第五章 二元一次方程组 单元测试卷2025-2026学年北京版七年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，通过基础巩固、实际应用与创新探究的梯度设计，全面考查运算能力、模型意识与推理意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二元一次方程定义、解法正误判断|基础概念辨析，如第3题考查加减消元法| |填空题|8/24|解的表示、简单应用|结合《九章算术》雀燕问题（第15题），渗透文化传承| |解答题|6/52|方程组求解、实际建模、新定义|运输方案设计（第21题）考查模型意识，“美好”方程组（第22题）培养创新思维|

第五章 二元一次方程组 单元测试卷 (时间:40分钟 满分:100分) 一、选择题(共24分，每题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( ) A. xy=1 B. y=3x-1 C. D. x+y+z=1 2.把方程2x-y=3改写成用含x的式子表示y 的形式，正确的是 ( ) A. y=2x-3 B. y=2x+3 C. D. 3.用加减消元法解方程组 时，下列解法错误的是( ) A.①×3-②×2,消去x B.①×2-②×3,消去 y C.①×(-3)+②×2,消去x D.①×2-②×(-3),消去y 4.已知一个二元一次方程组的解是 则这个二元一次方程组可能是 ( ) A. B. C. D. 5.已知方程5m-2n=1,当m与n相等时,m与n 的值分别是( ) A.2,2 B.-3,-3 C.-1,-1 D. 6.三元一次方程组 的解是 ( ) A. B. C. D. 7.对于非零的两个数a,b,规定:a⊕b= am- bn.若3⊕(-5)=15,4⊕(-7)=28,则(-1)⊕2的值为 ( ) A.-13 B.13 C.2 D.-2 8.现有5元和10元的纸币若干张(足够多)，如果要凑成50元，那么有 种方法 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(共24分，每题3分) 9.下列方程组： 其中二元一次方程组是 .(填序号) 10.写出二元一次方程x-y+3=0的一个解： . 11.已知二元一次方程组 则x+y= . 12.已知 是方程3mx-y=1的解,则m的值为 . 13.已知关于x，y的方程组 的解满足x-y=3,则a的值为 . 14.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队14场比赛得到23分，则该队胜了 场. 15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题，大意如下：“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16 两)，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的质量各为多少?”设每只雀有x两，每只燕有 y两，则可列方程组为 . 16.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 . 三、解答题(共52分,第17题8分,第18题6分,第19-20题,每题8分,第 21 题10分,第22题12分) 17.解下列方程组： 18.已知关于 x，y的二元一次方程组 的解为 求a+2b的值. 19.已知关于x，y的方程组 (1)方程x+2y=5中,用含x的式子表示y; (2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值. 20.小明在拼图时，用8个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2 所示的正方形，中间恰好留下一个边长为3c m 的小正方形.请问：他们使用的小长方形的长和宽分别是多少厘米? 学科网（北京）股份有限公司 21.某工厂在甲地购买了一批原材料共120 吨，运往工厂车间进行加工生产.工厂有小、中、大三种车型可供运输使用，每种车的运载量和运费如表(假设每辆车均满载)： 车型 小 中 大 运载量/(吨·辆⁻¹) 5 8 10 运费/(元·辆-1) 400 500 600 (1)若这批物资用小、中两种车型来运送，需运费8200元，则需小、中两种车型的车各几辆? (2)工厂决定用小、中、大三种车型，共15辆车同时运送这批原材料，请写出所有符合条件的用车方案，用车方案中运费最少是多少元?(小、中、大三种车均要参与运送) 22.对于关于x，y的二元一次方程组 (其中a₁,b₁,c₁,a₂,b₂,c₂是常数),给出如下定义:若该方程组的解满足|x-y|=1，则称这个方程组为“美好”方程组. (1)下列方程组是“美好”方程组的是 (填序号)； ④ (2)若关于x，y的方程组 是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有 理 数 m,y的方程组 都是“美好”方程组，求 ab的值. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. D 6. A 7. A 8. C 9.①②④ (答案不唯一) 11.1 12.-3 13.1 14.9 16.10 17. (1)解:②-①×3,得y=5.把y=5代入①,得x-10=1,解得x=11.∴原 方 程 组 的 解 为 (2)解:方程 组 整 理,得， 得7y=7,解得y=1.把y=1代入③,得3x-2=-8,解得x=-2.∴原方程组的解为 18. 18.解:把 代入 得 ②,得a+2b=2. 19.解:(1)∵x+2y=5,∴y= - x.(2)根据题意,得 解得 代入x-2y+mx+9=0,得-5-10-5m+9=0,解得m 20.解:设 小 长 方 形 的 长、宽 分 别 为 x cm,y cm.根 据 题 意 ,得 解得 答:小长方形的长、宽分别为15 cm,9 cm. 21.解:(1)设用 小 车 型 的 车 x 辆、中车 型 的 车 y 辆.由题 意,得 解得 答：需小车型的车8辆、中车型的车 10辆.(2)设用小车型的车a辆、中车型的车b辆，则用大车型的车(15-a-b)辆.由题意,得5a+8b+10(15-a-b)=120,,整理,得a=6 b均为正整数， 或 有 2 种用车方案：①用小车型的车4辆、中车型的车5辆、大车型的车 6 辆，运费为4×400+5×500+6×600=7700(元);②用小车型的车2辆、中车型的车10辆、大车型的车 3辆,运费为2×400+10×500+3×600=7 600(元).∵7700>7 600,∴用车方案中运费最少是7 600元. 22.解:(1)②③ (2)①×2,得2x-6y=2a.③ ②-③,得2y=2a,解得y=a.把y=a代入①,得x=4a.∴方程组的解是 关于x,y的方程组 是“美好”方程组， ∴|x-y|=1,即||4a-a|=1，解得 或 (3)联立,得 解得 或 把 代入2amx+(b-1)y=m,得 4am+b-1=m,∴(4a-1)m+b-1=0.由题意可知,对于任意有理数(m,(4a-1)m+b-1 - 0 均成立,∴ 解 得把 代入2amx+(b-1)y=m,得 同理可得 解得 综上所述，ab的值为 或 $