精品解析：广东惠州市博罗县2025-2026学年下学期供题训练八年级数学试卷

2025－2026学年春季学期“供题训练” 八年级数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 的被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B. 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，本选项符合题意； C. ，9是能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D. ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可； 【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数， ， 移项得， 两边同除以得． 3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，本选项运算错误，不符合题意； B、，本选项运算错误，不符合题意； C、 ，运算正确，符合题意； D、，本选项运算错误，不符合题意． 5. 如图，将平行四边形的边延长，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可． 【详解】的对角线，相交于点， ，点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 7. 在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断定理是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意； 、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 故选：． 8. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4， 又∵DE是中位线， ∴DE=BC=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理． 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 10. 如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】圆柱的展开图如图： 根据题意：，，， ， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：_________． 【答案】14 【解析】 【分析】观察原式结构，符合平方差公式的形式，可利用平方差公式化简计算； 【详解】 ． 12. 如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是____． 【答案】24 【解析】 【详解】试题解析：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8， ∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24． 考点：菱形的性质． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 15. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，，，进行计算即可． 【详解】解：原式 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD,再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形,由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形,则该矩形的对角线相等,即AD=OE. 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，OD=BD=4， ∴∠AOD=90°， ∴AD===5． ∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∴四边形AODE是矩形， ∴OE=AD=5． 点睛：本题考查了矩形的判定及性质，及菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握平行菱形的性质和矩形的判定方法是解题的关键． 18. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以简算的关键． （1）先计算、和的值，将原式分解因式，再整体代入计算即可； （2）将原式分解因式，再将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ，， ∴； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ； 【小问2详解】 解：∵在中，， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：． 20. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】（1） （2）着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； 【小问2详解】 解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 21. 阅读与思考： 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 红山文化遗址中出土了大量形状各异的精美玉器，图1是类似三角形的玉璧． 为了计算这个三角形玉璧的面积（中间的圆孔忽略不计），我们小组建构了如图2所示的“玉璧模型”，经测量，三边的长度分别为，，，同学们通过观察、猜想、实验等方法，进行如下探究活动： 活动一：如果的三边长分别为a，b，c，设p为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 活动二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积，具体解答过程如下： 解：过点A作于点D， 则， 设，则， …… 任务： （1）按“活动一”求的面积； （2）补全“活动二”的解答过程． 【答案】（1）平方厘米 （2）见解析 【解析】 【分析】题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于的方程． （1）按照甲同学的思路，先求出的值，然后再代入数据求出的面积即可； （2）按照乙同学的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵（厘米），（厘米），（厘米）， （厘米）， （平方厘米）； 【小问2详解】 解：过点作于点， 设厘米，则厘米， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， （厘米）， （平方厘米）． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． （1）【已有认识】既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． 【拓展运用】如图2，点、点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴中点表示的数是 ．（直接写出答案） （2）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的，其中，，，并求出的面积，以及点到边的距离． （3）【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中、两点的距离，显然是转化为求△的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：， 所以， 所以由勾股定理可得，． 【拓展运用】①在图5中，设，轴，轴，于点，则_________，_________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，（直接写出答案） ②图4中，平面直角坐标系中有两点，为轴上任一点，则的最小值为________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）图见解析，的面积为2；点到边的距离为； （3）①，；②；③ 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）利用勾股定理以及实数与数轴的关系即可求解； （2）利用勾股定理结合网格的特点作出，再利用割补法求解即可； （3）①根据图形直接写出即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； ③根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴数轴中点表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， 如图所示， 的面积为， 点到边的距离为； 【小问3详解】 解：①∵，轴，轴，于点，则，，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，； 故答案为：，； ②作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ∵， ∴， ∵， ， 即的最小值为； 故答案为：； ③， 故原式表示点到和的距离之和． 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． 利用公式，原式． 故答案为：． 23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】(1)由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； (2)由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； (3)当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【详解】(1)解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即； (2)四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； (3)四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平行线的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年春季学期“供题训练” 八年级数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将平行四边形的边延长，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 20 7. 在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 10. 如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：_________． 12. 如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是____． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 15. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长． 18. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 20. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 21. 阅读与思考： 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 红山文化遗址中出土了大量形状各异的精美玉器，图1是类似三角形的玉璧． 为了计算这个三角形玉璧的面积（中间的圆孔忽略不计），我们小组建构了如图2所示的“玉璧模型”，经测量，三边的长度分别为，，，同学们通过观察、猜想、实验等方法，进行如下探究活动： 活动一：如果的三边长分别为a，b，c，设p为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 活动二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积，具体解答过程如下： 解：过点A作于点D， 则， 设，则， …… 任务： （1）按“活动一”求的面积； （2）补全“活动二”的解答过程． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． （1）【已有认识】既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． 【拓展运用】如图2，点、点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴中点表示的数是 ．（直接写出答案） （2）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的，其中，，，并求出的面积，以及点到边的距离． （3）【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中、两点的距离，显然是转化为求△的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：， 所以， 所以由勾股定理可得，． 【拓展运用】①在图5中，设，轴，轴，于点，则_________，_________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，（直接写出答案） ②图4中，平面直角坐标系中有两点，为轴上任一点，则的最小值为________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________．（直接写出答案） 23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $