精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2025年春季学期八年级教学质量阶段性诊断 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式应满足两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数是分数，故不是最简二次根式； B．满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式； C．的被开方数是分数，故不是最简二次根式； D．的被开方数含有能开尽方的因数，故不是最简二次根式． 故选：B 2. 下列选项中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】A．，不是的正比例函数，故A不符合题意； B．，是的正比例函数，故B符合题意； C．，不是的正比例函数，故C不符合题意； D．，不是的正比例函数，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如（是常数，）的函数叫做正比例函数． 3. 如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∵阴影部分是一个正方形， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 4. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B ． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A： 二次根式相加时，不能直接合并．无法化简为，故错误． 选项B： 根据二次根式除法法则，，或化简，则，故正确． 选项C： 平方与根号抵消，，故错误． 选项D： 平方运算结果非负，，故错误． 故选B． 6. 如图，是的中位线，若，，，则的周长是（ ） A. 15 B. 30 C. 24 D. 7.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质计算即可； 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， 又∵，， ∴的周长； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键是准确计算． 7. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，它们的和为0；直接利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：C 8. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的有（ ） ①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时，邻边相等，即平行四边形是菱形，①结论正确； 当时，对角线垂直，即平行四边形是菱形，②结论正确； 当时，有一个角是直角，即平行四边形是矩形，③结论正确； 当时，对角线相等，即平行四边形是矩形，④结论错误； 结论中正确的是①②③，共3个， 故选：C． 9. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质．解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据正方形的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式计算即可． 【详解】解：二次根式有意义，则， ∴． 故答案为：． 12. 直线经过第______象限，随增大而______． 【答案】 ①. 一、三 ②. 增大 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象与性质，根据正比例函数图象与系数的关系即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴直线经过第一、三象限，随增大而增大， 故答案为：一、三，增大． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据原点坐标为，以及点，结合勾股定理列式，即可作答． 【详解】解：∵原点坐标为，点， ∴， ∴点到原点的距离为5， 故答案为：5． 14. 如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于_______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：90． 15. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，可得直线是线段的垂直平分线，则，根据的周长为，平行四边形的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴即， ∵平行四边形的周长为， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算： （1）； （2）已知：，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式加减运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则，准确计算是解题的关键． （）根据有理数乘方，立方根定义，算术平方根定义进行计算即可； （）先由可得，然后两边平方即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 17. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点在中，，，，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用： （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，，，， ∴在中，， ∴是直角三角形，， ∴ ． 18. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【解析】 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，已知． （1）求：、的长． （2）求：平行四边形的面积． 【答案】（1）OB=3，OA=；（2）48 【解析】 【分析】（1）根据，利用勾股定理的逆定理证得BD⊥AD，根据平行四边形的对角线互相平分即可求出，再利用勾股定理求出的长； （2）利用平行四边形的面积公式底乘以高求出面积． 【详解】∵， ∴, ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90， ∵四边形是平行四边形，与相交于点， ∴OB=OD=BD=3， ∴； （2）平行四边形的面积=. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，平行四边形的性质，利用勾股定理的逆定理求出∠ADB=90是解题的关键，由此利用勾股定理求出OA的长及平行四边形的面积． 20. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 21. 如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，，，，四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：） （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）雕塑的高为． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用平行四边形的判定可得四边形为平行四边形； （）过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可得，从而可求出的长，然后在中，利用角所对直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长， 即可解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， 答：雕塑的高为． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化． （1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ， 原式． 23. 如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： （1）AD＝______cm，BC＝______cm． （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1）6，8 （2）当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形 （3）当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负即可求出a，则b可求，问题得解； （2）根据题意可知AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm，则BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，根据，∠B=90°，可得四边形PQBA是矩形，依据AP＝BQ时列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，可得，再求出Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒，即根据题意可知AP＝0.5tcm，AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ，据此列方程．由于Q点在BC间往复运动，Q点走完6cm的距离所需时间为3秒，即以3秒为一个阶段分情况讨论：①当0＜t≤3时，②当3＜t≤6时，③当6＜t≤9时，④当9＜t≤12时，以上四种情况，均根据PD＝BQ，列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴， ∴a＝6，b＝8， ∴AD＝6cm，BC＝8cm， 故答案为：6，8； 【小问2详解】 解：根据题意可知：AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm， ∴BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm， 当AP＝BQ时，根据可知，四边形ABQP是平行四边形， 又∵∠B=90°， ∴四边形PQBA是矩形， ∴根据AP＝BQ，有0.5x＝8﹣2x， 解得x＝3.2， 答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形； 【小问3详解】 解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm， ∴时间， ∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm， ∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm， ∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒， 根据题意可知：AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm， ∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm， 当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ， ①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0（不符合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（2t﹣18）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得t＝9.6． 综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，一元一次方程在几何中的应用等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期八年级教学质量阶段性诊断 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为（ ） A. 10 B. 24 C. 48 D. 100 4. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 6，8，10 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中位线，若，，，则的周长是（ ） A. 15 B. 30 C. 24 D. 7.5 7. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的有（ ） ①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 10. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（ ） A. B. C. 5 D. 7 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 直线经过第______象限，随增大而______． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为___________． 14. 如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于_______． 15. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算： （1）； （2）已知：，求的值． 17. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点在中，，，，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 18. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，已知． （1）求：、的长． （2）求：平行四边形的面积． 20. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，，，，四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：） （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知，求的值． 23. 如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： （1）AD＝______cm，BC＝______cm． （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $