第4章 平行四边形（单元自测·提升卷）数学新教材浙教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第4章 平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 3．用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（    ） A．三个内角都小于 B．三个内角都大于 C．三个内角至多有一个不小于 D．三个内角至多有两个不小于 4．已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 6．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 8．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 9．如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 13．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则 ． 14．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为 ． 15．如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为 ． 16．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（7分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 (1)在方格纸中作出与关于原点对称的； (2)写出点，点，点的坐标． (3)求出的面积． 18．（9分）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 19．（7分）如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 20．（9分）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 21．（8分）如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 22．（10分）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 23．（10分）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点的坐标为______； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点运动的时间为秒（），求当为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当动点运动到中点时，在平面直角坐标系中找到一点，使得以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第4章平行四边形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 c A A C D A A B D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.（3,-2 12.7/七 13.30 14.4V5 5.号 16.②③④ 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(7分) 【详解】(1)解：如图，△A,B,C即为所求； (2分) 5-4-3-2-10 124345 3 (2)根据坐标系可得A,-2,1,B-3,3),C,(0,4)(5分) (3)△4B,C,的面积为3x3-x1×2-x1x3-×2×3=3.5(7分) 2 2 2 18.(9分) 【详解】(1)解：如图①，△ACE即为所求.（答案不唯一） 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3分) A B E 图① (2)解：如图②，四边形ABCD即为所求.（答案不唯一） (6分) A B 图② (3)解：如图③，四边形MNPQ即为所求.（答案不唯一） M (9分) A B 图③ 19.(7分) 【详解】(1)解：如图，CF为所作； A (3分) E (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, ∠ABE=∠CDF. 由(1)得CF⊥BD, AE⊥BD, :∠AEB=∠CFD. 在△ABE与CDF中， 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD AABE≌△CDF(AAS. .AE=CF,(7分) 20.(9分) 【详解】(1)解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成4-2=2个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成5-2=3个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成6-2=4个三角形， ∴.n(n24)边形可以分割成(n-2)个三角形， 故答案为：（n-2);(3分) (2)解：由(1)知，n-2=120, .n=122;(6分) (3)解：从nn≥4)边形的一个顶点可引出(n-3)条对角线， ·对角线的总数为”-3到条.(9分) 2 21.(8分) 【详解】(1)证明：，AE平分∠BAD, .∠BAE=∠DAE, AB=BE, ∴.∠BAE=∠AEB, ∴.∠DAE=∠AEB, .AD∥BE, :AB∥CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形；(4分) (2)解：AB=BE,BF⊥AE,∠E=60°，AB=8, ∴△BE是等边三角形，AF=F=E, 六48=8E=4E=8,A=EFE=4, 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BF=√AB2-AF2=4V5, AD∥BE, .∠D=∠ECF,∠DAF=∠E, ∴.△ADF≌△ECF(AAS, .S△ADr=SAECF, 1 S四边形BCD=SAE=与AE.BF=165.(8分) 、 22.(10分) 【详解】证明：(1)：四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC,OA=OC, ∠EA0=LFC0. 在△AOE和aCOF中： ∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF AA0E≌aCOF(ASA), ·AE=CF,(5分) 证明：(2)由(1)知，AE=CF. 由折叠的性质可知，AE=A,E,AE∥BF, :AE=CF,∠AEI+∠DEF+∠GFE=180° :DE∥CF, :.∠DEF+∠GFE+∠CFG=I80°， .∠AEI=∠CFG. 在△A,EI和aCFG中： ∠A=∠C AE=CF ∠AEI=∠CFG ∴△A,EI≌aCFG(ASA), 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E1=FG.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形ABD与三角形CDB;②三角形HND与三角形DPH;③三角形BEH与三角形HMB,都可以组 成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴.①②③中的两个三角形的面积相等； :①三角形ABD与三角形CDB;②三角形HND与三角形DPH的面积相等， ∴.四边形ANHB和四边形CPHB的面积相等， 又：③三角形BEH与三角形HMB的面积相等， 则四边形ANHB和四边形CPHB的面积分别减去三角形BEH与三角形HMB的面积之后的图形面积相等， 即④长方形AMHN与长方形HECP的面积相等， 答：①②③：①②③④.(4分) (2)解：依题意，AM=AB-MB=AB-HE=6-a,AN=BE=3,EC=BC-BE=8-3=5, 由(1)可得长方形AMHN与长方形HECP的面积相等， ∴.3(6-a=5a, 9 解得：a= 4 9 答：a=4 (6分) (3)解：如图，当G在BD上时， N H M G B E F 依题意，BE=x,EF=a,AD=8,AB=6, :FC BC-BE EF =8-x-a,AM AB BM =6-a,AN BE +EF a+x, 同理可得长方形AMGN,与长方形GFCP的面积相等， ∴.(x+a)(6-a)=a(8-x-a), 解得：x= 3, 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-3 1; aa 3 当H在BD上时，如图， N D M p AM =6-a,AN BE=x,EC=BC BE=8-x, E 由(1)可得长方形AMHN与长方形HECP的面积相等， .x(6-a)=(8-x)a, 解得：x=4 3 Aa 综上所述，的值为或4 33 答：或 3 .10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：：四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为(14,0)， :A0=BC=14,OA与BC平行， :点B的坐标为18,4V3), ·点C的坐标为4,4v 故答案为：(4,45)；(4分) (2)解：根据题意得：SPc=S边形oc-Sme-Su0-Sc0=2S边0c, 1 Sor++c 1 如图，过点Q作QM⊥x轴于点M VA AM 6/7 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∠B=60°. ∴.∠QAM=60 ∴.∠AQM=30° ∴4M)40=1,则QM=a0-aM=2-F=5 ÷x14x45-45+4-小x+x14a5-5到 化简得：5-2N5=0, 解得：t=4或t=0(舍去)， 即当点P运动4秒时，△PC的面积是平行四边形OABC的一半；(8分) (3)解：·P为的OA中点，A(14,0), :P(7,0), 若以M、P、B、C为顶点且以PB为边的四边形是平行四边形，可分两种情况： ①若PBMC为平行四边形，则PB∥CM,PB=CM, M :C(4,45),B(18,45, 点P(7,0)向右平移11个单位、向上平移43个单位得到点B18,4V5), :C(4,45向右平移11个单位、向上平移45个单位得到点M15,8⑤)， :M15,85): ②若PBCM为平行四边形，则PB∥CM,PB=CM, :C(4,45),B18,45), M 、P7,0); 综上所述，点M的坐标为15,8V3或-7,0).(12分) 717 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第4章 平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 3．用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（    ） A．三个内角都小于 B．三个内角都大于 C．三个内角至多有一个不小于 D．三个内角至多有两个不小于 【答案】A 【分析】本题考查反证法与命题的否定，熟练掌握反证法和命题的否定是解题的关键，反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不小于60°”的反面是“所有内角都小于”，即可得到答案． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不小于”， ∴其反面为“所有内角都小于”， 故选：A． 4．已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，以及区分等腰梯形与平行四边形的特征是解题的关键． 已知，需结合平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项是否能确定四边形为平行四边形． 【详解】解：A、，此条件可能构成等腰梯形，不符合题意； B、，等腰梯形也满足对角线相等，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、，且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形，符合题意； D、，仅涉及一组邻边相等，不涉及对边关系，不能判定为平行四边形，不符合题意． 故选：C． 5．如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 7．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 8．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 9．如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可求，过点作于，可证，由直角三角形的性质可求，，则，可证，已知，则题目可解． 即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 10．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7/七 【分析】本题考查了多边形对角线的性质，根据多边形对角线的性质，从边形的一个顶点出发可以作条对角线，即可得出结果，熟练掌握多边形对角线的性质是解此题的关键． 【详解】解：对于一个边形，从一个顶点出发，不能与自己连对角线，也不能与相邻的两个顶点连对角线，因此只能与剩下的个顶点连对角线，故可以作条对角线， 对于十边形，，故可以作条对角线， 故答案为：7． 13．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于G，容易证出，得到，因此是的中位线．由中位线定理可得，，得到，最后用三角形外角的性质计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于G， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 14．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据平行四边形的性质得到，可证明得到，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线与交于点O，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 16．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据可进行判断；②证即可进行判断；③延长交于，证即可进行判断；④证即可进行判断；⑤由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】解：①∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故①错误； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故②正确； ③延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③正确； ④∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④正确； ⑤∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤错误． 综上所述：②③④正确 故答案为：②③④ 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，角平分线的定义等知识点．掌握相关图形的性质定理是解题关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（7分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 (1)在方格纸中作出与关于原点对称的； (2)写出点，点，点的坐标． (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了画中心对称图形，写出点的坐标，三角形的面积； （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）根据坐标系可得 （3）的面积为 18．（9分）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义及网格作图，掌握轴对称图形沿某条直线折叠后能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后能完全重合是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义，找一个格点与构成三角形，使三角形有一条对称轴，且在三角形的边上． （2）根据中心对称图形的定义，构造一个普通平行四边形，使在四边形的边上． （3）根据既是中心对称又是轴对称图形的特征，构造矩形，使在矩形的边上． 【详解】（1）解：如图①，即为所求．（答案不唯一） （2）解：如图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）解：如图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 19．（7分）如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧交于于，再以点为圆心，以大于为半径画弧交于一点Q，再连接，此时与的交点为点，即可作答． （2）先根据平行四边形的性质得，，再运用证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 由（1）得， ， ． 在与中， ． ∴， 20．（9分）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 21．（8分）如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定等知识点，熟练掌握等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得是等边三角形，，则有，，然后根据勾股定理可得，进而证明得到四边形的面积等于的面积，则问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 23．（10分）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点的坐标为______； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点运动的时间为秒（），求当为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当动点运动到中点时，在平面直角坐标系中找到一点，使得以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半 (3)或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、平移的性质等知识． （1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可； （3）求出点坐标，分两种情况：①若为平行四边形，②若为平行四边形，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，点的坐标为， ，与平行， 点的坐标为， 点的坐标为 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 如图，过点作轴于点 ∵． ∴ ∴ ∴，则 ∴ 化简得：， 解得：或（舍去）， 即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半； （3）解：为的中点，， ， 若以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，可分两种情况： ①若为平行四边形，则，， ，， 点向右平移个单位、向上平移个单位得到点， 向右平移个单位、向上平移个单位得到点， ； ②若为平行四边形，则，， ，， ； 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第4章 平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 3．用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（    ） A．三个内角都小于 B．三个内角都大于 C．三个内角至多有一个不小于 D．三个内角至多有两个不小于 4．已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 6．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 8．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 9．如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 13．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则 ． 14．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为 ． 15．如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为 ． 16．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（7分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 (1)在方格纸中作出与关于原点对称的； (2)写出点，点，点的坐标． (3)求出的面积． 18．（9分）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 19．（7分）如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 20．（9分）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 21．（8分）如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 22．（10分）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 23．（10分）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点的坐标为______； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点运动的时间为秒（），求当为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当动点运动到中点时，在平面直角坐标系中找到一点，使得以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $