精品解析：江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

南昌市外国语学校2025—2026学年下学期 高二数学期中考试卷 一、单选题 1. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. 10 C. 19 D. 38 4. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列 B. 常数列既成等差数列又成等比数列 C. “”是“成等比数列”的必要不充分条件 D. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 6. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. －3 8. 已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为0 D. 是偶函数 10. 数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 可能为常数列 B. 数列可能为公差不为0的等差数列 C. 若，则 D. 若，则的最大项为 11. 丹麦数学家琴生（Jensen）在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，则称函数在上为＂上凸函数＂．设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”．下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为“上凸函数” B. 函数在上为“上凸函数” C. 在中， D. 已知函数在上为“上凸函数”，则实数的取值范围是 三、填空题 12. 若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围为__________. 13. 设数列满足，则的前2026项和为_________ 14. 实数，满足，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的值域． 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求与； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知函数，且不是的极值点. （1）求a的值； （2）判断的零点个数. 18. 已知函数. （1）证明：当时，. （2）设，令. （ⅰ）讨论的单调性. （ⅱ）若存在两个极值点，（），证明：. 19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题： （1）若，求数列的项数； （2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合； （3）对任意的数列，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025—2026学年下学期 高二数学期中考试卷 一、单选题 1. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，巧用“1”化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 2. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集元素 (1,3) 同时属于集合 和 ，将其代入两个集合对应的方程，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、 的值. 【详解】由题可得，解得，所以. 故选：B. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. 10 C. 19 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以． 故选：C． 4. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列 B. 常数列既成等差数列又成等比数列 C. “”是“成等比数列”的必要不充分条件 D. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，通过举反例可判断选项正误；对于CD，由等比数列概念结合必要，充分条件概念可判断选项正误. 【详解】对于A，考虑数列，其中，则当为偶数时， ，此时，不是等比数列，故A错误； 对于B，考虑数列，其中，则仅是等差数列，不是等比数列，故B错误； 对于C，当成等比数列，则；当，取 ， 则不成等比数列，则“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，时，若，则为递减数列；若为递增数列，则， ，则“”是“为递增数列”的即不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 6. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的实数根，与极值点的关系，即可结合必要充分条件的定义求解. 【详解】当时，由于，令，则或者， 当时，即，此时在恒成立， 此时的定义域单调递增，此时无零点，故充分性不成立， 若恰有两个极值点，则在上有两个不相等的实数根， 则，，且时，解得且，故必要性成立， 故选：B 7. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数得其单调性，进而得出极值点，是方程的两根，再利用韦达定理以及等比数列的性质、等比数列中奇数项的符号相同求出. 【详解】已知，得， 因，则存在两根， 不妨设，则由得，或；得，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为函数的极大值点和极小值点， 又，是函数的极值点，所以，是方程的两个根， 所以，，所以，则， 由，且，可知，， 在等比数列中，奇数项的符号相同，所以，因此． 故选：D 8. 已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论. 【详解】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为0 D. 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对函数求导，即可得出结论. 【详解】由题意，， 在中，， ∴当时，， ∴曲线在点处切线的斜率为，C正确； A项，当时，， 故在单调递增，A正确； B项，当时，， 当时，，所以只有0一个零点，B错误； D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误. 故选：AC. 10. 数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 可能为常数列 B. 数列可能为公差不为0的等差数列 C. 若，则 D. 若，则的最大项为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，确定方程的解判断A；利用等差数列定义计算判断BCD. 【详解】对于A，令，由，可得，解得，A正确； 对于B，若数列为公差不为0的等差数列，由，得， 则不会是非零常数，B错误； 对于C，， 因此数列是首项为1，公差为的等差数列， 则，C错误； 对于D，，则，即， 当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D正确. 故选：AD 11. 丹麦数学家琴生（Jensen）在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，则称函数在上为＂上凸函数＂．设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”．下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为“上凸函数” B. 函数在上为“上凸函数” C. 在中， D. 已知函数在上为“上凸函数”，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数新定义结合导函数的正负得出函数单调性计算判断各个选项即可. 【详解】对于A项，在上恒成立，在上不成立，故在上不是“上凸函数”，A项错误； 对于B项，的导函数，，当时，， 所以，所以函数在上为“上凸函数”，B项正确； 对于C项，对于函数，在上恒成立， 所以在上为“上凸函数”，又为的内角， 所以，即，C项正确； 对于D项，函数，求导得，， 依题意，恒成立， 又函数在上单调递增，所以，则，所以实数的取值范围是，D项正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在内单调递增，转为化在上恒成立，即可由二次函数的性质求解. 【详解】函数在内单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 所以，即， 故答案为： 13. 设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 14. 实数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，构造函数得到，然后转化为单变量问题，求导判断单调性即可. 【详解】，，即， 设，则，且， 当时，所以在上单调递增， 正实数，，，即， 所以，等价于， 即，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 则， 令，则，即在上单调递增， 所以，所以，即的最小值为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）应用导数研究函数在区间上的单调性，进而求其值域. 【小问1详解】 因为，所以， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为， 所以当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为， 所以， 则，则， 所以在区间上的值域为． 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求与； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质以及通项公式求解即可. （2）根据（1）求出，再根据裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 则，解得，. 进而，. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以. 17. 已知函数，且不是的极值点. （1）求a的值； （2）判断的零点个数. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）求导得到，由不是的极值点，得到必须有两个正根，且为其中一个，即可求解； （2）令，由（1）得到方程的两根为，通过， ，，判断函数单调性，确定最值，结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 ， 因为不是的极值点， 所以方程还有其它正根（变号零点）， 则必须大于0， 若曲线在只有一个公共点， 则相切，不符合题意， 所以此时必须有两个正根，且为其中一个， 即 所以； 【小问2详解】 由（1）可得：， 设， 则方程的两根为，其中， 当时，，所以，即，在单调递减， 当时，，所以，即，在单调递增， 当时，，所以，即，在单调递增， 所以 因为即， 所以 ， 且时，， 时， 所以在上各有一个零点， 所以在上有且仅有2个零点. 18. 已知函数. （1）证明：当时，. （2）设，令. （ⅰ）讨论的单调性. （ⅱ）若存在两个极值点，（），证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当，，通过分析函数单调性，求得即可得证. （2）（1）求导，再分和两种情况讨论求解. （ⅱ）根据存在两个极值点和，则的两个极值点满足，化简转化为，令，用导数证明即可. 【小问1详解】 在定义域内是增函数 ∴当时， 要证，只需证 设（） ∴ ∵在上单调递增且 ∴在上单调递减，在上单调递增 ∴ 故时，. 【小问2详解】 （ⅰ） 当时，.定义域为 ∴ ①当时，在上恒成立（当且仅当，时取等号） ∴恒成立，故在上单调递减. ②当时，令，则有两不等正实根 当时， 当时， ∴在和上单调递减，在上单调递增. （ⅱ）若存在两个极值点，由（ⅰ）知. ∵的两个极值点、为方程的两根. ∴，，∴， 要证等价于证明. 设（） ∴ ∴在上单调递增 ∴ ∴. 即. 19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题： （1）若，求数列的项数； （2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合； （3）对任意的数列，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1），根据给定条件，逐一计算即可得数列的项数； （2）根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此可得结论； （3）验证当、时，所证不等式成立，当时，推导出，分类讨论①当，②当，利用题中定义进行推理，证明出结论成立即可. 【小问1详解】 因为，根据题意可得，，， ，，，，， 所以数列的项数为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为，则，，（舍）或， 当时，，或， 当时，则；当时，； 综上所述，的取值集合为. 【小问3详解】 依题意，，， 当时，显然成立；当时，，即也成立； 当时，对任意，， 故，即， ①当时，由，， 所以； ②当时，由，， ，所以. 综上所述，任意的数列，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $