精品解析：湖北省荆门市沙洋县实中教联体2025-2026学年九年级下学期期中检测（中考模拟）数学试卷

九年级数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. x2•x3＝x5 B. x2+3x2＝4x4 C. x8÷x2＝x4 D. （3x2y）2＝6x4y2 4. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，为的直径，弦，的延长线交于圆外一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E为边的中点，连接， 沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 10. 抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为， ； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知实数a，b，满足， ，则的值为______． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 13. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 15. 如图，在中，，平分，E 是线段上一点，F 为的中点，满足，若，则 ___________ 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 已知：如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°． 求证：CO＝DO． 18. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 19. 中国迎来智慧农田时代，某地计划购进一批无人机给稻田喷洒农药．为了解某公司A，B两款无人机在一次充满电后飞行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们飞行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述与分析（飞行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等 ，优等 ，下面给出了部分信息． a．10架A款无人机一次充满电后飞行的最长时间分别是：15，16，16，21，21，24，26，27，27，27． b．10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间扇形统计图如图． 注：10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等组的数据分别是：20，21，23，23，23． c．两款无人机一次充满电后飞行的最长时间数据分析如下表． 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 22 22.5 m 21.8 B 23 n 23 6.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，__________，____________，____________． （2）根据以上数据，若仅从飞行时间上考虑，你认为哪款无人机的飞行性能更好？请说明理由．（从两方面进行分析） （3）若该公司仓库有A款无人机120架，B款无人机200架，估计两款无人机一次充满电后飞行的最长时间大于20min的共有多少架？ 20. 如图，是的外接圆，，连接，过点B作交的延长线于点D． （1）求证：直线是的切线． （2）若的半径为2，，求的长． 21. 在如图1所示的数表中，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是9． （1） ________； （2）若 ，则________，________； （3）用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a，b，c，d． ①d所表示的数为________（用含a的代数式表示）； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 22. 元旦联欢会上，小宇设计了一项抛掷乒乓球的游戏．如图1，向斜坡抛掷一个乒乓球，乒乓球从斜坡弹起，第一次落地后再一次弹起，第二次又落在地面上，如果把乒乓球看成点，乒乓球两次的飞行路线都可以近似看成某条抛物线的一部分． 如图2，小宇以斜坡底端为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记弹起点为A，两次落地点分别为B，C，乒乓球飞行过程中距斜坡底端O的水平距离为 ，距地面的竖直高度为 ．如果乒乓球的弹起点为，第一次弹起时的最高点为，请帮助小宇求解下列问题： （1）求乒乓球第一次飞行路线对应的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离； （3）若乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，且第二次落地点C距离第一次落地点B的水平距离是，如果规定乒乓球第二次弹起时达到的最高点距地面的竖直高度超过 ，则挑战成功，否则挑战失败，判断此次游戏小宇是否挑战成功，并说明理由． 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中， ，折叠纸片使点A落在点处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展开，连接． 【问题解决】 （1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长． （2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点C的对应点落在对角线上，并使折痕经过点D，得到折痕，当点也落在对角线上时： ①试判断四边形 的形状，并说明理由： ②求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图（4），当点P为线段的中点时，延长交于点E，连接，请直接写出 与的数量关系和线段的长． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，当时，求的值； （3）设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由相反数的定义：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，可知，2026的相反数是． 【详解】解：∵绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是． 故选：B． 2. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图， 判断这个几何体的俯视图即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. x2•x3＝x5 B. x2+3x2＝4x4 C. x8÷x2＝x4 D. （3x2y）2＝6x4y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除运算、积的乘方运算法则进行计算即可. 【详解】A、x2•x3＝x5，正确； B、x2+3x2＝4x2，故此选项错误； C、x8÷x2＝x6，故此选项错误； D、（3x2y）2＝9x4y2，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，求出 ，，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ， ． 6. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键． 把 点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把 、坐标代入一次函数解析式可求得、，进一步求得的值． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， ∴， ， ， 、在一次函数图象上， ，解得， ． 故选：A． 7. 如图，为的直径，弦，的延长线交于圆外一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质即可得出，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵为的直径， ∴ ∴ 8. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 9. 如图，在矩形中，点E为边的中点，连接 ， 沿 折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作 于点G，由线段中点得 ，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在 中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作 于点G， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∵点E是的中点， ∴ ， 根据折叠可得，， ∴ ， ∵ ， ∴， 在 中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 10. 抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为， ； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数 ，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系判断①，由抛物线对称轴及二次函数性质判定②，根据抛物线平移特征判断③，根据平移特征和抛物线性质判定④． 【详解】解：①抛物线，，为常数，经过，两点， 一元二次方程的根为：， ，则结论①正确； ②抛物线的对称轴为直线 ， 当时的函数值与的函数值相等， ， 当，随的增大而减小， ， ，②结论错误； ③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且， 将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为： ，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立， 对于任意实数 总有，即，③正确； ④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程， 若方程的根为整数，则其根只能是，或 ，或，对应的值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知实数a，b，满足， ，则的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得：，所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键. 13. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率 所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为： 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 15. 如图，在中，，平分，E 是线段上一点，F 为的中点，满足，若，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，延长交于，过作 于，作 于 ，作于，证明是的内心，，设， ，设，证明四边形正方形，，可得 ，，证明，可得，结合，可得，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于，过作 于，作 于 ，作于J， ∴， ∵，， ∴平分，四边形是矩形， ∵平分， ∴平分， ∴是的内心，， ∴设， ，设， ∴四边形正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得；． 17. 已知：如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°． 求证：CO＝DO． 【答案】证明：∵∠C=∠D=90°， ∴△ACB和△ADB为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴∠ABC=∠BAD， ∴OA=OB， ∵AD=BC， ∴AD−OA=BC−OB， 即OD=OC. 【解析】 【分析】利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA，得到∠ABC=∠BAD，所以OA=OB，又由AD=BC，所以AD-OA=BC-OB，即OD=OC． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定（HL）与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（HL）与性质. 18. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点 处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点 的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点 ，在同一水平线上， ．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔 的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为 （2）慈氏塔 的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设 为 ，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设 为，则， ， 在中，， 解得 ， 答：慈氏塔 的高度约为 ． 19. 中国迎来智慧农田时代，某地计划购进一批无人机给稻田喷洒农药．为了解某公司A，B两款无人机在一次充满电后飞行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们飞行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述与分析（飞行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等 ，优等 ，下面给出了部分信息． a．10架A款无人机一次充满电后飞行的最长时间分别是：15，16，16，21，21，24，26，27，27，27． b．10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间扇形统计图如图． 注：10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等组的数据分别是：20，21，23，23，23． c．两款无人机一次充满电后飞行的最长时间数据分析如下表． 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 22 22.5 m 21.8 B 23 n 23 6.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，__________，____________，____________． （2）根据以上数据，若仅从飞行时间上考虑，你认为哪款无人机的飞行性能更好？请说明理由．（从两方面进行分析） （3）若该公司仓库有A款无人机120架，B款无人机200架，估计两款无人机一次充满电后飞行的最长时间大于20min的共有多少架？ 【答案】（1）10，27，23 （2） B款无人机的飞行性能更好． 理由如下： B款无人机一次充满电后飞行的最长时间的平均数大于A款无人机，且B款无人机一次充满电后飞行的最长时间的方差较小，更稳定，故B款无人机的飞行性能更好． （3）估计两款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等及以上的共有244架 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、方差的定义，用样本估计总体： （1）根据众数的定义可得m的值，根据中位数的定义可得n的值，用“1”减去其他部分所占百分比可得p的值； （2）可比较中位数，众数与方差得出结论； （3）利用样本中时长大于20min所占百分比估计总体即可． 【小问1详解】 解：B款中中等的有5架，所占百分比为， ，即； A款无人机一次充满电后飞行的最长时间中，出现次数最多的是27， ； 把B款无人机一次充满电后飞行的最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是23和23， 中位数， 故答案为：10，27，23． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（架）． 答：估计两款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等及以上的共有244架． 20. 如图，是的外接圆，，连接，过点B作交的延长线于点D． （1）求证：直线是的切线． （2）若的半径为2，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，由圆周角定理可得，则 ，从而推出，即可证明结论； （2）过点作于点，可得 是等腰直角三角形，进而得到，再利用勾股定理求出，，即可求出 的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又 是半径， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则 ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 的半径为2， ， 在中，， 在中，， ． 21. 在如图1所示的数表中，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是9． （1） ________； （2）若 ，则________，________； （3）用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a，b，c，d． ①d所表示的数为________（用含a的代数式表示）； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）23 （2）10，1 （3）① ； ②不能，理由如下： 由①得 ， 则 ， 解得 ， ∵ ，则 是第行第个数，则第行最后一个数， ∴T字形框中的四个数之和不能等于226． 【解析】 【分析】（1）根据表示第m行第n个数，即可解答； （2）根据规律可得是第行第 个数，可得到m、n的值； （3）①根据规律可得每一行，从左到右依次增加 ，每一列，从上到下依次增加，即可解答；②由①得 ，然后求解即可说明理由． 【小问1详解】 解：根据题意， ； 【小问2详解】 解：由表格可得发现规律：每一行6个数，每一行，从左到右依次增加 ， ∵ ， ∴是第行第 个数， ∴，； 【小问3详解】 解：①由表格可得每一行，从左到右依次增加 ，每一列，从上到下依次增加， 则 ， ∴ ； ②略 22. 元旦联欢会上，小宇设计了一项抛掷乒乓球的游戏．如图1，向斜坡抛掷一个乒乓球，乒乓球从斜坡弹起，第一次落地后再一次弹起，第二次又落在地面上，如果把乒乓球看成点，乒乓球两次的飞行路线都可以近似看成某条抛物线的一部分． 如图2，小宇以斜坡底端为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记弹起点为A，两次落地点分别为B，C，乒乓球飞行过程中距斜坡底端O的水平距离为 ，距地面的竖直高度为 ．如果乒乓球的弹起点为，第一次弹起时的最高点为，请帮助小宇求解下列问题： （1）求乒乓球第一次飞行路线对应的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离； （3）若乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，且第二次落地点C距离第一次落地点B的水平距离是，如果规定乒乓球第二次弹起时达到的最高点距地面的竖直高度超过 ，则挑战成功，否则挑战失败，判断此次游戏小宇是否挑战成功，并说明理由． 【答案】（1） （2）乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离为 （3） 小宇挑战成功． 理由：∵点C距离点B的水平距离是，点B坐标为， ∴点C坐标为， ∴乒乓球第二次飞行路线的对称轴为：直线， ∵乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同， ∴设抛物线的解析式为：， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴小宇挑战成功． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）用顶点式表示出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入可得二次项系数； （2）取（1）中得到的抛物线的解析式中的y等于0，求得合适的x的值即可求得乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离； （3）判断出新的抛物线的二次项系数和对称轴，设出函数解析式，进而把点B的坐标代入可得抛物线顶点的纵坐标，与1比较即可判断小宇是否挑战成功． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 解得：（不合题意，舍去）． ∴点B坐标为， ∴． 答：乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离为； 【小问3详解】 略 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中， ，折叠纸片使点A落在点处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展开，连接． 【问题解决】 （1）如图（2），连接 ，在折叠过程中，当点恰好落在线段 上时，求线段的长． （2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点C的对应点落在对角线上，并使折痕经过点D，得到折痕，当点也落在对角线上时： ①试判断四边形 的形状，并说明理由： ②求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图（4），当点P为线段的中点时，延长交于点E，连接，请直接写出 与 的数量关系和线段的长． 【答案】（1）2 （2）①四边形 是平行四边形；理由见解析；② （3） 与 的数量关系为，线段的长为 【解析】 【分析】（1）先证明，然后在直角三角形中，由勾股定理求解，即可求解； （2）①先证明，则 ，再由证明即可； ②先由勾股定理求解，然后证明即可； （3）由折叠以及已知条件可得，则，而，故，即可得到；连接交于点F，可得是的中位线，则，然后再证明即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， 折叠 ，， ，， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ． 【小问2详解】 解：①四边形 是平行四边形；理由如下： ∵四边形是矩形， ， ，， ， 由折叠的性质可知，， ，，， ，， ， 在和中， ，， ∴ 又， 四边形 是平行四边形； ②在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 又， ， ∴， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解： 与 的数量关系为，线段的长为；理由如下： ∵点P是的中点， ，由折叠的性质可知，， ∴， ， ∵， ∴， ， 在 中，由勾股定理得，， 如图，连接交于点F，则由对称可得， ， ∵点P是的中点， 是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为 ． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接 ，当时，求 的值； （3）设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于 的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①S关于t的函数解析式为；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令 ，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作 于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即 ，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作 于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即 ，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当 时，S有最大值为16， ∴． 当 时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $