云南红河州中央民族大学附属中学红河州实验学校2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试卷

**基本信息** 立足高二核心知识，融合研学活动、企业生产等真实情境，通过梯度化问题设计考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、函数|第5题以研学方向教师分配考查排列组合，体现文化传承情境| |多选|3/18|数列、统计、圆|第10题综合方差、二项分布、正态分布，强化数据分析能力| |填空|3/15|三角恒等变换、二项式定理、欧拉函数|第14题引入欧拉函数，渗透数学文化| |解答|5/77|三角函数、椭圆、立体几何、概率统计、导数|第18题以零件检测为背景考查超几何分布与期望，第19题导数证明体现逻辑推理深度|

2026年（春季学期）中央民族大学附属中学红河州实验学校 高二年级期中质量监测·数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 3．已知向量和向量的夹角为，且，则的值为 A．1 B． C．2 D． 4．已知函数，则 A．0 B．1 C．2 D．4 5．某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为 A．240 B．360 C．600 D．320 6．四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 7．已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为 A． B．或 C． D．或 二､多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设等差数列的前项和为，若，则 A．数列的公差小于0 B．数列的公差与数列的公差相等 C．中最大 D．使得的正整数的最小值为22 10．下列结论正确的是 A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 11．已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则 A．过点与圆相切的直线有两条 B．点在直线上运动 C． D．的最大值为 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分. 12．已知，则_________. 13．若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 14．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)求的最小正周期及最大值； (2)记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长. 16．已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 17．如图，在三棱柱中，，，，. (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 19．已知函数（其中为参数）． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意都有成立，求实数的取值集合； (3)证明：（其中，为自然对数的底数）． 参考答案 一、单选题 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】，所以. 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故的虚部为. 3．已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 4．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】 ． 5．某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向．学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．240 B．360 C．600 D．320 【答案】A 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下三个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：A 6．四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 7．已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由， 设， 所以函数是实数集上的减函数， ， 所以不等式的解集为. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据方程可得，根据题意可得为的角平分线，结合角平分线性质可得，设，可得，代入椭圆方程可得，进而可得和离心率. 【详解】由题意可知：，则，， 因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，， 因为，则，解得，即， 则，解得，即， 则，则，即， 所以椭圆C的离心率. 二、多选题 9．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列的公差小于0 B．数列的公差与数列的公差相等 C．中最大 D．使得的正整数的最小值为22 【答案】AC 【详解】由​，可得：, ，则， 所以数列的公差，故A正确； 等差数列前项和 ，因此， 即公差为的等差数列，与原数列公差不相等，故B错误； 由，，，可知等差数列前11项均为正，从第12项开始为负，因此最大，故C正确； 利用等差数列求和公式计算可得， ，， 因此要使的正整数的最小值为，不是，故D错误. 10．下列结论正确的是（    ） A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【详解】选项A，样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，A错误 选项B，方差，因为，故样本均值,样本总和，B正确 选项C，若，则，根据期望性质，得，C正确 选项D，正态分布的对称轴为，由对称性得，则，D正确 11．已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（   ） A．过点与圆相切的直线有两条 B．点在直线上运动 C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】将点代入圆的方程即可判断A；易得，再利用勾股定理即可判断C；根据求出两点横纵坐标的关系，再结合为线段的中点求出点的轨迹方程，即可判断C；由，当最小时，最大，结合B选项求出的最小值，即可判断D. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，因为， 所以点在圆外， 所以过点与圆相切的直线有两条，故A正确； 对于C，因为为线段的中点，所以， 所以，故C正确； 对于B， ， 所以， 而， 所以， 所以点在直线上运动，故B错误； 对于D，由， 当最小时，最大， 而最小值为到的距离为， 此时Q在圆的内部， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知，则_________. 【答案】 【分析】根据与之间的关系，结合诱导公式，可得结果. 【详解】因为 所以 又 所以 故答案为： 13．若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 14．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 【答案】 【详解】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， 则，即， 所以集合 当时，集合为，则； 当时，集合为，则； 当时，，则， 综上所述，， 设数列前项和为， 当时，； 当时， 显然满足上式，则. 四、解答题 15．已知函数. (1)求的最小正周期及最大值； (2)记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长. 【答案】(1)，1 (2)，， 【分析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，根据最小正周期公式和三角函数的最值求解即可；（2）依题意，求出角，根据正弦定理，求出角，根据三角形内角和为，求出角，再次利用正弦定理求出边长. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为，最大值为1. （2）因为且，所以， 在中，由正弦定理，解得， 因为，所以， 所以，， 由正弦定理，解得. 16．已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 17．如图，在三棱柱中，，，，. (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，根据勾股定理逆定理得到，结合证明出线面垂直； （2）先由线面垂直得到线线垂直，得到二面角的平面角为，求出各边长，得到为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出答案. 【详解】（1），，， 由余弦定理得， ， ，， 又，，平面， 平面； （2）方法一：平面，平面， 且， 二面角的平面角为，而， ，为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由，，，， 设平面的一个法向量， ， 解得，令，则，故， 设与平面所成角为， . 方法二：因为平面，又平面，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，因为，，所以．故是等边三角形 所以． 在三棱柱中，，又平面，所以平面， 又平面，所以．故为直角三角形． 在直角中，因为，，所以，故． 设点到平面的距离为，由， 得，解得． 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) (3)随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 19．已知函数（其中a为参数）． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意都有成立，求实数a的取值集合； (3)证明：（其中，e为自然对数的底数）． 【答案】(1)当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是； (2) (3)详见解析； 【分析】（1）求导，分，，讨论求解； （2）由（1）得，根据对任意都有成立，由求解； （3）设设，结合，证明数列是递增数列， 是递减数列即可. 【详解】（1）解：因为函数，定义域为， 所以， 当时，，函数在上递增； 当时，令，得， 当时，，函数在上递减； 当时，，函数在上递增； 所以当时，函数的单调增区间是，无减区间； 当时，函数的单调增区间是，减区间是； （2）当时，在上递增，又，当时，，所以不成立； 当时，由（1）得， 因为对任意都有成立， 所以， 令， 则，令，得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 所以实数a的取值集合是； （3）由（2）知：， 令，则， 即，则， 所以， 由（2）知：， 令，则， 即，则， 所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由，分别令， 而得解. . 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $