云南省石屏县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 石屏一中高二期中数学试卷覆盖必修及选修核心内容，通过基础题（如统计平均数、数列）与综合题（如立体几何、椭圆最值）的梯度设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）及语言（模型观念），适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（平均数）、数列（等差）、导数（极值）等|第7题结合导函数图象分析单调性，考查几何直观| |多选题|3/18|向量运算、数列求和、函数性质|第11题综合判断极值点与零点，培养批判性思维| |填空题|3/15|直线与圆相切、解三角形、排列组合|第14题课代表安排问题，体现应用意识| |解答题|5/77|立体几何（体积、二面角）、椭圆（面积最值）、导数（单调性）|16题融合证明与计算，18题椭圆面积最值问题，发展模型观念与运算能力|

石屏一中2025一2026学年下学期 高2027届高二期中考试卷 数学 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一、二册，选修第一、二册，选修三第六章。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.若有一组数据为6,6,5,5,4,4,3,2,1，则该组数据的平均数为() 9 A.2 B.3 C.4 D.2 2.已知(1+i)z=4,则z=() A.2+2i B.2-2i C.-2+2i D.-2-2i 3.+2 的展开式中x4的系数为 A.10 B.20 C.40 D.80 4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S,=72,则a的值为() A.12 B.10 C.9 D.8 5.书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. 从书架上任取1本书，不同的取法种数为() A.3 B.8 C.12 D.18 6.己知集合A={1og2x<1},B={x1≤2*≤4}，则AUB=() A.（-0,2] B.(-0,2) c.(0,2) D.[0,2] 试卷第1页，共4页 7.函数y=∫(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.曲线y=∫(x)在x=1处的切线斜率小于零 B.f(x)的极值点有3个 C.f(x)在区间(-o,3)上单调递减 D.3是f(x)的极小值 8.己知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足，则线段PP的 中点M的轨迹方程为() A.￡+2=1(0y>0) B.E+上=1(y>0) 164 168 C. -=1(y>0) D. -=1(y>0) 164 168 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量ā=(2，-1)，b=（-3,-1),下列选项正确的是(） A.(a-b)La B.向量b在向量a上的投影向量是-a C.2a+b=v10 D.与向量方向相同的单位向量是 3W10V10 10,-10 10.己知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,am1=2an+1,则() A.an=2”-1 B.Sn=2"1-n-2 C.S=S+2 D.数列{log2(an+1)}为等比数列 11.已知函数f(x)=x3-x+1,则() A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(O,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线x-y+2=0与圆(x-2)2+y2=a(a>0)相切，则a= 13.在△ABC中，角AB,C所对的边分别为ab,c.已知△ABC的面积为25，b-c=3,cosA=- 3,则 a=· 14.从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表， 每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有 种. 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 己知数列{an}是等差数列，且a,=-13,44=1. (1)求{an}的通项公式： (2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值。 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABI∥CD且CD=2,AB=1,BC=2N2,PA=1,AB⊥BC, N为PD的中点. (I)求证：ANI∥平面PBC; (2)求四棱锥P-ABCD的体积： (3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 试卷第3页，共4页 17.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R)的图象过点(2，-4)，且f'(2)=0. (I)求函数y=f(x)的解析式： (2)求函数y=f(x)在x∈[-1,3]上的单调区间，极值和值域. 18.(本小题满分17分) 已刻椭圆。+1(a>h>0的焦距为23，其左顶点为4，上顶点为8，且4 (1)求椭圆的方程； (2)直线：y=x+m与椭圆相交于M,N两点，O为坐标原点.求△MON的面积的最大值，并求此时直线l 的方程. 19.(本小题满分17分) 已知函数f)-号-alx-a-小-号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 试卷第4页，共4页石屏一中2025一2026学年下学期 高2027届高二期中考试卷 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A A BCD AB 题号 11 答案 AC 1.C【详解】平均数为 6×2+5×2+4×2+3+2+L_4. 4 4(1-i) .B【详解】由0+i)2=4,得+0+022列 3.C【详解1由题可得7m=C6广（目）=C2令10-3r=4,则=2所以C2=Cg-2=40 4.D【详解】由等差数列的性质可得a+a,=2a,所以S,=色+a)x9 =a=72,解得a=8. 2 5.B【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为3+3+2=8. 6.D【详解】由log2x<1,可得0<x<2,故A={x0<x<2},由1≤2≤4，可得0≤x≤2，故B={x0≤x≤2}， 则AUB=[0,2]. 7.A【详解】由函数y=f'(x)的图象，可得f'(I)<0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率小于零，所 以A正确：当x<-3时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当-3<x<3时，f'(x)≤0，∫(x)单调递减： 当x>3时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以x=-3是函数f(x)的极大值点，x=3是函数f(x)的极小值点， 且f(3)是函数f(x)的极小值，所以函数f(x)只有两个极值点，所以B,C,D都错误. 8.A【详解】设点M(x,y),则Pxy),P(x,0),因为M为PP的中点，所以yo=2y,即P(x,2y), 又P在圆+=16>0上，所以r+4y=16>0,即后若=0>0，即点M的轨迹方程为后苦 916+4=10>0. 9.BCD【详解】由已知a=(2,-1),b=（-3,-1), 答案第1页，共6页 对于选项A:a-万=(2-(-3)，-1-(-1月=(5,0)，(a-b)a=5×2+0×（1)=10≠0，向量a,b不垂直，A错 误； a.b 对于选项B:b在ā上的投影向量公式为 la" a,又a.b=2×(-3)+（1)x(1)=-5, =2+(--5,因此投影向量为？a=a,B正确： 对于选项C:2a+6=2(2,-)+(-3,-)=(1,-3),2+=VP+(-3)2=√10，C正确： 对于选项D:与6方向相同的单位向量为同，又5=V3+旷=0， 因此与向量6方向相同的单位向量为0-3-) 310√10 10-10 D正确， 10.AB【详解】因为a1=1,an+1=2an+1,所以an1+1=2(an+1),所以数列{an+1}是以首项为a,+1=2, 公比为2的等比数列，所以an+1=2×2"-=2”→an=2”-1,故A正确： 数列{a}的前n项和为Sn=a,+a2+…+an=(2-1)+(22-1)+…+(2”-1) =2+24+2）-a2-2）-N=2-2-n,放B正确： 1-2 因为Sn=2+2-（n+1)-2=2×2+1-n-3=Sn+2+-1,故C错误： 令cn=log2（an+1)=log22”=n,所以数列{log2（an+1)}为等差数列，故D错误. mAC详留由题，3-，令四>0海x>或<9念<0得<x3 3 所以心在(。马.5)上单调速清，（月上单调笼减，所以士5是授位点，放A正 3 确： 因原120,9=12g0,(2=5<0,所w,数国 上有一个 3 9 9 点当：时，哥}0，即酒数5上无等点， 综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误； 令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)-(-x)=-x+x=-h(x), 答案第2页，共6页 则h(x)是奇函数，(0，O)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象， 所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确： 令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1，又f)=f(-1)=1, 当切点为(L,1)时，切线方程为y=2x-1,当切点为(-1，)时，切线方程为y=2x+3,故D错误 12.8【详解】圆(-2+广=aa>0)的圆心为2,0，半径为石，依题意，2-0+2=Va,所以a=8. 2 13.7【详】都os4=号Ae0，动m4=-ow=点，5 csin4-后 3 bc=2W5,解 2 6 得12,0=+C-2kos4h-9e=940=4华a=7 14.54【详解】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人， 让他担任两门学科的课代表，有C=3种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有C=6种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有A2=2种结果，所以不同的安排方案共有3×6×2=36种， ②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来， 有C=3种结果，再将四门不同学科分成两堆， C=3种结果，将学科分给学生， 有A?=2种结果，所以不同的安排方案共有3×3×2=18种，综合得不同的安排方案共有36+18=54种. 15.【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得 a,=a+6d=-13 a1=-25 a,=4+13d=1,解得d-2， 所以an=a,+(n-1)d=-25+2n-1)）上=2n-27. (2)因为{a,}是等差数列，所以5，=4+，)d.-25m+na-）=m2-26m=n-13}-169. 2 因为neN,所以当n=13时，Sn有最小值-169 16.【详解】(1)过A作AE⊥CD于点E,则DE=1,AE⊥AB, 由于PA⊥平面ABCD,AB,AEC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AE, 以A为原点，AE,AB,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(0,1,0),E(22,0,0,D(22,-1,0,C(221,0,P(0,0,), 因为N为PD的中点，所以N5引 所以-（点22》丽=(0-，.c-(5.0o0, 答案第3页，共6页 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则 m.BP=-y+z=0 mBC=2v2x=0' 令y=1,则x=0,z=1, B 所以平面PBC的法向量为m=(0,1,1), 因为孤=0，所以N1, 又因为AN丈平面PBC,所以ANI∥平面PBC. (2)由(1)知，AP=(0,0,1),AD=2N2,-1,0,平面PBC的法向量为m=(0,1,1), n.AP=c=0 设平面PAD的法向量为n=(a,b,c),则 n.AD=2√2a-b=01 故可设i=25.叭.所以os血，列- m·n2√22 m:z√2x33' 一 故平面PD与平面P8C所成锐二面角的余弦值为子 17.【详解】(1)因为f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R),则f'(x)=3x2-2ax, a=3 由已知条件得 f'(2)=12-4a=0 2)=8-4+6=-4解得6=0所以f)=r-3x, (2)由(1)知，f(x)=x3-3x2,f(x)=3x2-6x, 由f'(x)=0可得x=0或x=2,列表如下： [-1,0) 0 [0,2] 2 (2,3] f'(x) + 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区间[0,2上单调递减，在区间(2,3]上单调递增， 所以，函数f(x)在区间[-1,3]上的极大值为f(0)=0,极小值为f(2)=-4, 又因为f(-1)=-4,f(3)=0, 故函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值为0，最小值为-4，所以值域为[-4,0] 答案第4页，共6页 [2c=2V5 「a2=4 18.【详解】(1)由题意可得a+b=5,解得b2-1,故椭圆的方程为 4+21: a2=b2+c2 c2=3 x2 (2)设M(x,y)、N(x2,2),联立 +y2=1 4 消去y可得5x2+8x+4m2-4=0, y=x+m 5’54m2-4 △=64m2-20(4m-4)=165-m2）>0,即m2<5,5+5=-80, 5 点O到直线1：y=x+m距离d= 则S方分要水下+广* y B 5 5 O 2 当且仅当m2-,即m=士0时，等号成立， 2 故△MON的面积的最大值为1，此时直线的方程为y=x±0 2 19.【详1当a1时、)-号+h+2x+分所以-x+2.所以r0=1+2-4, 1 又0-+n1+2x1+片3.所以前线y=国在点，/0)处的切线方程为y-3=4(:- 即4x-y-1=0. 2)血f)-ar-6-1-号，得f=x-g-(a-)-a--a-+, 函数f(x)的定义域为(0，+o∞)， 若a≤0，可得x∈(0，+o)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增； 若a>0时，当x∈(0，a)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减： 当x∈(a,+o)时，f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增； 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增. 答案第5页，共6页 可哨a>0时，区有极小值，极小值为f@)号ana-(a-)a号 极水值也是最小值，由f20,可得-？-ana+0,-a-2na 2 又a>0,所以1-a-2lna≥0. 令g(a)=1-a-2na,求导得g(@)=-1-2<0, a 所以g(a)在(0，+∞)上单调递减，又g()=1-1-2ln1=0, 当ae(0,1)时，g(a)>g(1)=0,当a∈(1，+oo)时，g(a)<g(=0, 所以a∈(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0，所以a的取值范围(0，. 答案第6页，共6页 石屏一中2025—2026学年下学期 高2027届高二期中考试卷 数 学 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 4.本卷命题范围：人教A 版必修第一、二册，选修第一、二册，选修三第六章。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若有一组数据为6，6，5，5，4，4，3，2，1，则该组数据的平均数为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 4．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 5．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线斜率小于零 B．的极值点有 3个 C．在区间上单调递减 D．3是的极小值 8．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，，下列选项正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与圆相切，则_______________. 13．在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 14．从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种． 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分) 已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 16． (本小题满分15分) 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17． (本小题满分15分) 已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 18． (本小题满分17分) 已知椭圆的焦距为，其左顶点为A，上顶点为B，且． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 19． (本小题满分17分) 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石屏一中2025—2026学年下学期 高2027届高二期中考试卷 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D B D A A BCD AB 题号 11 答案 AC 1．C【详解】平均数为. 2．B【详解】由，得. 3．C【详解】：由题可得令,则所以 4．D【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得. 5．B【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 6．D【详解】由，可得，故，由，可得，故， 则. 7．A【详解】由函数的图象，可得，所以曲线在处的切线斜率小于零，所以A正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 且是函数的极小值，所以函数只有两个极值点，所以B，C，D都错误. 8．A【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为. 9．BCD【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10．AB【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 11．AC【详解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 12．8【详解】圆的圆心为，半径为，依题意，，所以. 13．【详解】，，，，解得：，，. 14．54 【详解】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人， 让他担任两门学科的课代表，有种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果，所以不同的安排方案共有种， ②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来， 有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生， 有种结果，所以不同的安排方案共有种，综合得不同的安排方案共有种． 15．【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16．【详解】（1）过作于点，则，， 由于平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2）由（1）知，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 故可设，所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17．【详解】（1）因为，则， 由已知条件得，解得，所以， （2）由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为，所以值域为. 18.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为； （2）设、，联立，消去可得， ，即，，， 点到直线距离， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积的最大值为，此时直线的方程为. 19．【详解】（1）当时，，所以，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由，得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足，所以a的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $