精品解析：陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

高一（下）学期第三次月考 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是 A. 内的所有直线都与直线a异面 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内的直线都与a相交 D. 直线a与平面有公共点 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 6 C. 9 D. 7. 在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10. 设是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为12π C. 的面积的最小值是 D. 的最大值是 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，则_______________________________． 13. 在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 14. 如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论： ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③四边形为矩形； ④四边形的面积有最大值1． 则其中正确的结论_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知， （1）求的坐标及； （2）若与垂直，求实数m的值. 16. 已知复数 ． （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若 ，求实数m的值． 17. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）取中点，求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期、对称轴和对称中心： （2）求在上的最值及此时的取值； （3）锐角中，，角满足，求角A的值与面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线PC与平面所成角的正弦值； （3）在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（下）学期第三次月考 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算直接求解. 【详解】 故选：B 2. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 则. 4. 已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，即可判断选项. 【详解】复数对应的复平面上的点为，在第一象限. 故选：A 5. 若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是 A. 内的所有直线都与直线a异面 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内的直线都与a相交 D. 直线a与平面有公共点 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A错；当时，内必然有直线与直线平行， B错；从而C也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D正确. 考点：直线和平面的位置关系. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线求得，进而由向量的坐标运算求得的坐标，可求模. 【详解】因为，所以，解得， ，所以，所以. 故选：B. 7. 在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，由，可得（或其补角）为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】如图所示，连接，取的中点，连接， 因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 因为， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 8. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，结合题意可得，，解不等式求得范围即可． 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象. 当时，，因为函数在上单调递减， 所以，，解得，， 当时，；当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 故实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 对于B：若，则，得，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故D正确. 故选：BD. 10. 设是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面、面面的位置关系逐个判断即可. 【详解】若，，则或，错误； 若，，则，正确；（面面平行的性质） 若，，则或异面或相交，错误； 若，，则或异面或相交，错误； 故选：ACD 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为12π C. 的面积的最小值是 D. 的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求出，利用正弦定理、余弦定理逐项求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，而， 因此，又，则，A错误； 对于B，外接圆半径，外接圆的面积为，B正确； 对于C，由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此的面积，C错误； 对于D，令，则，又， 于是，整理得， 因此，而，解得， 即的最大值是，D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，则_______________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由的最小正周期为6求解. 【详解】的周期． ∴， ， ， . 故答案为： 13. 在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合，得到，即可求解. 【详解】因为， 又，所以， 故答案为： 14. 如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论： ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③四边形为矩形； ④四边形的面积有最大值1． 则其中正确的结论_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理判断③选项；由相似三角形性质判断①选项；借助三角形面积公式及基本不等式判断②、④选项. 【详解】因为平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 又平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 所以四边形为平行四边形，又，则，所以四边形为矩形，所以③正确； 由相似三角形的性质得，所以，，所以， 所以四边形的周长为定值，所以①正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知， （1）求的坐标及； （2）若与垂直，求实数m的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的坐标表示求出坐标,再利用坐标求出向量的模. （2）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 由，得，故. 【小问2详解】 由，得，， 由与垂直，得，解得. 16. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 【答案】（1）0 （2）±2 【解析】 【分析】（1）根据题意结合纯虚数的概念列式求解即可； （2）整理可得，结合共轭复数的概念运算求解即可. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数， 则，解得， 所以m的值为0. 【小问2详解】 因为，可得， 即， 又因为， ， 则，， 可得 ，解得． 17. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）取中点，求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【小问1详解】 在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面．    【小问3详解】 由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期、对称轴和对称中心： （2）求在上的最值及此时的取值； （3）锐角中，，角满足，求角A的值与面积． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为，对称中心为； （2）最小值为，此时；最大值为2，此时； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的图象性质求解. （2）求出相位的范围，进而求出最值及对应值. （3）求出，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由，得；由，得， 所以的最小正周期为，对称轴为，对称中心为. 【小问2详解】 当时，，则当，即时，； 当，即时，， 所以的最小值为，此时；最大值为2，此时. 【小问3详解】 由，得，而为锐角，则，解得， 又，所以面积为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线PC与平面所成角的正弦值； （3）在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，只需证明（由正方形性质可得），，要证，只需证明平面即可. （2）作，垂足为，连接，从而为直线与平面所成的角，只需解直角三角形即可. （3）作，交于，连接，可以证明，故只需解直角三角形求出即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； 【小问3详解】 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $