实际问题与函数知识点分类考前冲刺专题提升训练2026年数学中考

**基本信息** 聚焦函数实际应用，以一次、反比例、二次函数为模块，通过生活情境题构建“建模-推理-应用”方法体系，强化数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数|5题|图像分析、方程组建模、一次函数最值（单调性）|从行程、成本问题切入，建立“实际情境→函数关系→性质应用”逻辑链| |反比例函数|6题|待定系数法、图像性质（增减性）、几何综合|结合浓度、温度等情境，深化“变量关系→反比例模型→实际意义”推导| |二次函数|9题|抛物线建模、最值（顶点式）、动态几何综合|通过隧道、运动轨迹等复杂情境，构建“几何抽象→二次函数→优化决策”应用链|

2026年春九年级数学中考二轮复习《实际问题与函数》 知识点分类考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、实际问题与一次函数 1．小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)公园离家的路程为__________m；小莉在公园停留的时间为__________； (2)求小莉从家出发到公园的速度？ (3)当小莉距离公园时，求的值． 2．某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 3．如图是某种新能源汽车在一次充电过程中，先慢充，再快充，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像．已知慢充收费元，快充收费元，且该汽车电池在同一种模式下的充电功率不变． （充电功率充电电量） (1)该汽车电池的慢充功率为________，快充功率为________； (2)若该汽车电池现有电量，准备先慢充，再快充，使得总电量达到，且充电时间不超过小时．设总共收费元，求关于的函数关系式以及的最小值． 4．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 5．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 二、实际问题与反比例函数 6．在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 7．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的反比例函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 9．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 10．【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 11．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 三、实际问题与二次函数 12．信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 13．在我国古代，有一种利用水流计时的“水钟”，其内部的浮标高度h随时间t变化的轨迹可以近似看作一条抛物线．某兴趣小组对其进行了数学建模：在平面直角坐标系中，设水钟底部为原点，浮标初始位置为，浮标上升到的最高点坐标为，水钟右侧的刻度线是一条从原点出发的斜坡，其终点A的坐标为，在A处有一个高度为1的警示柱． (1)求浮标高度h随时间t变化的抛物线解析式；（不要求写出自变量t的取值范围） (2)通过计算说明浮标在运动过程中能否达到或超过警示柱的顶端； (3)当浮标在刻度线的上方，且浮标到刻度线的竖直距离为2时，求对应的横坐标t的值． 14．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出的取值范围． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 15．某超市购入一批进价为15元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：售价不低于进价时，日销售量y（单位：盒，）与售价x（元/盒）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 售价x（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量y（盒） 54 50 46 38 30 (1)写出y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）； (2)该超市在本次糖果销售中： ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 16．如图1所示，掷沙包是一种传统游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可近似看作一条抛物线，为了精准分析沙包的运动情况，小丽用所学的数学知识设沙包飞行的水平距离为x（单位：米），相对应的飞行高度为y（单位：米），建立平面直角坐标系，并作出平面示意图（如图2），长方形为篮筐截面图，x轴经过篮筐底面中心，并与其一组对边平行．已知篮筐距离原点水平距离米，篮筐截面底边米，高米，现小明站在原点O，将沙包从距离水平地面米高的P处抛出，小丽记录此次沙包运动的抛物线为，观测发现，当沙包飞到离出手点P水平距离2米处时，离地面高度到达最大高度米．（小明及篮筐所在地面在同一平面内，且沙包的形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的表达式； (2)请你判断小明抛出的沙包能否投入篮筐； (3)若篮筐沿x轴正方向水平移动m米，为了让沙包刚好能投入篮筐的中心位置，小明调整出手轨迹为抛物线，且的形状与完全相同、最大高度不变，请直接写出抛物线的表达式．（用含m的式子表示） 17．项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 18．某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 19．综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 20．综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 参考答案 1．（1）解：由图像可知，公园离家的路程为， 小莉在公园停留的时间为． （2）解：小莉从家出发到公园的速度为． （3）解：当时，设， 将代入得：， 解得：， ， 当小莉距离公园时，， ， 解得：， 当时，设， 将和代入得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：， 或 ． 2．(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 3．(1)； (2)，的最小值为元 【分析】（1）根据充电功率的意义求解即可； （2）根据“总收费慢充收费快充收费”列出关于的函数关系式，根据“充电时间不超过小时”列出关于的不等式组并求出解集，然后根据一次函数的性质及的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴该汽车电池的慢充功率为，快充功率为； （2）解：∵慢充功率为，慢充收费元，快充功率为，快充收费元， 且先慢充，再快充， ∴慢充电量，慢充电费为：（元）， ∴快充电量，快充电费：（元）， ∴， ∵慢充时间是x小时， ∴快充时间为小时， 又∵充电总时间不超过小时， ∴， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， ∴当时，（元）， ∴关于的函数关系式为，的最小值为元． 4．(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 5．(1)每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元 (2)最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 【分析】（1）设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元，求出，再结合题意列出一元一次不等式得出的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元． 根据题意得， 解方程组得， 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元； （2）解：设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元． ， 购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的， ， ， 智能计数跳绳和标准实心球均需购买， ，且为正整数． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值． 此时，． 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元． 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 6．(1) (2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【详解】（1）解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 7．(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 8．(1) (2)火焰的像高为 (3)至少是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答； （2）把代入中，进行计算即可解答； （3）当时，，再利用反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，把，代入中， 解得． y关于x的函数表达式为． （2）解：把代入中，解得． 火焰的像高为． （3）解：当时，． 由的图象可得，当时，y随x的增大而减小， 若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是． 9．(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 10．(1)图见解析； (2)托盘中砝码的质量为 (3)托盘应该向左移动 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． （2）解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； （3）解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． 11．(1)； (2)米； (3)符合安全设置要求，理由见解析； (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 12．(1)， ； (2) (3)且． 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为； （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故； （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故且． 13．(1) (2)不能达到或超过 (3)0或7 【分析】（1）根据题意抛物线解析式为，代入点C坐标即可解答； （2）把代入（1）中所求抛物线解析式，求得此时的h值，与点B的纵坐标比较即可得； （3）先利用待定系数法求得线段的解析式，然后根据浮标到刻度线的竖直距离为2，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线解析式为．（一般形式：）； （2）解：把代入中得： ， ， 浮标在运动过程中不能达到或超过警示柱的顶端． （3）解：设线段的解析式为， 则，解得， 线段的解析式为， 浮标在的上方且竖直距离为2， ， 即， 解得，， 对应的的值为0或7． 14．(1) (2) (3)当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏的总长度为可得关系式，再根据墙的长度和栅栏的长度建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 其中， ∴； （2）解：当时，则， 整理得， 解得或（舍去）， ∴当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：由题意得， ∵， ∴当时，S随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是． 15．(1) (2)①售价应定为25元/盒或35元/盒；②售价定为30元/盒时，每天能够获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据每天获得的利润（售价进价）日销售量建立方程求解即可；②设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润（售价进价）日销售量列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设出y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：①由题意得，， 整理得， 解得或， 答：售价应定为25元/盒或35元/盒； ②设每天获得的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为450， 答：售价定为30元/盒时，每天能够获得最大利润． 16．(1) (2)能 (3) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解； （2）分别求出函数值进行比较即可； （3）根据题意中心位置坐标为，设的表达式为，将点的坐标代入得出，然后得出解析式． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为． ∵抛物线经过点， ． ． ∴抛物线的表达式为，即； （2）解：能， 理由：米，米，米， 当时，； 当时，； 当时，． ∴沙包在飞行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的沙包能投入篮筐； （3）解：根据题意得，篮筐原中心位置坐标为，沿x轴正方向水平移动m米后篮筐新的中心位置坐标为， 的形状与完全相同、最大高度不变， ∴设的表达式为， 将代入得， 解得或． ∵顶点需在出手点与篮筐之间， 不合题意，舍去，则． ∴所求的表达式为． 17．(1) (2) (3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【详解】（1）解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； （3）解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 18．(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 19．（1）①5；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）分当和当时，即可求解； （4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：5；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）当时，， 则时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 则时，， 解得或； 当时，，此时， 当时，，此时， ∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或； 故答案为：0或1；或； （4）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 20．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案； （3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可． 【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ， 令， 解得：，， ∴，， ∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度； （3）解：令， 解得：，， 令， 解得：，， ∴该沙发的长度最大值为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $