专题02 图形的旋转十四大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 以14大题型系统覆盖图形旋转全维度，从基础概念到坐标变换再到综合应用，构建“概念-计算-推理-建模”递进逻辑链，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题型|旋转中心确定、角度计算、规律探究|从旋转三要素（中心/方向/角度）切入，结合正方形/等腰直角三角形等载体夯实概念| |坐标变换|5题型|绕原点/非原点旋转90°及任意角度坐标计算|以坐标系为工具，强化数形结合，从特殊到一般推导坐标变换公式| |性质应用|4题型|线段/角/面积关系证明与计算|运用旋转全等/等腰特性，培养推理能力，解决动态几何问题| |综合攻坚|1模块|多知识点融合的综合题|整合旋转与四边形/三角形知识，提升复杂问题建模与解决能力|

专题02 图形的旋转十四大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 求旋转中心的个数 1 题型二 旋转中的规律性问题 3 题型三 根据旋转的性质求解 4 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 7 题型五 求旋转对称图形的旋转角度 10 题型六 求绕原点旋转90度的点的坐标 13 题型七 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 16 题型八 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 20 题型九 坐标与旋转规律问题 22 题型十 线段问题（旋转综合题） 23 题型十一 面积问题（旋转综合题） 27 题型十二 角度问题（旋转综合题） 31 题型十三 其他问题（旋转综合题） 36 题型十四 坐标系中的旋转 42 B 综合攻坚 能力跃升 46 题型一 求旋转中心的个数 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【规范解答】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 2．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【规范解答】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 题型二 旋转中的规律性问题 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】根据题意得出点坐标变化规律． 【规范解答】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 题型三 根据旋转的性质求解 5．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）完成下列题目 (1)如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，，且满足点，，三点在同一条直线上，连接，求的长； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，且满足点，，三点在同一条直线上．若，请猜想，，之间具有怎样的数量关系？并说明理由（提示：可直接使用结论“等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍”）． 【答案】(1)6 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据旋转得到，且，然后证明为等边三角形，根据点、、三点共线，由即可求解； （2）由旋转得，由角度计算得，，故，则． 【规范解答】（1）解：绕点逆时针旋转得到， ， ，， ， 是等边三角形， ， ∵点、、三点共线， ， （2）解：；理由如下： 设与相交于点， 由旋转可知，，，， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ． 6．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，求的长． 【答案】 【思路引导】根据旋转的性质得出、、三点共线，，，进而得出，然后利用判断出，根据全等三角形的对应边相等得出，设，然后根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案． 【规范解答】解：逆时针旋转得到， ， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ，且， ， ， ， 在中，即， 解得， . 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 7．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据旋转的性质即可得证； （2）利用旋转的性质和三角形内角和即可求解． 【规范解答】（1）证明：绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上， ，， ， ， 平分． （2）解：，， ， ， ． 绕点C顺时针旋转得到， ，，， ， ， 则． 8．【实践探究】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？ (2)如图2，与是两块全等的等腰直角三角板，当其中一块的直角顶点P绕另一块的斜边中点转动时，两个三角板重叠部分的面积与的面积有什么关系？请证明你的结论？ (3)【拓展提升】如图3，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)两个三角板重叠部分的面积，见解析 (3)18 【思路引导】（1）证明，进一步根据图形的面积关系进行解答即可； （2）连接，证明，进一步根据图形的面积关系进行解答即可； （3）过点A作于点M，于点N，证明，则，，得到，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴ 正方形 ∴‘’ ∴，且， ∴ ∴ ∴； （2）解：两个三角板重叠部分的面积， 理由如下：连接， ∵是等腰直角三角形，点P为中点 ∴，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ （3）解：过点A作于点M，于点N， ∵，， ∴，且 ∴，且， ∴ ∴，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形，且 ∴四边形是正方形 ∴． 题型五 求旋转对称图形的旋转角度 9．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【规范解答】（1）解：答案见图2，图3； （2）解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； （4）解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 题型六 求绕原点旋转90度的点的坐标 11．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据点C和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再作图即可； （3）旋转中心一定在对应点的连线的垂直平分线上，据此结合网格的特点求解即可． 【规范解答】（1）解：∵经过平移后得到，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴，即， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，旋转中心为点． 12．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，连接．分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】过点A作轴于H，取的中点M，连接，根据直角三角形斜边上中线的性质可得是等边三角形，因此，由作图过程可得，，求出，是等边三角形，得到，根据，，得到垂直平分，因此，通过勾股定理求得，从而，进而依次求得第2次、第3次、第4次发现每4次一个循环，据此求解即可． 【规范解答】解：过点A作轴于H，取的中点M，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵轴，点M是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由作图过程可得，，， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴第1次旋转得到C点的对应点为， 第2次旋转得到C点的对应点为， 第3次旋转得到C点的对应点为， 第4次旋转得到C点的对应点为， 第5次旋转得到C点的对应点为， ∴每4次旋转是一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点C的坐标为． 题型七 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 13．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【答案】(1)画图见解析， (2)或或 【思路引导】（1）画出绕点C顺时针旋转所得的，即可写出点坐标； （2）画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，即可写出点D坐标． 【规范解答】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，点坐标为． （2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______； (2)在此网格范围内，若要以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出______个矩形，面积为______． (3)若和关于原点O中心对称，画出； (4)在此网格范围内，若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标______； 【答案】(1)；， 图见解析 (2)2个；13或26 (3)见详解 (4)或 【思路引导】本题考查作图—旋转变换、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、特殊四边形是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取格点并证明，即可证明，则有四边形和以其他顶点均为格点的矩形，利用勾股定理和矩形面积公式求解即可； （4）根据平行四边形的判定确定点的位置，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：如图， 即为所求． 由图可得，点的坐标是，点的坐标是． 故答案为：； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 那么，四边形和是以其他顶点均为格点的矩形， ∵，， ∴矩形的面积为， 矩形的面积为， 则以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出2个矩形，面积分别为13和26； （3）解：如图，即为所求． （4）解：当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 题型八 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 【答案】 【思路引导】作，由旋转的性质得，再根据矩形的性质可得，然后根据勾股定理得，则此题可解． 【规范解答】解：如图所示，过点作，交于点D， 由旋转的性质得． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴点． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作于，连接，构造直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得线段的长度． 【规范解答】解：∵， ∴点P在点B的右侧．如图，过点作于，连接，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴． 则，． 在中，根据勾股定理知，，即， 解得． ∴． 故选：B． 【考点剖析】此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解． 题型九 坐标与旋转规律问题 17．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可． 【规范解答】解：∵，， ，， ， ∴，即 同理可得，，… ∴序号为奇数时， ∴点的坐标为，即． 18．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】先依次求出的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2027次后点B的坐标与重合，即可求解． 【规范解答】解：对于，当，时，，解得， ∴， ∴第一次旋转后，根据旋转的不变性得，即， 第二次旋转后，即， 第三次旋转后，即， 第四次旋转后与点B重合，， 发现4次一循环，而， ∴第2027次旋转结束后，点与点重合， ∴， 题型十 线段问题（旋转综合题） 19．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【规范解答】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 20．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【思路引导】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【规范解答】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 题型十一 面积问题（旋转综合题） 21．（25-26七年级上·上海闵行·期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_____； (3)在长方形中，，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接，三角形面积为312，三角形面积为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【思路引导】本题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式，掌握其相关知识是解题的关键． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 【答案】(1) (2)5 (3) 【思路引导】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解； （2）设与相交于点F，由旋转得，，，则，，利用勾股定理求出，，求出，然后利用三角形面积公式求解； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F，得到当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图，由旋转得到，然后求出，进一步利用勾股定理求出，最后利用求解即可． 【规范解答】（1）解：由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点B，C，E共线， ∴； （2）解：设与相交于点F， 由旋转得，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F， ∴， ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图， 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ∴当最大时，四边形的面积为． 题型十二 角度问题（旋转综合题） 23．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【规范解答】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 【答案】情境探究：（1）；（2）；类比猜想：或；拓展迁移： 【思路引导】本题考查了线段的和差、角的和差倍分、角的旋转等，关键是线段长度的计算及角的关系的求解； 【情境探究】（1）根据线段之间的和差来计算长度即可；（2）根据线段之间的和差来计算长度即可； 【类比猜想】根据三角板的角度及角度之间的倍数关系，分情况讨论求解； 【拓展迁移】根据边的旋转速度和时间得到角的表达式，再结合角的倍分关系分情况讨论求解． 【规范解答】【情境探究】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：； 【类比猜想】解：①当两块三角板没有重合部分，即时， ∵，， ， ， ； ②当两块三角板有重合部分，即时， ，， ， ， ， 综上所述，或． 【拓展迁移】的值为． 解：如图1，∵，， ， ，   ， ∴ ， ∴ ； 如图2，∵， ∴，， ， ∴ ， ∴； 如图3，∵，， ∴， ， ， ∴  ， ∴  ； 当时，，所以舍去； 如图4，因为，， ， ， 因为， ， ； 综上所述，的值为，，． 题型十三 其他问题（旋转综合题） 25．（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【思路引导】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【规范解答】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 26．（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3） 【思路引导】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【规范解答】（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型十四 坐标系中的旋转 27．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：旋转中心即为所求； （2）解：如图，即为所求； 28．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)不变，的面积为2 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； （3）解：的面积不发生变化，理由如下： ①如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ②当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 1．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用旋转的性质以及三角形内角和定理求解． 【规范解答】解：∵， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据旋转的性质得出旋转角，再利用计算即可． 【规范解答】解：将绕点按逆时针方向旋转得到， ， ， ． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 4．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【思路引导】延长到T，使得，连接，证明，，可判定①②，利用等量代换，可判断③，根据全等三角形面积相等可判断④；将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接，同理可证，得到，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，得到，根据勾股定理即可判断⑤． 【规范解答】解：延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴． ∴．故①正确； 的周长为，故③正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故④正确； 将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接， 同理可证， ∴， ∵正方形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，其中正确的是①②③④⑤． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】通过将绕点旋转，构造等边三角形，将转化为折线长，利用两点之间线段最短及勾股定理求解． 【规范解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，， 旋转， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 根据两点之间线段最短，当四点共线时，最小，最小值为的长， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为5． 6．（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点，若，则的度数是_____． 【答案】 【思路引导】由旋转得，，，则．由题意得，则，进而可得． 【规范解答】解：由旋转得，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交于点．若，则_____． 【答案】 【思路引导】由旋转的性质，可得，，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，借助“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，得出，过点作，交延长线于点，由等腰直角三角形的性质可知，再证明，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：由旋转的性质，可得，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴； 过点作，交延长线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______ 【答案】49 【思路引导】过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 【答案】/ 【思路引导】先说明是直角三角形，再运用勾股定理求得，如图：延长至H，使，连接，作于，可证得，从而，所以点G在直线上运动，从而的最小值是，最后解直角三角形求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴ ∴ 延长至H，使，连接，作于，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在直线上运动， ∴的最小值是， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴,解得： ∴的最小值是． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【规范解答】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 11．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A坐标，点B坐标，点C坐标 (1)把向上平移5个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)把绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出的坐标； (3)直接写出（2）中点到的运动路线长． 【答案】(1) ，见详解 (2) ，见详解 (3) 【思路引导】（1）向上平移5个单位，横坐标不变，纵坐标加5，据此画出 并写出 坐标； （2）绕原点 逆时针旋转 ，画出 并得出坐标即可； （3）点 到 的运动路线是以 为圆心、 为半径的圆弧，圆心角为 ，利用弧长公式 计算． 【规范解答】（1）解：如图， ，向上平移5个单位， ，即 ， 同理：，； （2）解：如图，绕原点 逆时针旋转 ， 旋转后； （3）解：点 ​ 到 的运动路线是以 为圆心、为半径的圆弧，圆心角为 ， ， 弧长 ， 点 到 的运动路线长为 ． 12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路引导】（1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可画出旋转后对应的； （2）利用平移的性质得出平移方式为向下平移6个单位，再向右平移3个单位，据此作出的对应点即可画出平移后对应的； （3）连接和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接和的交点即为旋转中心， 根据（1）（2）可得， 故旋转中心坐标为，即． 13．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】 (1)当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】 (2)如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 【答案】(1) ， (2)成立，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点作，垂足为，交于点，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1） ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴，     ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 14．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，点都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（辅助线用虚线表示，所作图形用实线表示） (1)在图中，作，使是由绕点旋转得到的，点的对应点是点，且点都在格点上； (2)在图中，作，使是由平移得到的，点的对应点分别是点，且点落在的角平分线上，． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【思路引导】（）根据旋转的性质画出图形即可； （）取格点，连接，由网格可知，取的中点，连接并延长至格点，由等腰三角形的性质可知点落在的角平分线上，利用平移的性质即可画出，又由网格可得， ，所以有，故即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 15．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】 (1)如图1，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接，连接并延长交于点，求的度数； 【类比探究】 (2)如图2，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度（旋转角为锐角）得到，点的对应点位于等腰的外部，连接，连接并延长交于点，交于点，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，某校的露天广场形如等腰，其中，，现施工团队以广场的顶点为旋转中心，将原广场等腰绕点逆时针旋转一个锐角得到，点的对应点在的外部，点的对应点为点，将设置为无障碍健身步道，连接并延长交步道于点，经测量，米，求无障碍健身步道的长． 【答案】(1) (2) (3)400米 【思路引导】（1）由旋转的性质得出，，证出，，则可得出答案； （2）由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案； （3）过点E作交延长线于点G，证明，得出，从而可得结论． 【规范解答】（1）解：，， ，     由旋转的性质得，， ，，     ， ． （2）解：由旋转的性质知，， ∴，即，     ，     ，， ． （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由旋转的性质得，，，     ， ， ，     ， ，     又， ， ， ，     米，     （米）， 即无障碍健身步道的长为400米． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形的旋转十四大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 求旋转中心的个数 1 题型二 旋转中的规律性问题 2 题型三 根据旋转的性质求解 3 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 4 题型五 求旋转对称图形的旋转角度 5 题型六 求绕原点旋转90度的点的坐标 6 题型七 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 7 题型八 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 8 题型九 坐标与旋转规律问题 8 题型十 线段问题（旋转综合题） 9 题型十一 面积问题（旋转综合题） 10 题型十二 角度问题（旋转综合题） 12 题型十三 其他问题（旋转综合题） 14 题型十四 坐标系中的旋转 16 B 综合攻坚 能力跃升 17 题型一 求旋转中心的个数 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 旋转中的规律性问题 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 4．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 题型三 根据旋转的性质求解 5．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）完成下列题目 (1)如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，，且满足点，，三点在同一条直线上，连接，求的长； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，且满足点，，三点在同一条直线上．若，请猜想，，之间具有怎样的数量关系？并说明理由（提示：可直接使用结论“等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍”）． 6．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，求的长． 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 7．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为点E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 8．【实践探究】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？ (2)如图2，与是两块全等的等腰直角三角板，当其中一块的直角顶点P绕另一块的斜边中点转动时，两个三角板重叠部分的面积与的面积有什么关系？请证明你的结论？ (3)【拓展提升】如图3，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积． 题型五 求旋转对称图形的旋转角度 9．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 10．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型六 求绕原点旋转90度的点的坐标 11．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 12．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，连接．分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（） A． B． C． D． 题型七 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 13．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______； (2)在此网格范围内，若要以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出______个矩形，面积为______． (3)若和关于原点O中心对称，画出； (4)在此网格范围内，若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标______； 题型八 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 题型九 坐标与旋转规律问题 17．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 题型十 线段问题（旋转综合题） 19．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 20．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 题型十一 面积问题（旋转综合题） 21．（25-26七年级上·上海闵行·期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_____； (3)在长方形中，，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接，三角形面积为312，三角形面积为130，请求出此时长方形的面积． 22．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 题型十二 角度问题（旋转综合题） 23．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 24．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 题型十三 其他问题（旋转综合题） 25．（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 26．（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 题型十四 坐标系中的旋转 27．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 28．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 1．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点，若，则的度数是_____． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交于点．若，则_____． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______ 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 11．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A坐标，点B坐标，点C坐标 (1)把向上平移5个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)把绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出的坐标； (3)直接写出（2）中点到的运动路线长． 12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 13．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】 (1)当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】 (2)如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 14．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，点都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（辅助线用虚线表示，所作图形用实线表示） (1)在图中，作，使是由绕点旋转得到的，点的对应点是点，且点都在格点上； (2)在图中，作，使是由平移得到的，点的对应点分别是点，且点落在的角平分线上，． 15．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】 (1)如图1，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接，连接并延长交于点，求的度数； 【类比探究】 (2)如图2，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度（旋转角为锐角）得到，点的对应点位于等腰的外部，连接，连接并延长交于点，交于点，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，某校的露天广场形如等腰，其中，，现施工团队以广场的顶点为旋转中心，将原广场等腰绕点逆时针旋转一个锐角得到，点的对应点在的外部，点的对应点为点，将设置为无障碍健身步道，连接并延长交步道于点，经测量，米，求无障碍健身步道的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $