17 方法技巧专题(4) 平行四边形判定方法的选择-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

方法技巧专题（四） 平行四边形判定方法的选择 解题技巧 3.如图，在四边形ABCD中，点E,F在对角线 判定四边形是平行四边形的五种方法可概括为 AC上，且AB=CD,AE=CF,DE∥BF, 三类：(1)边的关系；(2)角的关系；(3)对角线的关系. 运用时选择哪一种方法，应根据具体情况而定，常规 ∠ADE=∠CBF. 解题思路和方法如下：①当已知条件中出现一组对边 求证：四边形ABCD是平行四边形. 相等时，一般考虑通过证明另一组对边相等或者这组 对边平行：②当已知条件中出现一组对边平行时， 般考虑通过证明另一组对边平行或这组对边相等； ③当已知条件出现一组对角相等，可选择证明另一组 对角相等；④当已知条件中出现对角线，且可以得到 一条对角线的中点时，一般考虑证明该点也是另一条 对角线的中点. 01分类突破 类型二已知一组对边平行 类型一已知一组对边相等 4.如图，在□ABCD中，点E在AD上，连结 1.如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是 垂足，DE=BF BE,DF∥BE交BC于点F,AF与BE相交 于点M,CE与DF交于点N. 求证：四边形ABCD是平行四边形， (1)求证：DE=BF: (2)求证：四边形MFNE为平行四边. 2.如图，△ABC是等边三角形，点D,F分别在 线段BC,AB上，∠EFB=60°，EF=DC 求证：四边形EFCD是平行四边形 69八年极教学·下册·HS 类型三已知条件与对角线有关 02素养提升 5.如图，D是BC的中点，BE⊥AD,CF⊥AD, 7.如图，在□ABCD中，点E,F分别在边BC, 垂足分别为E,F,连结BF,CE.求证：四边形 AD上，AF=CE. BECF是平行四边形. (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件， 使四边形ABEF是平行四边形，并说明 理由. 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,P是BC中点，连结AP交 6.如图，在□ABCD中，过AC中点O的直线分 BD于点E,点F在AP延长线上，且AE= 别交CB、AD的延长线于点E、F,连结CF、 EF,连结CE,CF,BF. AE,求证：四边形AECF为平行四边形 (1)求证：四边形CFBE是平行四边形； (2)若CE⊥BD,AC=8,BD=6,求CE的长. 请完成进阶测评五 助学助教优质高数70∠DEO=∠BFO ∠EDO=∠FBO,,.△DEO≌△BFO(AAS).,∴.DE=BF.'四边形AB DO-BO. CD是平行四边形，.AD=BC,.AD-DE=BC-BF,.AE=CF.8.(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB.∴.MC∥AN.:AM BD,CN⊥BD,∴AM∥CN.∴.四边形CMAN是平行四边形；(2)解：，四边 形CMAN是平行四边形，∴.CM=AN.,四边形ABCD是平行四边形， DC=AB,DC∥AB..DM=BN,∠MDE=∠NBF.在△MDE和△NBF MDE=NBF, 中，∠DEM=∠BFN=90°，∴.△MDE≌△NBF(AAS).∴.DE=BF=4. DM=BN. .∠BFV=90°，.BN2=BF2+NF2=4+32=25.∴.BN =5.9.证明：连结AC交BD于点O.四边形ABCD 是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,AB=CD,AB∥CD. .∠ABM=∠CDN.,AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEB= ∠CFD=90°.∴.∠ABM+∠BAE=90°，∠CDN+∠DCF =90°..∠BAE=∠DCF.:AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分 ∠BAM=∠DCN, 线，∴.∠BAM=∠DCN,在△ABM和△CDN中，AB=CD, ∠ABM=∠CDN, ∴.△ABM≌△CDN(ASA)..BM=DN.∴.OM=ON.又OA=OC,∴.四边 形AMCN是平行四边形.10.解：1)6-，(2)在口ABCD中，AD/BC CD=AB=3,∴.∠DPC=∠BCP.CP平分∠BCD,∴.∠BCP=∠DCP. ∠DPC=∠DCP.DP=DC=3.6-=3.t=6;(3):以P,D.Q, B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD,∴.PD=BQ.当点Q没有到达点 B时，6-=6-2,1=0（不合题意含去）当点Q到达点B后，返回时， 6-=2-6.∴：=酷：当点Q到达点C后返回时6-号=3×6-2 1=8:当点Q第二次到达点B后，6-4=21一6X3.1想综上所述：d 的值为号或8或 第4课时三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行 -半DE∥BC.DE=号BC 基础练 1.C2.D3.94.25.66.B7.B8.证明：D,E,F分别是△ABC 的边AB,BC,AC的中点EF∥AB,EF=AB,AD=专AB.EF业 AD.∴.四边形ADEF是平行四边形.9.A10.120° 11.证明：连结ME,MF,NE,NF.E,M分别是AD,BD 的中点ME/AB,ME=号AB.同理可得FN/AB,FN =?AB,ME∥FN,ME=FN.“四边形EMFN是平行 四边形..EF与MN互相平分.12.(1)证明：连结BD,取BD的中点O, 连结OE,Or.在△ABD中，E,O分别是AD,BD的中点∴OE=号AB,OE ∥AB.∴∠OEF=∠BMR.同理可证：OF=CD,∠OFN=∠CNF .∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF.∴.OE=OF.∴.AB=CD.(2)2.5 微专题三构造三角形的中位线巧解题 1.6.52.613.D 方法技巧专题（四）平行四边形判定方法的选择 1.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠DEC=∠AFB=90°.在Rt△DEC和Rt △BFA中，SP=AR,R△DEC≌Rt△BFA(H.∠DCA=∠BAC 19 .AB∥CD.又AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形， 2.证明：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60°.：∠EFB=60°，∴.∠ABC =∠EFB...EF∥DC.EF=DC,.四边形EFCD是平行四边形 3.证明：DE∥BF,∴∠DEC=∠AFB.∴∠AED=∠BFC.又AE=CF ∠ADE=∠CBF,∴.△ADE≌△CBF.∴AD=BC.又AB=CD,∴.四边形 ABCD是平行四边形.4.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.AD ∥BC.,DF∥BE,.四边形BEDF是平行四边形..DE=BF;(2),四边 形ABCD是平行四边形，，，AD=BC,AD∥BC.DE=BF,.AD一DE= BC-BF,即AE=CF.又AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.∴.AF∥ CE.又BE∥DF,.四边形MENF是平行四边形.5.证明：，BE⊥AD, CF⊥AD,∴·∠BED=∠CFD.,D为边BC的中点，.CD=BD.在△BED ∠BED=∠CFD, 和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)..DE=DF.又 BD-CD. ,BD=CD,∴.四边形BECF是平行四边形.6.证明：，四边形ABCD是 平行四边形，∴.OC=OA,BC∥AD..∠CEO=∠AFO.又∠COE=∠AOF, .△CEO≌△AFO.∴.OE=OF.又OA=OC,∴.四边形AECF为平行四边 形.7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AD=BC ∠B=∠D..AF=CE,.AD-AF=BC-CE.∴.DF=BE..∴.△ABE≌ △CDF(SAS).(2)解：添加BE=CE,理由如下：'AF=CE,BE=CE,∴.AF =BE.,四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC.∴.四边形ABEF是平行 四边形.8.(1)证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,.OA=OC.AE=EF,.OE∥CF,OE=2CF.·∠EBC=∠FCB, ∠BEF=∠CFE.P是BC中点，BP=CP.△PBE≌△PCF(AAS). ∴.PE=PF.又BP=CP,∴.四边形CFBE是平行四边形.(2)由(1)知四边 形CFBE是平行四边形，OE=CR,∴BE=CF,OE=号BE.:口ABCD, ∴0B=2BD=3.0C-2AC=4.0E=3OB=3×3=1.:CELBD. ∴.∠CEO=90°.∴.CE=√OC+OE=√42-1F=V/15 数学活动（三）图形的等分 解：活动1：设平行四边形对角线交于O,过O作直线KT,如 图：则直线KT平分平行四边形的面积；活动2：通过平分平 行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平 分这个中心对称图形的面积； O12345x 图7 图8 图9 答案不唯一，过圆心作直线MV,如图：则直线MN平分图7的面积；活动3： 设两个正方形的对角线交点分别为P,Q,作直线PQ,如图8：则直线PQ平 分整个图形的面积；活动4：如图9：·S△s=S△o,∴.直线OA恰好将6个 正方形分成面积相等的两部分；设直线OA的表达式为y=kx,将(5,2)代 入，得2=5k.解得=2」 心该直线的表达式为y=2 第17章核心素养专练 1.A2.B3.C4.(1)证明：在□ABCD中，AB=CD,AB∥CD, (AB-CD. ∴.∠BAF=∠DCE.在△ABF和△CDE中，{∠BAF=∠DCE, AF-CE. ∴.△ABF≌△CDE(SAS)...BF=DE,∠DEF=∠BFA..ED∥BF..四 边形BEDF是平行四边形：(2)解：，四边形BEDF是平行四边形，.BE DF.'AB=DC=DF,∴.AB=BE.∴.∠BAE=∠BAC=80°..∠ABE 180°-2×80°=20.AB=AF,∠ABF=∠AFB=号180°-80=50. ∴.∠EBF=∠ABF-∠ABE=50°-20°=30°.5.解：分两种情况：①当点 F在线段BM上.即0≤≤2，AE=FM时，则有=4-2，解得1=专：②当点F 20