精品解析：辽宁锦州市凌海市2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

凌海市2025~2026学年度八年级（下）期中质量检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效 一、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 年月日，我国神舟二十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，充分展现了我国强大的科技实力．为弘扬航天精神、厚植爱国情怀，某校举办“逐梦航天，强国有我”航天知识竞赛，本次竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答均扣分．若得分不低于分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 12. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 13. 如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 17. 如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上，按下列要求作图并解答． （1）将向左平移5个单位得到，点A、B的对应点分别为、，画出． （2）作关于点O成中心对称的，点、的对应点分别为、． （3）与也成中心对称，直接写出对称中心的坐标． 18. 如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 19. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 20. 通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． （2）在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 21. 如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点，直线过点A、B，交轴于点，交轴于点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为． （1）直接写出点B，C，D的坐标：________，________，________； （2）将绕点顺时针旋转得到，求与轴的交点的坐标． （3）若点是轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 22. 综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情境】 （2）在平面直角坐标系中，将平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且．若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求的值． 23. 某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌海市2025~2026学年度八年级（下）期中质量检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效 一、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 3. 用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法第一步应假设命题的结论不成立，命题要证明的结论为， ∴第一步应先假设． 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 5. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转角，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴旋转角为， 故选：C． 6. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质；根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：由题意可知为的平分线，过点作于点， ，， ． 故选：B． 7. 一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 8. 年月日，我国神舟二十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，充分展现了我国强大的科技实力．为弘扬航天精神、厚植爱国情怀，某校举办“逐梦航天，强国有我”航天知识竞赛，本次竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答均扣分．若得分不低于分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 答对一题得分，答错或不答均扣分， 实际得分为答对得分减去扣的分数，即， 要求得分不低于分，“不低于”表示大于等于， 可列不等式，选项符合题意． 9. 如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，两直线平行内错角相等，求出，结合直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 10. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：设该多边形的边数为. 根据多边形内角和公式，得 解得． 13. 如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为． 14. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先解出每个不等式，不等式组无解意味着多个不等式没有公共部分，由此判断参数的取值范围． 【详解】解： 由①得， ∵不等式组无解， ∴与没有公共部分， ∴． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点， ∴， 由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求解即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以不等式组的解集为． 17. 如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上，按下列要求作图并解答． （1）将向左平移5个单位得到，点A、B的对应点分别为、，画出． （2）作关于点O成中心对称的，点、的对应点分别为、． （3）与也成中心对称，直接写出对称中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移，中心对称，中点坐标公式． （1）先确定点的位置，然后连线画出图形即可． （2）先确定点的位置，然后连线画出图形即可． （3）利用中点坐标公式计算即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 ∵， ∴对称中心的坐标，即 18. 如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 19. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元 （2）最多购进甲种纪念品70件 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进甲种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元， 由题意可得：， 解得， ∴甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元． 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念品m件， 由题意可列一元一次不等式：， 解得， ∴最多购进甲种纪念品70件． 20. 通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． （2）在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 【答案】（1）是 （2）当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形 【解析】 【分析】（1）设等边三角形三边均为x，根据奇异三角形的定义判断即可． （2）分当是斜边时，当是斜边时，计算求第三边的长，然后根据奇异三角形的定义求解作答即可． 【小问1详解】 解：设等边三角形三边均为x， ∵， ∴两边的平方和等于第三边的平方的2倍， 即等边三角形是奇异三角形； 【小问2详解】 解：当是斜边时，， ，， 此时，这个三角形不是奇异三角形； 当是斜边时，， ， 此时，这个三角形是奇异三角形； 综上所述，当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点，直线过点A、B，交轴于点，交轴于点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．例如：若点在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点在直线上，纵坐标，则其横坐标为． （1）直接写出点B，C，D的坐标：________，________，________； （2）将绕点顺时针旋转得到，求与轴的交点的坐标． （3）若点是轴上的一个动点，当三角形是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得的坐标，分别求出时，的值和时，的值即可得到答案； （2）根据等边对等角得到，结合旋转的性质可知轴，根据平行于y轴的线上的点横坐标相同可知与轴的交点的坐标； （3）根据等腰三角形的定义分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点， ∴点， ∵直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解． ∴直线的解析式为：， ∴当时，， 当时，， ∴点，点； 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 即轴， ∵， ∴与轴的交点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点， ∴， 当时，如图，过作轴于点， 则， ∴； 当时，如图， 此时点或； 综上，或或． 22. 综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情境】 （2）在平面直角坐标系中，将平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且．若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求的值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据新定义“横和点”可得出答案； （）由点是“横和点”，则，即，又点是“横和点”，所以，即，因为三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同，则三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，所以，即，然后代入得，整理得，再求出的值即可． 【小问1详解】 解：点是“横和点”，理由如下： ∵， ∴点是“横和点”； 【小问2详解】 解：∵点是“横和点”， ∴，即， 又∵点是“横和点”， ∴，即， ∵将三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形， ∴，即， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）． 23. 某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【答案】[性质探究]①3；②；[拓展应用]①，理由见解析；② 【解析】 【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可； ②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可； [拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论； ②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解． 【详解】解：[拓展应用] ①∵在中，是的中点，的面积为6， ∴的面积为， 故答案为：3； ②如图1，延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴； [拓展应用] ①．理由如下： 如图2，延长到点H，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图3，作交于P，过E作于T， ∵是的角平分线， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴； ∵是的中点， ∴, 设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故的最大值为． 【点睛】本题考查三角形的中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $