精品解析：陕西榆林市靖边中学2024-2025学年高一第二学期第一次月考数学试题

靖边中学2027届高一第二学期第一次月考考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断. 【详解】由已知可得的虚部为，故错误； ，故错误； ，故正确； 虚部不为0的复数不能比较大小，故错误. 故选：C. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量就是有向线段 B. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念、模的概念判断AB，根据相等向量的概念判断C，根据零向量的定义及共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量可以用有向线段来表示，但并不是有向线段，错误； 对于B，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，错误； 对于C，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 对于D，零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，零向量与任意向量都平行，错误. 故选：C 3. 已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由处于静止状态可知三个力合成为，由此得出的坐标. 【详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以. 故选：A. 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 7. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理化简求解即可. 【详解】由及正弦定理、余弦定理得， 所以，所以. 故选：A. 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据只有不共线的两个向量才能作为基底，只需判断各组向量是否共线即可. 【详解】选项，若与共线，则存在，使，即， 则且，矛盾，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底； 选项，若与共线，则存在，使， 所以，无解，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底. 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 13. 若复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入化简，利用复数相等的定义可得，即可求得. 【详解】设，则， 所以， 则，即，，所以. 故答案为： 14. 如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，结合，即可求得，第一空得解；在中，求出的正余弦值，然后利用求得，再结合正弦定理即可得求得第二空. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以， 因为，所以，. 因为，所以， ， 在中，由正弦定理得. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 已知向量，，． （1）求的最小值； （2）若与共线，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算以及模长的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案； （2）根据共线向量以及数量积与模长的坐标表示，利用向量夹角的计算公式，可得答案. 【小问1详解】 由，，可得， 则， 故当时，取得最小值，即时，取得最小值． 【小问2详解】 ，， 由与共线可得，解得， 则，，，， 设与的夹角为，所以， 因为，所以． 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解. （2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． 【小问2详解】 解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得， 由， 得， 解得． 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 19. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 【答案】（1）150m （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，结合余弦定理求出的长度，在用的长减去的长度， （2）根据健身区的面积占整个场地面积的求出的长度，再求出的长度，再结合相似求出的长度，从而求出的面积. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， 即， 整理得， 解得（负值舍去）， 所以. 故小路的长为. 【小问2详解】 由题知，的面积为， 又，所以，所以， 由是中位线易得，所以， 带入解得， 所以. 故休闲区的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2027届高一第二学期第一次月考考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量就是有向线段 B. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行 3. 已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 13. 若复数满足，则_______. 14. 如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知向量，，． （1）求的最小值； （2）若与共线，求与的夹角． 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 19. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $