正方形的边长。 45 助学助教优质高效88为正方形.11.PB=PQ解：PB=PQ.证明：过 点P作PE⊥BC,交BC的延长线于点E,PF⊥CD 交DC的延长线于点F..P,C为正方形对角线AC 上的点，∴.CP平分∠ECF,∠BCD=90°.又PE⊥ CB,PF⊥CQ,.∴.PF=PE,∠PEC=∠PFC=90° .四边形PECF是矩形.又PE=PF,.矩形 图2EP PECF为正方形.∴.∠EPF=90°=∠EPB+∠BPF.又∠BPQ=90°= ∠BPF+∠QPF,∴.∠EPB=∠QPF.又∠E=∠PFQ=90°，PE=PF, ∴.△PEB≌△PFQ.∴PB=PQ. 模型构建专题（二）与正方形有关的几种几何模型 1.解：BE=AF且BE⊥AF.理由如下：，四边形ABCD是正方形，AB= AD=CD,∠BAE=∠D=90°.又DE=CF,,∴.AE=DF...△ABE≌ △DAF(SAS)..BE=AF,∠ABE=∠DAF.,∠DAF+∠BAF=90°， .∠ABE+∠BAF=90°∴.∠AGB=90°，即BE⊥AF. 2.解：（一）DE=AF;(二)过点D作DP∥EF交AB于点P, 过点A作AQ∥GH交BC于点Q,如图②所示：'EF⊥GH, ,DPGH.同（一）可证明：△ADP≌△BAQ(SAS),..DP AQ.四边形ABCD是正方形，且AB=4,.AB∥CD,AD∥ G 0. BC,AD=AB=4.又DP∥EF,AQ∥GH,∴.四边形DFEP, 四边形AGHQ都是平行四边形.∴.EF=DP,PE=DF,GH=AQ.∴.GH= EF.点E为AB的中点，DF=1,AE=2AB=2,PE=DF=1.AP AE-PE=1.在Rt△ADP中，由勾股定理，得DP=√AD十AP= √4+1=√I7,.GH=EF=DP=I7;(三)，四边形ABCD是正方形， 且AB=3,∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.正方形ABCD的面积为9，设 图中阴影部分的面积为S.,图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积 之比为2：3，.S:9=2:3,S=6.S△ABG十S四边形GEDF=9一6=3.在 (AB=BC. △ABE和△BCF中，∠ABE=∠BCF=90°， BE=CF. ∴.△ABE≌△BCF(SAS).S△ABE=S△F.·'S△ABE-S△GE=S△F-S△GE· 六SAAG=Sg边形0EDF..SAg=习. =.3.1)=(2)44.95.10证 明：.BE⊥PA,DF⊥PA,..∠BEA=∠AFD=90° .四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90°.∴.∠BAE+∠DAF =∠ADF+∠DAF=90°..∴.∠BAE=∠AD.在△BAE和△ADF中， BEA-AFD. ∠BAE=∠ADF,∴.△BAE≌△ADF(AAS).∴.BE=AF,AE=DF AB-AD, .AF-AE=EF,.'BE-DF=EF,BE=EF+DF;(2)DF=BE+EF. 证明：，四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAE十∠DAF=90°.，BE ⊥PA、DF⊥PA,∴.∠AEB=∠DFA=90°.∴.∠BAE+∠ABE=90° ABE-DAF. ,∴.∠ABE=∠DAF.在△ABE和△DAF中，∠BEA=∠AFD=90° AB-DA. ∴.△ABE≌△DAF(AAS).∴.BE=AF,AE=DF. ,AE=AF十EF,∴.DF=EB十EF; (3)EF=BE十DF.证明：四边形ABCD是正方形，∴.AB =AD,∠BAD=90°..∠1+∠3=90°.，BE⊥PA、DF⊥ PA,∴.∠AEB=∠DFA=90°..∠2+∠3=90°.∴.∠1= ∠BEA=∠AFD=90°， ∠2.在△ABE和△DAF中，∠1=∠2， 图3 AB=DA. ,∴.△ABE≌△DAF(AAS)...BE=AF,AE=DF..·EF=AF+AE,.EE =EB十FD.6.证明：在AB上截取BM=BE,连结ME.'∠B=90° .∴.∠BME=∠BEM=45°.，CF平分∠DCG,,∴.∠FCG=45°...∠AME= ∠ECF=135°.：'∠AEF=∠B=90°，.∠AEB+∠CEF=∠AEB+ ∠MAE=90°.∴.∠CEF=∠MAE.AB=BC,BM=BE,.AM=EC. △AME≌△ECF(ASA)..AE=EF.7.证明：过点F作FH⊥BC,交 BC的延长线于点H..∠AEF=90°，..∠AEB+∠FEH=90°..∠ABE =90°，，.∠AEB+∠BAE=90°..∴.∠BAE=∠FEH.又AE =EF,∠ABE=∠EHF,∴.△ABE≌△EHF..BE=HF, AB=EH=BC.∴.BC-EC=EH-EC,即BE=CH..HF =CH.∴.∠HCF=∠HFC=45°，∠DCF=45°.∴.CF是正方 形ABCD外角的平分线，8.解：延长CB至点G,使BG= DF,连结AG.:四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD, ∠ABE=∠D=∠BAD=90°.∴.∠ABG=∠ABE=∠D= 90°..△ABG≌△ADF(SAS).,.AG=AF,∠BAG ∠DAF.,∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，.∠BAG十 ∠BAE=∠EAG=45°..∠EAG=∠EAF.又AE=AE,GB '.△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG=BE十BG=BE+DF.设正方形的边 长为x,则CE=x-3,DF=x-4.∴.EF=BE+DF=x-1.在Rt△CEF中， CE+CF2=EF2,∴.(x-3)2+42=(x-1)2..x=6..正方形的边长为6. 回归教材专题（三）中点四边形问题 1.B2.证明：设EF交BD于M,EH交AC于N.,AC⊥BD,∠AOB= ∠AOD=90°.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，∴.EF∥AC EH∥BD,EF=2AC=GH,EH=BD=FG.又AC=BD,∴EF=GH= EH=FG.∴.四边形EFGH是菱形.EF∥AC,EH∥BD,∴.∠EMO= ∠AOD=90°，∠ENO=∠AOD=90°..∠FEH=360°-90°X3=90°.又菱 形EFGH,∴.菱形EFGH是正方形.3.C4.AB=CD5.126.20 模型构建专题（三）矩形中的折叠模型 1.D2.A3.(10,3)4.号或35.解：设AE=x,则DE=10-x.由折叠 知，∠A=∠BAE=90°，AB=A'B=8,AE=A'E=x..∠BA'C=90°..A C=/102-82=6.在Rt△DEC中，EC2=DC2+DE2..∴.(x+6)2=82+(10 -x)2.解得x=4.∴.DE=10-4=6. 难点强化专题特殊四边形中线段的最值问题（选用） 1.32.1.2【例】解：连结BN,连结BM交AC于N',连结 DN'.四边形ABCD是正方形，.点B与点D关于直线 AC对称.∴.DN=BN.'.DN+MN=BN+MN.∴.当B,N, M共线，即N与N'重合时，DN+MN有最小值，BM的长 即为DN+MN的最小值.，CD=4,DM=1,.CM=CD DM=4一1=3.在Rt△BCM中，BM=√BC2+CP= √42+32=5.故DN+MN的最小值是5.3.134.√2 综合与实践设计校园停车位 解：任务1：图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，理 由如下：在图1中，AB上AD,CD⊥AD,.AB∥CD..AB=CD,∴.四边形 ABCD是平行四边形.：AB⊥AD,∴.∠BAD=90°.∴.平行四边形ABCD是 矩形；在图2中，∠G=120°，∠H=60°，∴.∠G+∠H=180°，.EG∥FH. ,EG=FH,,.四边形EFHG是平行四边形..图1中停车位的形状是矩 形，图2中停车位的形状是平行四边形；任务2：①设置垂直停车位时，，·空 地长32m,宽14m,垂直停车位长6m,宽2.5m,通道宽度不小于3.5m,∴. 14÷2.5=5.6,即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5个.又32÷(6十 3.5)≈3（列），即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列，.当设置垂直 停车位时，最多可以设置5×3=15（个）；②设置倾斜停车位 时，过点G作GP⊥FH于P,过点H作HQ⊥EF交EF的 延长线于Q,如图所示：，四边形EFHG为平行四边形，倾 斜线长6m,倾斜线之间的距离为2.5m,∴.HF=GE=6m, GH=EF,GH∥EQ,GP=2.5m.∴.∠HFQ=∠GHF=60° 在Rt△HFQ中，∠FHQ=90°-∠HFQ=30°，∴.FQ=号HF=3m,由勾股定 理，得HQ=√HF-FQ=√27≈5.19(m).在Rt△GHP中，∠HGP=90° ∠GHF=30°，∴.GH=2HP,由勾股定理，得GH-HP=GP,即(2HP)2 HP=2.5.HP=√≈1.4m.GH=2H2.88m.每行设置 的停车们位是：(32一3)÷2.88≈10（个）..5.19+3.5十5.19=13.8814， 可以设置两行倾斜停车位，共有10×2=20（个）.答：学校该空地应选择倾斜 停车位布置方式，最多可以设置20个停车位. 21