精品解析：江西上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

江西上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 定义在上的函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知数列是等比数列，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的首项为1，是数列的前项和，则下列结论正确的是（） A. B. 数列是等比数列 C. D. 7. 对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2028 D. 8. 已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ） A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ） A. 曲线 B. 曲线 C. 曲线 D. 曲线 10. 某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知对勾函数的图象是双曲线，焦点分别为、，直线与对勾函数的图象交于、两点，且和在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A. 对勾函数的离心率为 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____________． 13. 已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_____________． 14. 在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过原点的切线方程． 16. 已知数列前n项和为，且， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 19. 已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西上饶市横峰县横峰中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的通项公式的意义求解即可. 【详解】因为数列的通项公式为，所以. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，若，则 ，解得： 3. 定义在上的函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 4. 已知数列是等比数列，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【详解】由等比数列的性质知：，， 所以 . 5. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算确定正确答案. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项错误. 6. 已知数列的首项为1，是数列的前项和，则下列结论正确的是（） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由递推式配凑得，判定为等比数列推出通项，再依次代入验证、选项通项式与前项和公式，即可判断各选项正误. 【详解】由，变形得，即，且， 故是首项为，公比为的等比数列，B正确. 由等比数列通项得，即，C错误. 选项A.将代入通项，，A错误. 选项D.前项和 ，由等比数列求和公式得，D错误. 7. 对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2028 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义利用作差法求得，再由等差数列前项和公式计算求解. 【详解】由已知，所以， 所以， 时，， 两式相减得， 所以，也适合，所以是等差数列， 所以 所以. 8. 已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ） A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为，算出后结合前项和为2的整数幂可得的最小值. 【详解】把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为。 则 . 令即，故. 故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素. 设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则， 且前项和，其中，. 下证：当时，总有. 记，则当时，有， 故为单调增数列，而，故即. 所以， 由为2的整数幂，故，从而， 当时，，与矛盾； 当时，，此时， 故选：A. 【点睛】本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式，本题属于难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ） A. 曲线 B. 曲线 C. 曲线 D. 曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义进行逐一判断即可. 【详解】若，则，当时，，故选项A不符合题意； 若，则，当时，，故选项B符合题意； 若，则，当时，，故选项C符合题意； 若，则，当时，，故选项D不符合题意， 故选：BC 10. 某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 11. 已知对勾函数的图象是双曲线，焦点分别为、，直线与对勾函数的图象交于、两点，且和在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A. 对勾函数的离心率为 B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对勾函数的两条渐近线分别为轴和，所以它的对称轴为， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，且， 由双曲线的性质可知，化简可得离心率，故A正确； 对称轴与的交点坐标为和， 所以，因为，关于原点对称， 所以，故B正确； 由图可知，且，所以，故，C错误； 若，则四边形为矩形，所以， 设，故有解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____________． 【答案】1 【解析】 【详解】 ， 所以 . 13. 已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得，则， 此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为. 故答案为：. 14. 在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用累加法结合等比数列求和求出数列的通项公式，再将一元二次不等式因式分解，结合数列的奇偶项单调性，确定不等式对任意恒成立时的取值范围. 【详解】根据题意，， 即，当时，，符合上式， 所以， 因为，整理可得， 所以 当为奇数时，单调递减且，最大值为；当为偶数时，单调递增且，最小值为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过原点的切线方程． 【答案】（1） （2）和． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求曲线的导函数，验证点在曲线上，再计算该点处的导数值得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）设出切点坐标，结合导数的几何意义表示切线斜率，再利用两点间斜率公式表示过原点的切线斜率，联立方程求解切点，进而得到过原点的切线方程. 【小问1详解】 已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. 【小问2详解】 设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 16. 已知数列前n项和为，且， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以当时，， 两式作差得， 又符合上式，故的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 17. 如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，设，可证，由线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值． 【小问1详解】 如图，连接，设， 因为，且，故， 而，故，故， 而平面，平面，故平面. 【小问2详解】 因为，故，故， 而平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 故，又. 设平面的法向量为， 则即，取， 设平面的法向量为， 则即，取， 设二面角的平面角为，由题设可得为锐角， 故. 18. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. 【小问2详解】 ①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 19. 已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程； （2）①直线与圆相切得到，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到即可求证； ②利用结合①可得答案. 【小问1详解】 依题意，解得， ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①∵直线与相切， ∴，即． 联立消去得， 设，则， 所以 ， ∴． ②直线与椭圆交于不同的两点，∴， ∴， 由①知，∴，即， ∴，又，∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $