精品解析：云南红河州第一中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学试卷

红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考试 数学 试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 5. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 7. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 若，则的面积为 C. 若，则的周长为 D. 若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为 11. 已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 异面直线与所成角的正切值的取值范围是 D. 三棱锥的外接球球心为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______. 13. 已知，则的值为______. 14. 已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且． （1）求角A的大小； （2）若，三角形面积，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 17. 某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 18. 已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 19. 若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题： （1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明） （2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值； （3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考试 数学 试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合数轴，由交集运算即可求解. 【详解】在数轴上分别标出集合，所表示的范围，如图所示， 由图可知，． 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故其虚部为. 4. 函数的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用二倍角公式化简即可. 【详解】，所以. 5. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 6. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 7. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标与圆的半径，利用勾股定理可得出直线截圆所得的弦长，结合弦长为定值可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线截圆所得的弦长为为定值， 所以，即，解得. 故选：D. 8. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，    排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式即可求解. 【详解】由等比通项公式得：， 又因为，所以， 故A正确，B错误； 再由， 所以，故C正确，D错误； 故选：AC. 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 若，则的面积为 C. 若，则的周长为 D. 若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、标准方程、几何性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：因为双曲线方程为，所以. 所以双曲线的离心率为，A正确； 对于B：不妨设点在双曲线右支上，则根据双曲线的定义，①， 因为，则根据勾股定理得②， 由①式取平方减去②式，可得，即得， 则的面积为，B错误； 对于C：因为，所以点在双曲线右支上，因， 建立解得，所以的周长为，C正确； 对于D：因为双曲线方程为，则其渐近线方程为. 因为直线：与双曲线无交点，则当时，；当时，； 故直线的斜率的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 异面直线与所成角的正切值的取值范围是 D. 三棱锥的外接球球心为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可. 【详解】对于A，设长方体的外接球半径为， 由长方体性质得， 由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确， 对于B，如图，在长方体中， 以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，，， 因为点为的中点，所以， 则，，设面的法向量为， 可得，令，解得，故， 因为为底面（含边界）内一个动点， 所以设，则， 因为平面，所以， 得到，化简得， 当时，，不符合题意，当，时，符合题意， 则的轨迹是点与点之间的线段， 由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确， 对于C，因为，所以，此时变为， 由题意得，，则，， 设异面直线与所成角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 则，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，可得， 即，故C错误， 对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得， 且，，，，设，半径为， 则外接球的方程为， 将代入方程，得到， 将代入方程，得到， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减可得，解得， 则，由两点间距离公式得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：. 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故. 14. 已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】因为正方体能在圆锥内部任意转动，所以正方体的外接球是圆锥的内切球，根据正方体棱长求出其外接球的半径的最大值，设圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥内切球的性质，建立h与r的关系式，结合圆锥容积公式，将容积表示为关于单一变量r的函数，再利用求函数最值的方法（导数法）求容积的最小值. 【详解】因为正方体在圆锥容器内部能任意转动，所以正方体的外接球在圆锥容器内部能任意转动， 又正方体的最大棱长为，所以外接球的半径的最大值， 此时正方体的外接球内切于圆锥容器，轴截面图如图所示， 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则， 由，得，则， 得，整理得， 所以圆锥容器的容积. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故圆锥容器的容积的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且． （1）求角A的大小； （2）若，三角形面积，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件，利用平面向量数量积的坐标运算可得，再逆用两角和的余弦公式及诱导公式化简，即可求解； （2）由，可得，又由余弦定理可得，再利用配方法即可求解. 【详解】解：（1）∵＝，＝，且， ∴ ， ∴，即， ∴，又， ∴； （2）∵， ∴， 又由余弦定理得， ∴16＝， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）取的中点，连接，易证平面，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，易知平面的法向量为，由求解. 【小问1详解】 平面平面，且平面平面，，平面， 平面，又平面， ∴，又且，平面， 平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， ，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面， ，又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 易知平面的法向量为，. 而二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为. 17. 某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】（1）甲； （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. 【小问2详解】 甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 18. 已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）．离心率为． （2）存在，， ． 【解析】 【分析】（1）根据短轴长，，，可得出的等量关系求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．又因为，所以．设直线的方程为，直线的方程为，联立消可得，设，得出，，表示出斜率，得出直线的方程为，即可判断恒过定点问题， 当为中点时，对与的位置关系进行分类讨论． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得 所以椭圆的方程为．离心率为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为零． 又因为，所以． 因为， 所以直线的方程为，直线的方程为． 由可得． 设，则． 所以． 同理可得：． 因为， 所以直线的方程为， 即． 所以直线过定点． 当为中点时， 因为点是过点作直线的垂线的垂足， 所以当与重合时，． 当与不重合时，根据直角三角形的性质，． 所以当为的中点时，即时，的长度为定值． 19. 若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题： （1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明） （2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值； （3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明：. 【答案】（1）是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数； （2）函数在上是上凸函数，证明见解析；最大值为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合二次函数、对数函数及指数函数的性质和函数凹凸性的定义，即可得答案； （2）根据函数凹凸性的定义，结合三角恒等变换及三角函数的性质，即可完成证明；利用基本不等式及三角形三个内角和为，即可求出最大值； （3）设的半周长为，利用海伦公式，转化为证明，结合基本不等式证明即可. 【小问1详解】 根据二次函数、对数函数及指数函数的性质可知： 是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数； 【小问2详解】 函数在上是上凸函数，证明如下： 任意， 又因为 则 ， 因为， 所以， 所以，且， 所以， 即， 所以， 所以函数在上是上凸函数； 由题意可得， 又因为， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； 【小问3详解】 证明：设的半周长为， 因为， 所以 所以 ， 因为， 所以 所以， 即， 要证明， 即证明. 即， 即， 即， 即， 由基本不等式可得， 又因为， 所以， 即， 即， 上式成立，故(当且仅当时，等号成立). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $