18.1 矩形（题型专练）（基础达标3大题型+能力提升6大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

18.1矩形 题型一 矩形的定义及性质 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 2.（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 4.如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为______． 5.如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 题型二 矩形的判定 1.如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 3．（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 4.如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 5.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． 求证：四边形为矩形； 题型三 直角三角形斜边上的中线的性质 1.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．16 3．如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 4.如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为_______． 5.如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 题型一 利用矩形的性质与判定求线段长 1.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 3.在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为______ ． 4.如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 5.如图，在中，对角线、相交于点O，过点O作交于E，如果，，， (1)求的长； (2)求与之间的距离； (3)求的长． 题型二 利用矩形的性质与判定求角度大小 1.如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2.如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 3.如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 4.（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 5.如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 题型三 直角三角形斜边上的中线性质及逆命题的应用 1.（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 2.（2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 3.如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为___________． 4.如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 5.如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 题型四 与矩形有关的动点问题 1.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 3.如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 4.如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 5.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 题型五 与矩形有关的折叠问题 1.如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2.长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 3.如图，折叠矩形，让点B落在对角线上，若，，则线段______． 4.如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 5.（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型六 与矩形有关的综合应用 1.如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 3.如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 4.定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 5.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 1．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 2.如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 3.如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 5.如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 6.如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 7.如图，在矩形ABCD中，，．E为边CD上一点，，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，为直角三角形？ 8.如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 9.综合与实践 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，则：． 探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究． (1)如图1，取边的中点，连接，易得结论：为等边三角形，请说明理由， (2)如图2，为的中线，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的外部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． (3)如图3，当点为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，如果，求的度数，请直接写出你的结论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.1矩形 题型一矩形的定义及性质 A基础达标题 题型二矩形的判定 题型三直角三角形斜边上的中线的性质 题型一利用矩形的性质与判定求线段长 题型二利用矩形的性质与判定求角度大小 题型三直角三角形斜边上的中线性质及逆命题的应用 矩形 B能力提升题 题型四与矩形有关的动点问题 题型五与矩形有关的折叠问题 题型六与矩形有关的综合应用 C拓展培优题 基础达标题 题型一矩形的定义及性质 1.C 2.D 3.18°. 4.8. 5.A. 题型二矩形的判定 1.B. 2.C. 3.6 4.矩形. 5.证明：，AF=FC, ∴.点F是AC的中点， 又，E是AB的中点， ∴.EF是△ABC的中位线， .EDl BC, 又.BF‖CD ∴.四边形BCDF为平行四边形， ∠BCD=90°， ∴.四边形BCDF为矩形. 题型三直角三角形斜边上的中线的性质 1.C 2.A 3.25. 4.3. 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(1)证明：在△CAD中，MW分别为AC,CD的中点， MN IAD.MN-AD. 在Rt△ABC中， 点M是AC的中点， :BM--AC, :‘AC=AD, ∴.MN=BM (2)解：：∠BAD=60°，AC平分∠BAD, .:∠BAC=∠DAC=30°， 由(D可知，BM=号AC=AM=MC, ∴.∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， .MN‖AD .:∠NMC=∠DAC=30°， ,:∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， :MN=BM=号AC=3, :BN=32 B 能力提升题 题型一利用矩形的性质与判定求线段长 1.B. 2.D. 3.34. 4.23. 5.(1)解：如图，连接CE, B 四边形ABCD是平行四边形， ∴.A0=CO, 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE⊥AC, ∴.OE垂直平分AC,AE=4, ∴.AE=CE=4, :DE=2,DC=2V5, .CE2+DE2=42+22=20,CD2=20,即CE2+DE2=CD2, ∴.∠CED=90, .∠AEC=90°， .AC=AE2+CE2=V42+42=4V2: (2)解：由(1)可知CE⊥AD,AD=AE+DE=4+2=6, .S。ABcD=AD·CE=6×4=24, 设AB与CD之间的距离为h, 则S。ABcD=CD·h=25h=24, h=125 5 25 即AB与CD之间的距离为兰 9 (3)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F, 由(1)可知CE⊥AD, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC,BC=AD=AE+DE=6, ∴.CE⊥BC, .∠CED=∠ECF=∠DFC=90°， ∴.四边形CFDE是矩形， .CF=DE=2,DF=CE=4,∠CFD=90°， 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF=BC+CF=6+2=8, BD=BF2+DF2=V82+42=4V5. 题型二利用矩形的性质与判定求角度大小 1.A. 2.A. 3.44 4.120°. 5.(1)解：，D,G分别是AB,AC的中点， .DGlc,DG=号BC, :E,F分别是OB,OC的中点， EFG,EF-G, .:DG=EF,DG‖EF, ∴.四边形DEFG是平行四边形， .∠GDE=60°， .∠GFE=60°： (2)解：，∠OBC和LOCB互余， .:∠OBC+∠OCB=90°， .:∠BOC=90°， M为EF的中点，OM=3, .:EF=2OM=6, 由(1)知四边形DEFG是平行四边形， .:DG=EF=6」 题型三直角三角形斜边上的中线性质及逆命题的应用 1.A 2.B 3.3. 4.2V14. 5.(1)证明：，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， .DE,DF为△ABC的中位线， .DE‖BC,DF AB ∴.四边形EBFD是平行四边形， ∴.OE=OF (2)解：BD=EF.理由如下： 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D是AC的中点，∠ABC=90°， :.BD=1AC. 2 E,F分别是AB,BC的中点， :EF=号AC, 21 .'BD=EF. 题型四与矩形有关的动点问题 1.B 2.B 3.4.8. 4.2.5或10. 5.(1)如图，过D点作DE⊥BC于E, D OE .AD‖BC,∠B=90°， .LA=90°， .四边形ABED为矩形， .DE=AB=8cm,AD=BE=12cm, 在Rt△CDE中， .'∠CED=90°，DC=10cm,DE=8cm, ∴.EC=DC2-DE2=6cm, ∴.BC=BE+EC=18cm: (2)根据题意得：PA=tcm,CQ=2tcm,则BQ=BC-CQ=(18-2t)cm,0≤t≤9， .AD‖lBC,∠B=90° ∴.当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形， 即t=18-2t,解得t=6秒， 故当t=6秒时，四边形PQBA为矩形： (3)根据题意得：PA=tcm,CQ=2tcm,则PD=AD-PA=(12-t)cm,0≤t≤9， PQ‖CD时，如图， 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD‖BC, ∴.四边形CDPQ是平行四边形， ∴.PQ=CD,DP=CQ, .12-t=2t, ∴.t=4秒： (4)△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当QC=DC时，即2t=10, ∴.t=5: ②当DQ=DC时，CQ=2CE, 即2t=6×2, ∴，t=6: ③如图，当QD=QC时，则QD=2tcm,QE=QC-CE=2t-6cm, D O E 在Rt△QDE中，QD2=QE2+DE2, 即2t2=2t-62+82, 解得：t=25 6· 25 故存在t,使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为5秒或6秒或6秒. 题型五与矩形有关的折叠问题 1.C 2.B. 4.3.5 5.(1)证明：，四边形ABCD为矩形， .AD‖BC, ∴.∠DEF=∠BFE, 由折叠的性质可得：∠DEF=∠BEF, ∴.∠BFE=∠BEF, 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=BF: (2)解：，四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=90°， 由折叠的性质可得BE=DE, 设AE=X,则BE=DE=AD-AE=8-X, 由勾股定理可得：AB+AE2=BE2, .62+x2=8-x2, 7 解得：X= 4 AE 4 题型六与矩形有关的综合应用 2 2027 1 1.B. 2.A. 3.5 4. 2 5.(1)证明：如图1，连接BF, D B E 图1 ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD, :点F为AE的中点， B=AF=号A, ∴.∠ABF=∠BAF, ∴.∠ABC-∠ABF=∠BAD-∠BAF,即∠CBF=∠DAF, 在△BCF和△ADF中， BC=AD ∠CBF=∠DAF, BF=AF 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BCF≌△ADF SAS, ..CF=DF (2)解：如图2，过点F作FG⊥CD于点G, G E 图2 由(1)已证：CF=DF, :∠CFG=∠DFG=号∠DFC(等腰三角形的三线合一)， .四边形ABCD是矩形， ∴.AD⊥CD,BC⊥CD,∠BAD=90°， AD‖FG BC, :.∠ADF=∠DFG=∠DFC,∠BCF=∠CFG=∠DFC, ,AD=ED,点F为AE的中点， :.DF⊥AE,∠EDF=∠ADF(等腰三角形的三线合一)， :∠EDF=∠DFC,∠DAE+∠ADF=90, 又，∠BAD=90°， :.∠DAE+∠BAE=90°， ∠BAE=∠ADP-DFC 综上，所有等于∠DFC的一半的角是∠ADF,∠BCF,∠EDF,∠BAE. C 拓展培优题 1.B 2.B. 3.D 4.V10. 5.130°. 6.12. 7.解：：矩形ABCD中，AB=9,AD=4, .CD=AB=9,∠D=90°， ∴.DE=9-6=3, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=VDE2+AD2=32+42=5, 若∠EPA=90°，t=6; 若∠PEA=90°，(6-t2+42+52=9-t2, 子 2 综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形. 8.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .:AD‖BC,AD=BC, :‘CF=BE, .BE+CE=CE+CF, .BC=EF, .AD=EF, :'AD‖EF,AD=EF .:四边形ADFE是平行四边形， :·AE⊥BC, :∠AEC=90°， :四边形AEFD是矩形， (2)解：·四边形AEFD是矩形， .AF=DE,AE=DF, .AB+DE=17, .AB+AF=17, .∠BAF=90°， ..AB2+AF2=BF2, ∴.(AB+AF)2-2AB·AF=BF2, 17-2AB·AF=132, .AB·AF=60, 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :'S△ABF= E1·AE·BF=号AB·AE 2 :AE=AB·AE-60 BF 13 9.(1)解：：∠ACB=90°，∠B=30°， :∠A=60,AC=3AB :‘CE为AB边上的中线， .:CE-AB=AE, 2 .AC=AE=CE, .:△ACE是等边三角形. (2)解：猜想PD=PB,理由如下： :'△ACE,△ADP都是等边三角形， .:AC=AE,AD=AP,∠CAE=∠DAP=60, .:∠CAD=∠EAP, 在△CAD和△EAP中， AC=AE ∠CAD=LEAP, AD=AP .:△CAD≌△EAP SAS, .:∠ACD=∠AEP=90°， .:PE⊥AB :‘EA=EB, .PA=PB. :‘DP=AP, .PD=PB. (3)解：：'△ACE,△ADP都是等边三角形， .:AC=AE,AD=AP,∠CAE=∠DAP=60°， ,:∠CAE+∠DAB=∠DAP+∠DAB,即∠CAD=∠EAP, 则△CAD≌△EAP SAS, 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:∠ACD=∠AEP=90°， 同(2)可知，PA=PB,PD=PB ∠BPD=24, .∠APB=60°-24°=36°， .PA=PB ∴∠APE=号×36=18， .∠PAE=90°-18°=72°， ∠PAD=60°， .∠BAD=72°-60°=12° 11/11 18.1矩形 题型一 矩形的定义及性质 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义，结合矩形的性质即可直接判断． 【详解】解：∵中心对称图形是绕平面内某点旋转后能与原图形重合的图形，轴对称图形是沿平面内某条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形． 又∵矩形绕对角线交点O旋转后可与原图形重合，沿两组对边中点所在直线对折，直线两侧部分完全重合， ∴矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对应选项为C． 2.（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可知，证明，利用全等三角形的性质可证，根据两点之间线段最短可知，利用勾股定理求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接、、， 则有， 四边形是矩形， ，， 在和中，， ， ， ， 两点之间线段最短， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， . 3.如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4.如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质可得，，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点为矩形的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的面积均为4， ∴， 故答案为：8． 5.如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵直线垂直平分， ∴， 再中，， ∵， ∴在中，， 故选：A． 题型二 矩形的判定 1.如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 添加，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断； 【详解】解：根据题意可得， ∴， 添加， 则， 即可得四边形为矩形， 故选：B． 2．如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握有三个角是直角的四边形是矩形． 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，结合对顶角相等得到，同理可得，，进而可证明四边形是矩形． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别平分，， ， ． 同理可得，， 四边形是矩形． 故选：C． 3．（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 4.如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 【答案】矩形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵是边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 平分， 同理，， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 5.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． 求证：四边形为矩形； 【答案】见解析 【分析】先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 题型三 直角三角形斜边上的中线的性质 1.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先利用中位线求的长度，再根据直角三角形斜边中线求的长度，最后计算． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵，是的中点， ， ∵， ∴， ． 2．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可求出，进而求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，点E是边的中点， ∴． 3．如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 4.如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为_______． 【答案】3 【分析】根据三角形的中位线定理求得的长，然后根据是直角斜边上的中线，求得的长，则即可求得． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，D为中点， ∵，， ∴， ∴． 5.如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线和中线即可求解； （2）证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在中，M，N分别为，的中点， ∴,, 在中， 点是的中点， ， , ∴ （2）解：∵,平分, , 由（1）可知，, ∴, ∵, , , ∴, ． 题型一 利用矩形的性质与判定求线段长 1.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 2.如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 3.在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理；连接，取中点M，连接，，得出是的中位线，得出，，，，再由得出四边形是矩形，最后通过勾股定理即可求出. 【详解】解：连接，取中点M，连接，，交于点，如图所示， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 4.如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 5.如图，在中，对角线、相交于点O，过点O作交于E，如果，，， (1)求的长； (2)求与之间的距离； (3)求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质可推出垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质和勾股定理逆定理可推出，最后利用勾股定理即可求得； （2）利用平行四边形面积公式即可解答； （3）过点D作于点F，易证四边形是矩形，则，，，然后即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设与之间的距离为h， 则， ∴， 即与之间的距离为； （3）解：如图，过点D作于点F， 由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 题型二 利用矩形的性质与判定求角度大小 1.如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2.如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 3.如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 4.（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】/120度 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 5.如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解； （2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的中点， ， ∵分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； （2）解：∵和互余， ， ， ∵为的中点，， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ． 题型三 直角三角形斜边上的中线性质及逆命题的应用 1.（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出和的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 2.（2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ∵， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 3.如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理，解题思路是先由刻度尺求出的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解；解题关键是识别为斜边中线，易错点是对定理的条件和结论理解不清，运用了几何定理的方法技巧． 【详解】解：因为点分别对应刻度尺上的刻度和， 所以， 因为，为的中点， 所以， 即； 故答案为：． 4.如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据三线合一得到，，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：连接，， ∵，，，F为的中点， ∴，，即， ∵G为的中点， ∴，， ∴． 5.如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）要证明，先利用三角形中位线定理，结合中点条件得到，从而判定四边形为平行四边形；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，推出为的中点，即． （2）判断与的数量关系，先在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到；再结合三角形中位线定理，得到，从而推出． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴． （2）解：．理由如下： ∵是的中点，， ∴． ∵分别是的中点， ∴， ∴． 题型四 与矩形有关的动点问题 1.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 2.如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．设的交点为O，根据勾股定理，得到，继而得到，，根据，解答即可． 【详解】解：设的交点为O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3.如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______． 【答案】4.8 【分析】连接，过点P分别作，，根据矩形的性质得，，，，，根据勾股定理得，及，，，即可得三角形和三角形的面积，根据即可得． 【详解】解：连接，过点P分别作，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ， 解得，． ∴点P到矩形的对角线、的距离之和为. 4.如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】2.5或10 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理．根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 5.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 题型五 与矩形有关的折叠问题 1.如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 2.长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，设，则，得到，从而得到，解答即可． 本题考查了矩形，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 故选：B． 3.如图，折叠矩形，让点B落在对角线上，若，，则线段______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，由折叠得，，，，求出，设，则，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴． 4.如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．由矩形的性质得，，由折叠得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，,， 由折叠得， ， ， 故答案为：． 5.（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 题型六 与矩形有关的综合应用 1.如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 2.如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 3.如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． . ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 4.定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 5.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）连接，先得出，，再证明，由此即可得证； （2）过点作于点，先得出，再证明，则可得，，然后证出，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）已证：， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所有等于的一半的角是，，，． 1．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 2.如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 3.如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的边长和甲乙的速度，计算出两人每次相遇时甲所走的路程，进而确定相遇点的坐标，找出相遇点坐标的变化规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：由图可知，矩形的长为，宽为， 故矩形的周长为， 因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为， 由题意知：第一次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是； 第二次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是； 第三次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在点相遇，相遇地点的坐标是；⋯， 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ， 故两个物体运动后的第2026次相遇地点与第一次相遇的地点重合，此时相遇点的坐标为：． 4.如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线的长，再利用圆的半径相等求出的长，然后求出的长，最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 5.如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴. 6.如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 7.如图，在矩形ABCD中，，．E为边CD上一点，，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】当或时，为直角三角形． 【分析】需要分类讨论：为斜边和为斜边两种情况下的直角三角形． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴, 若，； 若，， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 8.如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 9.综合与实践 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，则：． 探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究． (1)如图1，取边的中点，连接，易得结论：为等边三角形，请说明理由， (2)如图2，为的中线，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的外部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． (3)如图3，当点为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，如果，求的度数，请直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据垂直平分线的性质得到，证明结论； （3）根据题意画出图形，由（2）的证明方法证明，，进一步利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：，， ，， 为边上的中线， ， ， 是等边三角形． （2）解：猜想，理由如下： ， 都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ． ， ． （3）解：，都是等边三角形， ，，， ，即， 则， ， 同（2）可知，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $