专题06 一次函数（期末复习讲义，7知识8重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题06 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一次函数、正比例函数概念判定 题型02 一次函数图象与象限、增减性 题型03 一次函数图象平移 题型04 待定系数法求函数解析式 题型05 一次函数与坐标轴交点+围成面积 题型06 一次函数与方程、不等式结合 题型07 一次函数实际应用（期末必考大题） 题型08 一次函数几何综合压轴 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数定义 掌握定义，能判断函数类型，牢记k≠0。 必考，选择/填空，易错点：忽略k≠0。 图象与性质 会画图、判性质，掌握平移规律，运用数形结合。 必考，各类题型，常结合图象考查。 待定系数法求解析式 掌握步骤，能根据不同条件灵活求解析式。 必考，解答题，易错点：代入失误、忽略k≠0。 与方程、不等式关系 理解关联，能利用图象求解方程、不等式。 常考，各类题型，侧重数形结合。 实际应用 能建立模型，解决实际问题，体会建模思想。 必考，压轴题，易错点：忽略自变量范围。 与几何综合 掌握解题思路，提升综合分析能力。 选考，压轴题，侧重综合应用。 知识点01 一次函数、正比例函数概念 1. 一次函数：形如（k、b为常数，），自变量x次数为1。 实例：（k=2，b=1）、（k=-1，b=-3）。 2. 正比例函数：形如（k为常数，），是特殊的一次函数（b=0）。 实例：、。 3. 判断关键：①k≠0；②x次数为1；③正比例函数需b=0。 知识点02 一次函数的图象与性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 实例：（k>0,b>0）→一、二、三象限，y随x增大而增大；（k<0,b<0）→二、三、四象限，y随x增大而减小。 |k|的意义：|k|越大，直线越陡（靠近y轴）；|k|越小，直线越平缓（靠近x轴）。 知识点03 一次函数图象平移规律 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量（仅对x） 上下平移：向上移m个单位→；向下移m个单位→。 实例：向下平移3个单位→。 左右平移：向左移m个单位→；向右移m个单位→。 实例：向右平移2个单位→。 知识点04 待定系数法求解析式 1. 设：设（k≠0），正比例函数设。 2. 代：代入2个点坐标（正比例函数1个点），列方程组。 3. 解：求k、b的值。 4. 写：写出解析式，注明自变量范围。 实例：已知一次函数过(0,1)、(1,3)，求解析式。 解：设，代入得，解得k=2，b=1，解析式为。 知识点05 一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程：的解→直线与x轴交点的横坐标。 实例：与x轴交点(2,0)→方程的解为x=2。 2. 与一元一次不等式： 的解集→直线在x轴上方部分对应的x范围； 的解集→直线在x轴下方部分对应的x范围。 3. 与二元一次方程组：方程组的解→两直线的交点坐标。 知识点06 一次函数与几何面积 直线与坐标轴围成的三角形面积：（为x轴截距，b为y轴截距）。 实例：，与x轴(2,0)、y轴(0,-4)，面积。 知识点07 一次函数实际应用 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 题型一 一次函数、正比例函数概念判定 解｜题｜技｜巧 1. 自变量次数必须为1 2. 一次项系数绝对不能为0 3. 正比例函数同时满足：次数1、系数≠0、常数项=0 易｜错｜点｜拨 1. 只看次数忽略，直接漏限制条件 2. 含字母参数题，忘记分类舍去矛盾解 3. 形如、误判为一次函数 【例1】（2025秋•兰州期末）下列关于x的函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝2x2+2 B． C．y＝x2 D．y＝x+2 【变式1-1】（2025春•西华县期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝﹣x B．y＝1﹣2x C． D．y＝2x2 【变式1-2】（2025秋•安庆期末）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 　　 ． 【变式1-3】（2025秋•蕉岭县期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　　 ． 题型二 一次函数图象与象限、增减性 解｜题｜技｜巧 1. ：y随x增大增大，直线从左下到右上 2. ：y随x增大减小，直线从左上到右下 3. ：交y轴正半轴；交y轴负半轴 4. 比函数值：直接看k，不用代值计算 易｜错｜点｜拨 1. k正负搞反，增减性判断颠倒 2. 混淆b决定y轴交点，错用k判断上下 3. 已知两点横坐标大小，选错函数值大小 【例2-1】（2025秋•响水县期末）已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025秋•安徽期末）若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 【变式2-1】（2025秋•蒙城县期末）直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣mx﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025春•宝山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么下列说法错误的是（　　） A．k＜0 B．b＝3 C．当x＞2时，y＞0 D．当y＞3时，x＜0 【变式2-3】（2025秋•新城区校级期末）若点（﹣1，y1），（2，y2）在一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象上，且y1＞y2，则下列k的值可能为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 一次函数图象平移 解｜题｜技｜巧 1. 上下平移：只变b，k不变 2. 左右平移：只改x，必须加括号 例：左移m个单位 易｜错｜点｜拨 1. 左右平移不加括号，直接给常数项加减 2. 平移方向搞反：左减右加、上加下减记混 3. 多条直线平移先后顺序出错 【例3】（2025秋•新民市期末）若一次函数y＝3x+4的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向下平移4个单位 D．向上平移4个单位 【变式3-1】（2025春•海西州期末）将一次函数y＝3x的图象沿y轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为（　　） A．y＝3x+4 B．y＝3x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4 【变式3-2】（2025春•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为　　 ． 【变式3-3】（2025春•临沧期末）将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 　 　 （写出一个即可）． 题型四 待定系数法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 1. 设：设对应函数表达式 2. 代：代入已知点坐标 3. 解：解方程组求k、b 4. 写：写出最终解析式 易｜错｜点｜拨 1. 代入坐标时代反x、y数值 2. 计算方程组出错，k、b符号写错 3. 实际题型忘记标注自变量取值范围 【例4-1】（2025春•宜宾期末）某一次函数的图象与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（　　） A．y＝﹣2x B．y＝x﹣1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x+1 【例4-2】（2025秋•长兴县期末）已知y是x的正比例函数，当x＝3时，y＝﹣6，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C．yx D．yx 【变式4-1】（2025春•环江县期末）如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线AC交y轴于点C，则直线AC的解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025秋•枞阳县期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 【变式4-3】（2025春•德州期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（2，1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象的交点位于直线x＝﹣1的右侧，直接写出m的取值范围． 题型五 一次函数与坐标轴交点+围成面积 解｜题｜技｜巧 1. 求y轴交点：令x=0，求y 2. 求x轴交点：令y=0，求x 3. 面积公式： 易｜错｜点｜拨 1. 求截距不带绝对值，面积出现负数 2. 分不清x轴、y轴截距，底高代错 3. 多条直线组合图形不会用割补法 【例5】（2025秋•临平区期末）如图，直线l1：y＝k1x+6与直线l2：y＝k2x+b相交于点A（﹣3，3），l1交y轴于点B，l2交y轴负半轴于点C，且OB＝2OC． （1）求直线l1和l2的解析式； （2）若D是直线l1上一点，且△BCD的面积是9，求点D的坐标． 【变式5-1】（2025秋•宝应县期末）如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在直线l上，连接OC． （1）求直线l的解析式； （2）P为x轴上一动点，若△ACP的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式5-2】（2025春•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点C（m，4）． （1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【变式5-3】（2025秋•临淄区期末）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 一次函数与方程、不等式结合 解｜题｜技｜巧 1. 的解 = 直线与x轴交点横坐标 2. 解集 = 直线在x轴上方对应x范围 3. 两直线方程组的解 = 两直线交点坐标 4. ：找上方直线对应x取值 易｜错｜点｜拨 1. 不等式解集写反大小方向 2. 混淆交点横纵坐标对应方程解 3. 区间端点取舍错误（含等号/不含等号） 【例6】（2025秋•莱州市期末）如图，直线y＝mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【变式6-1】（2025秋•萧县期末）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【变式6-2】（2025秋•榕城区期末）一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论： ①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2； ②； ③方程组的解为； ④四边形AODP的面积为．正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式6-3】（2025秋•兰州期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 题型七 一次函数实际应用（期末必考大题） 解｜题｜技｜巧 1. 方案对比：列两个函数，作差比较大小 2. 最值问题：自变量最小取最小值，自变量最大取最小值 3. 行程图象：横时间、纵路程，抓起点、拐点、交点、终点 易｜错｜点｜拨 1. 脱离实际，自变量取负数、小数（人数、件数为整数） 2. 利润、费用等量关系列错 3. 不会利用k的正负快速判断最大最小值 【例7-1】（2025春•威远县校级期末）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【例7-2】（2025春•永年区期末）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间t（h）的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段BC所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【变式7-1】（2025春•罗庄区期末）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为　 　 ； （2）当时，求y与x之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【变式7-2】（2025春•望奎县期末）在一条直线上的甲、乙两地相距240km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离y（km）与两车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求慢车停车之后再次行驶时，与甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）直接写出两车出发多长时间后，相距60km？ 【变式7-3】（2025秋•法库县期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2） 某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 题型八 一次函数几何综合压轴 解｜题｜技｜巧 1. 动点问题：设动点坐标，代入直线解析式 2. 等腰三角形：三分法两两相等分类讨论 3. 直角三角形：按直角顶点分类 4. 平行四边形：利用坐标平移规律求解 易｜错｜点｜拨 1. 分类讨论不全，漏掉一种情况 2. 坐标运算符号出错 3. 舍去不符合题意的解不彻底 【例8-1】（2025秋•兴宁市期末）【探索发现】 如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线y＝kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若k＝﹣2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：OA＝　　 ，OB＝　　 ； ②求点E的坐标． （2）如图3，若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，OM＝16，将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若k＝﹣2，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【例8-2】（2025秋•金寨县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的函数解析式及MH的长； （2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形PBM？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由． 【变式8-1】（2025春•泗县期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ，设点P运动的时间为t秒． （1）直接写出点C的坐标为 　 　 ． （2）如图2，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥x轴于H．证明：△PDG≌△CQH． （3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值． 【变式8-2】（2025春•开封期末）数学活动课上，兴趣小组利用图①验证勾股定理：等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线l上，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，易证得：△ADC≌△CEB（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”． 问题探究：（1）如图②，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，4），则点B的坐标为 　 　 ； 问题深化：（2）如图③，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴交于点C、点A，过点C作BC⊥AC于点C，且BC＝AC，作直线AB，求直线AB的解析式； 拓展应用：（3）如图④，在（2）的条件下，若点E为线段AB中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2025春•巴南区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线l2：y＝kx交于点C（2，4）．点D（4，0）是x轴上一点，过点D作x轴的垂线交l1于点E，交l2于点F． （1）求直线l1，l2的函数解析式； （2）如图2，点P是线段EF上一动点，连接AP，PC，点M，N均为y轴上的动点，且点M在点N的上方，MN＝1．当S△APC＝6时，求点P的坐标及PM+MN+AN的最小值； （3）如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，O，P，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-4】（2025春•雷州市期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025春•密云区期末）已知（k，b）为第二象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•石家庄期末）已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8吨，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（　　） A．y＝0.3x+5（0≤x≤8） B．y＝5x+0.3（0≤x≤8） C．y＝0.3x﹣5（0≤x≤8） D．y＝5﹣0.3x（0≤x≤8） 3．（2025秋•贵州期末）如图，P（0，3）为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线PM的函数表达式为y＝kx+b，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（2，0） D．（3，0） 4．（2025秋•乐平市期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（　　） A．B．C． D． 5．（2025春•象州县期末）一次函数y＝kx+2k﹣1的图象一定经过定点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 6．（2025秋•沈河区期末）已知一次函数，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是 　 ． 7．（2025秋•中原区校级期末）如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是 　 　 ． 8．（2025秋•太平区期末）如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　　 时间就追上甲． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025秋•北仑区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025春•孝义市期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线BC交y轴于点C（0，1），若反射光线BC的函数关系式为，则入射光线AB的函数关系式为 　 ． 3．（2025秋•济南校级期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为　　 min． 4．（2025春•武安市期末）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以a（m/s）的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度y（m）与时间x（s）之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值． 5．（2025秋•青山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与一次函数y＝x+7的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点P（m，0）． （1）求点A的坐标． （2）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数y＝x+7的图象于点B，C，连接OC． ①线段BC的长为　 　 （用含m的代数式表示）． ②若，求△OBC的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025秋•天桥区期末）定义：形如的函数称为正比例函数y＝kx（k≠0）的“分移函数”，其中b叫“分移值”． （1）①函数y＝x的“分移函数”为，其中“分移值”为3，在图1中画出其图象； ②已知点（1，2k）在y＝kx（k≠0）的“分移函数”的图象上，则k＝ 　　 ； （2）已知点P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）在函数y＝2x的“分移函数”的图象上，则m的值是 　　 ； （3）已知矩形ABCD顶点坐标为A（1，0），B（1，2），C（﹣2，2），D（﹣2，0）．函数y＝kx的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形ABCD恰好有2个交点，直接写出k的取值范围． 2．（2025春•雨花区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A在y轴上，点B在x轴上，边AB所在直线的函数解析式为y＝3x+12． （1）求点A，B的坐标； （2）如图1，若点C的坐标为（16，0），点M为AD的中点，点N为边AB上一点，连接MC、MN、CN，满足MC＝MN，求CN的长； （3）如图2，若点C的坐标为，点E、F分别为边AD、BC上的点，连接AF，点A关于直线EF的对称点G恰好落在x轴上，连接EG交CD于点H，点H恰好为CD的中点，且，求直线EF的解析式． 3．（2025春•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线l1：y＝﹣x+b（b为常数）与直线l2：y＝x交点的横坐标为1，点P在直线l1上，点Q在直线l2上，且PQ∥x轴，设点P的横坐标为m（m≠1）． （1）求直线l1对应的函数表达式． （2）当m＝﹣1时，点Q的坐标为　 　 ，线段PQ的长度为　 　 ． （3）以PQ为边作矩形PQMN，使PN＝QM＝2，且点M、N在直线PQ的下方． ①当四边形PQMN是正方形时，求m的值． ②当矩形PQMN被直线l1分成的两部分的面积比为1：2时，直接写出m的值． 4．（2025春•河池期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△OAF的面积时， ①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点P，使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一次函数、正比例函数概念判定 题型02 一次函数图象与象限、增减性 题型03 一次函数图象平移 题型04 待定系数法求函数解析式 题型05 一次函数与坐标轴交点+围成面积 题型06 一次函数与方程、不等式结合 题型07 一次函数实际应用（期末必考大题） 题型08 一次函数几何综合压轴 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数定义 掌握定义，能判断函数类型，牢记k≠0。 必考，选择/填空，易错点：忽略k≠0。 图象与性质 会画图、判性质，掌握平移规律，运用数形结合。 必考，各类题型，常结合图象考查。 待定系数法求解析式 掌握步骤，能根据不同条件灵活求解析式。 必考，解答题，易错点：代入失误、忽略k≠0。 与方程、不等式关系 理解关联，能利用图象求解方程、不等式。 常考，各类题型，侧重数形结合。 实际应用 能建立模型，解决实际问题，体会建模思想。 必考，压轴题，易错点：忽略自变量范围。 与几何综合 掌握解题思路，提升综合分析能力。 选考，压轴题，侧重综合应用。 知识点01 一次函数、正比例函数概念 1. 一次函数：形如（k、b为常数，），自变量x次数为1。 实例：（k=2，b=1）、（k=-1，b=-3）。 2. 正比例函数：形如（k为常数，），是特殊的一次函数（b=0）。 实例：、。 3. 判断关键：①k≠0；②x次数为1；③正比例函数需b=0。 知识点02 一次函数的图象与性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 实例：（k>0,b>0）→一、二、三象限，y随x增大而增大；（k<0,b<0）→二、三、四象限，y随x增大而减小。 |k|的意义：|k|越大，直线越陡（靠近y轴）；|k|越小，直线越平缓（靠近x轴）。 知识点03 一次函数图象平移规律 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量（仅对x） 上下平移：向上移m个单位→；向下移m个单位→。 实例：向下平移3个单位→。 左右平移：向左移m个单位→；向右移m个单位→。 实例：向右平移2个单位→。 知识点04 待定系数法求解析式 1. 设：设（k≠0），正比例函数设。 2. 代：代入2个点坐标（正比例函数1个点），列方程组。 3. 解：求k、b的值。 4. 写：写出解析式，注明自变量范围。 实例：已知一次函数过(0,1)、(1,3)，求解析式。 解：设，代入得，解得k=2，b=1，解析式为。 知识点05 一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程：的解→直线与x轴交点的横坐标。 实例：与x轴交点(2,0)→方程的解为x=2。 2. 与一元一次不等式： 的解集→直线在x轴上方部分对应的x范围； 的解集→直线在x轴下方部分对应的x范围。 3. 与二元一次方程组：方程组的解→两直线的交点坐标。 知识点06 一次函数与几何面积 直线与坐标轴围成的三角形面积：（为x轴截距，b为y轴截距）。 实例：，与x轴(2,0)、y轴(0,-4)，面积。 知识点07 一次函数实际应用 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 题型一 一次函数、正比例函数概念判定 解｜题｜技｜巧 1. 自变量次数必须为1 2. 一次项系数绝对不能为0 3. 正比例函数同时满足：次数1、系数≠0、常数项=0 易｜错｜点｜拨 1. 只看次数忽略，直接漏限制条件 2. 含字母参数题，忘记分类舍去矛盾解 3. 形如、误判为一次函数 【例1】（2025秋•兰州期末）下列关于x的函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝2x2+2 B． C．y＝x2 D．y＝x+2 【解答】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、不是一次函数，故此选项不符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、是一次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2025春•西华县期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝﹣x B．y＝1﹣2x C． D．y＝2x2 【解答】解：A、y＝﹣x，是正比例函数，符合题意； B、y＝1﹣2x，不是正比例函数，是一次函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，是反比例函数，不符合题意； D、y＝2x2，不是正比例函数，是二次函数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（2025秋•安庆期末）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 　　 ． 【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0且|m|＝1， 则m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式1-3】（2025秋•蕉岭县期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　　 ． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 题型二 一次函数图象与象限、增减性 解｜题｜技｜巧 1. ：y随x增大增大，直线从左下到右上 2. ：y随x增大减小，直线从左上到右下 3. ：交y轴正半轴；交y轴负半轴 4. 比函数值：直接看k，不用代值计算 易｜错｜点｜拨 1. k正负搞反，增减性判断颠倒 2. 混淆b决定y轴交点，错用k判断上下 3. 已知两点横坐标大小，选错函数值大小 【例2-1】（2025秋•响水县期末）已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点（b，k）在第四象限， ∴b＞0，k＜0， 当k＜0时，一次函数y＝kx+b经过二、四象限；当b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一象限， 即一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限； 故选：A． 【例2-2】（2025秋•安徽期末）若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2， 即y随x的增大而减小， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1， ∴k的值可能是0． 故选：A． 【变式2-1】（2025秋•蒙城县期末）直线y1＝mx+n2+1和y2＝﹣mx﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵y1＝mx+n2+1，n2+1＞0，所以直线一定与y轴正半轴相交， ∴排除A和B； 对于C选项，可知m＜0， ∴﹣m＞0， ∴C选项可能成立； 对于D选项，可知m＞0， ∴﹣m＜0，另一条直线应该是下降的，故不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（2025春•宝山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么下列说法错误的是（　　） A．k＜0 B．b＝3 C．当x＞2时，y＞0 D．当y＞3时，x＜0 【解答】解：由题意，∵一次函数的图象从左到右逐渐下降， ∴k＜0，故A正确，不合题意． ∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，3）， ∴b＝3，故B正确，不合题意． 结合函数的图象，又∵图象过（2，0），（0，3）， ∴当x＞2时，y＜0，故C错误，符合题意； 当y＞3时，x＜0，故D正确，不合题意． 故选：C． 【变式2-3】（2025秋•新城区校级期末）若点（﹣1，y1），（2，y2）在一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象上，且y1＞y2，则下列k的值可能为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2）在一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象上，且﹣1＜2时，y1＞y2， ∴一次函数y＝（k﹣1）x+b的增减性为：y随x的增大而减小， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1． 四个选项中只有A符合条件． 故选：A． 题型三 一次函数图象平移 解｜题｜技｜巧 1. 上下平移：只变b，k不变 2. 左右平移：只改x，必须加括号 例：左移m个单位 易｜错｜点｜拨 1. 左右平移不加括号，直接给常数项加减 2. 平移方向搞反：左减右加、上加下减记混 3. 多条直线平移先后顺序出错 【例3】（2025秋•新民市期末）若一次函数y＝3x+4的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向下平移4个单位 D．向上平移4个单位 【解答】解：当x＝0时，y＝3x+4＝4， ∴一次函数y＝3x+4的图象与y轴交于（0，4）， ∴当一次函数y＝3x+4的图象向下平移4个单位长度可过原点． 故选：C． 【变式3-1】（2025春•海西州期末）将一次函数y＝3x的图象沿y轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为（　　） A．y＝3x+4 B．y＝3x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4 【解答】解：将直线向下平移4个单位后的所对应的函数解析式是：y＝3x﹣4． 故选：B． 【变式3-2】（2025春•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为　　 ． 【解答】解：由题知， 直线y＝2x+b向上平移5个单位长度后的解析式为y＝2x+b+5， 因为平移后的直线经过原点， 所以b+5＝0， 解得b＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【变式3-3】（2025春•临沧期末）将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 　 　 （写出一个即可）． 【解答】解：由题知， 将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度后，所得直线的函数解析式为y＝3x﹣1+m， 则平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，m﹣1）． 又因为平移后的直线经过第三、第二、第一象限， 所以m﹣1＞0， 解得m＞1， 所以m的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 题型四 待定系数法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 1. 设：设对应函数表达式 2. 代：代入已知点坐标 3. 解：解方程组求k、b 4. 写：写出最终解析式 易｜错｜点｜拨 1. 代入坐标时代反x、y数值 2. 计算方程组出错，k、b符号写错 3. 实际题型忘记标注自变量取值范围 【例4-1】（2025春•宜宾期末）某一次函数的图象与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（　　） A．y＝﹣2x B．y＝x﹣1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x+1 【解答】解：令y＝0， 则y＝﹣2x＝0，解得x＝0； y＝x﹣1＝0，解得x＝1， y＝﹣x+1＝0，解得x＝1， y＝x+1＝0，解得x＝﹣1， ∴一次函数y＝x+1的图象与x轴交于（﹣1，0），在负半轴上， 故选：D． 【例4-2】（2025秋•长兴县期末）已知y是x的正比例函数，当x＝3时，y＝﹣6，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2x B．y＝﹣2x C．yx D．yx 【解答】解：设y与x之间的函数关系式是y＝kx， 把x＝3，y＝﹣6代入得：﹣6＝3k， 解得：k＝﹣2， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x， 故选：B． 【变式4-1】（2025春•环江县期末）如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线AC交y轴于点C，则直线AC的解析式是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于直线， 令x＝0，则y＝8；令y＝0，则，则x＝6， ∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8， ∵， 在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接CB′， ∵∠BAC＝∠B′AC， ∵在△ABM和△AB'M中， ， ∴△ABC≌△AB′C（SAS）， ∴BC＝B′C， 设BC＝B′C＝x，则OC＝OB﹣BC＝8﹣x， ∵B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5， ∴OC＝3，即C（0，3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b， 将A与C坐标代入得：， 解得：， 则． 故选：C． 【变式4-2】（2025秋•枞阳县期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3）， 则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3）， 由题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3）， 即y＝2x+6， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6． 【变式4-3】（2025春•德州期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（2，1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象的交点位于直线x＝﹣1的右侧，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到， ∴k＝1． 将点（2，1）代入y＝x+b， ∴2+b＝1． ∴b＝﹣1． ∴一次函数的解析式为y＝x﹣1． （2）由题意，当x＝﹣1时，y＝x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2． 再把（﹣1，﹣2）代入y＝mx， ∴﹣m＝﹣2． ∴m＝2． 在同一坐标系中画出y＝mx和y＝kx+b的图象如下． ∵函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象的交点位于直线x＝﹣1的右侧， ∴结合图象可得，m＞2或m＜0或0＜m＜1． 题型五 一次函数与坐标轴交点+围成面积 解｜题｜技｜巧 1. 求y轴交点：令x=0，求y 2. 求x轴交点：令y=0，求x 3. 面积公式： 易｜错｜点｜拨 1. 求截距不带绝对值，面积出现负数 2. 分不清x轴、y轴截距，底高代错 3. 多条直线组合图形不会用割补法 【例5】（2025秋•临平区期末）如图，直线l1：y＝k1x+6与直线l2：y＝k2x+b相交于点A（﹣3，3），l1交y轴于点B，l2交y轴负半轴于点C，且OB＝2OC． （1）求直线l1和l2的解析式； （2）若D是直线l1上一点，且△BCD的面积是9，求点D的坐标． 【解答】解：（1）点A（﹣3，3）代入直线l1：y＝k1x+6得，﹣3k1+6＝3， 解得k1＝1， ∴直线l1的解析式为y＝x+6， 令x＝0，则y＝6， ∴B（0，6）， ∵OB＝2OC， ∴C（0，﹣3）， 将点 A（﹣3，3），C（0，﹣3）代入y＝k2x+得，， 解得． ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣3； （2）设点D到y轴的距离为m， ， ∴m＝2， 当x＝2时，y＝2+6＝8， 当x＝﹣2时，y＝﹣2+6＝4， ∴D（2，8）或（﹣2，4）． 【变式5-1】（2025秋•宝应县期末）如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在直线l上，连接OC． （1）求直线l的解析式； （2）P为x轴上一动点，若△ACP的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标． 【解答】解：（1）设直线l的解析式y＝kx+b， 把点C（﹣1，3），B（0，2）代入解析式得， ， 解得k＝﹣1，b＝2， ∴直线l的解析式：y＝﹣x+2； （2）把 y＝0代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝0，解得：x＝2，则点A的坐标为（2，0）， ∵S△BOC2×1＝1， ∴S△ACP＝2S△BOC＝2， 设P（t，0），则AP＝|t﹣2|， ∵•|t﹣2|×3＝2，解得t或t， ∴P（，0）或（，0）． 【变式5-2】（2025春•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点C（m，4）． （1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点C（m，4）在正比例函数的图象上， ∴•m，m＝3即点C坐标为（3，4）． ∵一次函数 y＝kx+b经过A（﹣3，0）、点C（3，4） ∴解得： ∴一次函数的表达式为 （2）∵点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6， ∵△BPC的高是3， ∴BP＝4， ∵B的坐标为（0，2）， ∴点P 的坐标为（0，6）、（0，﹣2）． 【变式5-3】（2025秋•临淄区期末）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝2x﹣2得y＝2， ∴C（2，2）， 设y2＝kx+b（k≠0）， 把B（0，6），C（2，2）代入可得： ， 解得：， ∴y2＝﹣2x+6． （2）∵一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A， ∴A（0，﹣2）， ∴； （3）存在，理由如下： ∵S△ACP＝2S△ABC＝2×8＝16， ∴S△ACP＝16， 当P在y轴上时，，即， ∴|AP|＝16， ∵A（0，﹣2）， ∴点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）， 当P在x轴上时，设直线y1＝2x﹣2与x轴交于点D， ∴D（1，0）， ∴， ∴， ∴|PD|＝8， ∵D（1，0）， ∴点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0）， 综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC，点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）或（﹣7，0）或（9，0）． 题型六 一次函数与方程、不等式结合 解｜题｜技｜巧 1. 的解 = 直线与x轴交点横坐标 2. 解集 = 直线在x轴上方对应x范围 3. 两直线方程组的解 = 两直线交点坐标 4. ：找上方直线对应x取值 易｜错｜点｜拨 1. 不等式解集写反大小方向 2. 混淆交点横纵坐标对应方程解 3. 区间端点取舍错误（含等号/不含等号） 【例6】（2025秋•莱州市期末）如图，直线y＝mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【解答】解：由条件可知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣4， 故选：C． 【变式6-1】（2025秋•萧县期末）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确； 一次函数y2x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误； 由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误； 当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确； 故选：D． 【变式6-2】（2025秋•榕城区期末）一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论： ①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2； ②； ③方程组的解为； ④四边形AODP的面积为．正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m）， ∴一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2，①正确； 2k+5＝4+k， 解得k＝﹣1，②错误； ∴一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1， 把P（2，m）代入得﹣2+5＝m， ∴m＝3， ∴P（2，3）， ∴方程组的解为，③正确； ∵一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1， ∴A（0，5），D（，0）， ∴四边形AODP的面积为：，④正确． ∴正确的结论是①③④． 故选：D． 【变式6-3】（2025秋•兰州期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1， ∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2， ∴两直线交点坐标（1，2）， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 题型七 一次函数实际应用（期末必考大题） 解｜题｜技｜巧 1. 方案对比：列两个函数，作差比较大小 2. 最值问题：自变量最小取最小值，自变量最大取最小值 3. 行程图象：横时间、纵路程，抓起点、拐点、交点、终点 易｜错｜点｜拨 1. 脱离实际，自变量取负数、小数（人数、件数为整数） 2. 利润、费用等量关系列错 3. 不会利用k的正负快速判断最大最小值 【例7-1】（2025春•威远县校级期末）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【解答】解：（1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是（x﹣100）元． 根据题意，得， 解这个方程，得x＝250． 经检验，x＝250是原方程的根，且符合题意．x﹣100＝150． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（20﹣m）台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：20﹣m≤3m，解得m≥5． ∴W＝250×0.8m+150×0.8（20﹣m），即W＝80m+2400， ∵80＞0，∴W随m的增大而增大． ∴当m＝5时，W最小＝80×5+2400＝2800，此时20﹣m＝15． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 【例7-2】（2025春•永年区期末）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间t（h）的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段BC所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【解答】解：（1）小丽骑行的速度为30÷3＝10（km/h）， 10÷10＝1（h）， ∴A（1，10）， 小明骑行的速度为10÷（1﹣0.5）＝20（km/h）． 答：小丽骑行的速度为10km/h，小明骑行的速度为20km/h． （2）（30﹣10）÷20＝1（h）， 2.5﹣1＝1.5（h）， ∴B（1.5，10）， s＝10+20（t﹣1.5）＝20t﹣20， ∴线段BC所在直线的函数表达式为s＝20t﹣20（1.5≤t≤2.5）． （3）线段OD所在直线的函数表达式s＝10t（0≤t≤3）， 当小明第二次追上小丽时，得， 解得， 30﹣20＝10（km）． 答：小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为10km． 【变式7-1】（2025春•罗庄区期末）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为　　 ； （2）当时，求y与x之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【解答】解：（1）由题意可得：90a＝20， ∴． 故答案为：； （2）设当时，y＝kx+b（k≠0）， 则：， ， ∴； （3）当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：（千米/时）， ∵150＞120， ∴该辆汽车减速前超速了． 【变式7-2】（2025春•望奎县期末）在一条直线上的甲、乙两地相距240km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离y（km）与两车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求慢车停车之后再次行驶时，与甲地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）直接写出两车出发多长时间后，相距60km？ 【解答】解：（1）∵快车从甲地驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地， ∴快车8小时行驶480千米， ∴快车在行驶过程中的速度为：480÷8＝60（千米/时）． ∵慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原速驶向甲地共用9小时， ∴慢车8小时行驶240千米， ∴慢车在行驶过程中的速度为：240÷8＝30（千米/时）． （2）慢车从乙地驶向甲地，因故停车时距甲地210千米，所以慢车行驶了240﹣210﹣30（千米），故行驶时间为30÷30＝1（小时）， ∴点B的坐标为（2，210）． 设yBF＝kx+b，代入点B（2，210），F（9，0），得， ， 解得， ∴yBF＝﹣30x+270（2＜x＜9）． （3）设yDE＝kx+b，代入点D（4，240），E（8，0）求得解析式为yDE＝﹣60x+480， 由题意得﹣30x+270＝﹣60x+480， 解得x＝7，则y＝60， 所以两车第二次相遇时，距甲地的距离是60千米； 设yOD＝kx，代入点D（4，240），求得解析式为yOD＝60x， 由题意得﹣30x+270﹣60x＝±60，解得x或x， ﹣60x+480﹣（﹣30x+270）＝60，解得x＝5； 也就是当两车行驶 小时或5小时或 小时，两车相距60千米． 【变式7-3】（2025秋•法库县期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【解答】解：（1）设y关于t的函数表达式为y＝k1t（k1为常数，且k1≠0）， 将t＝10，y＝20代入y＝k1t， 得10k1＝20， 解得k1＝2， ∴y关于t的函数表达式为y＝2t． 设e关于s的函数表达式为e＝k2s+b（k2、b为常数，且k2≠0）， 将s＝160，e＝60和s＝200，e＝50分别代入e＝k2s+b， 得， 解得， ∴e关于s的函数表达式为es+100． （2）当s＝300时，e300+100＝25， ∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25， 充电t分钟后，增加的电量为y＝2t， ∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为（25+2t）， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为（560﹣300）+100＝35， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100﹣35＝65， ∴25+2t﹣10＝65， ∴t＝25． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 题型八 一次函数几何综合压轴 解｜题｜技｜巧 1. 动点问题：设动点坐标，代入直线解析式 2. 等腰三角形：三分法两两相等分类讨论 3. 直角三角形：按直角顶点分类 4. 平行四边形：利用坐标平移规律求解 易｜错｜点｜拨 1. 分类讨论不全，漏掉一种情况 2. 坐标运算符号出错 3. 舍去不符合题意的解不彻底 【例8-1】（2025秋•兴宁市期末）【探索发现】 如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线y＝kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若k＝﹣2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：OA＝　　 ，OB＝　　 ； ②求点E的坐标． （2）如图3，若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，OM＝16，将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若k＝﹣2，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【解答】解：（1）①OA＝2，OB＝4；理由如下： ∵k＝﹣2，则直线y＝﹣2x+4， 令x＝0时，y＝4， 令y＝0时，x＝2， ∴A（2，0），B（0，4）， 即OA＝2，OB＝4， 故答案为：2；4； ②过点E作ED⊥OB于点D，如图2， ∴∠BDE＝∠AOB＝90°， ∵∠ABO+∠EBD＝90°， ∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠EBD， 在△BED和△ABO中， ， ∴△BED≌△ABO（AAS）， ∴DE＝OB＝4，BD＝OA＝2， ∴OD＝OB+BD＝6， ∴点E的坐标为（4，6）； （2）当k变化时，△OBN的面积是定值；理由如下： 过点N作NM⊥y轴于点M，如图3， 同理：△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB＝4， ∴， ∴k变化时，△OBN的面积是定值，且定值为8； （3）点Q的坐标为或Q（0，22）；理由如下： ∵将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，k＝﹣2， ∴平移后的解析式为y＝﹣2x﹣6， ①当P点在x轴的下方时，过点P作PH⊥y轴于H，如图4， 设P（n，﹣2n﹣6），Q（0，t）， ∵M（﹣16，0）， 同理可得：△QMO≌△PQH， ∴QH＝MO＝16，OQ＝PH＝t＝n， ∴16﹣n＝﹣（﹣2n﹣6）， 解得：， ∴点； ②当点P在x轴上方时，同理过点P作PH⊥y轴于H，如图5， 同理可得：△QMO≌△PQH， ∴QH＝MO＝16，OQ＝PH＝t＝﹣n， ∴16﹣n＝﹣2n﹣6， 解得：n＝﹣22，t＝22， ∴点Q（0，22）， 综上所述，点Q的坐标为或Q（0，22）． 【例8-2】（2025秋•金寨县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的函数解析式及MH的长； （2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形PBM？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，4）， ∴OA＝5，即C点的坐标为（5，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为：， 令x＝0得：， 即， ∴； （2）设点M到BC的距离为h， 由S△ABC＝S△ABM+S△BCM， 即， ∴， ①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为： ，即； ②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为： ，即， 故； （3）存在①当MB＝MP时， ∵点A的坐标为（﹣3，4），AB＝5，MB＝MP，MH⊥AB， ∴PH＝BH，即3﹣t＝2， ∴t＝1； ②当BM＝BP时，即， 解得：． 综上所述，当t＝1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形． 【变式8-1】（2025春•泗县期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ，设点P运动的时间为t秒． （1）直接写出点C的坐标为 　 　 ． （2）如图2，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥x轴于H．证明：△PDG≌△CQH． （3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值． 【解答】（1）解：∵直线AB：yx+4与坐标轴交于A，B两点， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3， ∴点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（3，0）， ∵点C为AB的中点， ∴点C（，2）， 故答案为：（，2）， （2）证明：∵四边形PCQD是平行四边形， ∴CQ＝PD，PD∥CQ， ∴∠QCP+∠DPC＝180°， ∵AO∥CH， ∴∠OPC+∠PCH＝180°， ∴∠GPD＝∠HCQ， 又∵∠PGD＝∠CHQ＝90°， ∴△PDG≌△CQH（AAS）； （3）解：∵△PDG≌△CQH（AAS）， ∴DG＝HQ，PG＝CH， ∵点C（，2），点P（0，4﹣t），点Q（2t，0）， ∴CH＝PG＝2，HQ＝DG＝2t， ∴GO＝4﹣t﹣2＝2﹣t， ∴点D（2t，2﹣t）， 当点D落在直线OB上时，则2﹣t＝0，即t＝2， 当点D落在直线OC上时， ∵点C（，2）， ∴直线OC解析式为：yx， ∴2﹣t（2t）， ∴t， 当点D落在AB上时， ∵四边形PCQD是平行四边形， ∴CD与PQ互相平分， ∴线段PQ的中点（t，）在CD上， ∴t+4， ∴t； 综上所述：t＝2或或． 【变式8-2】（2025春•开封期末）数学活动课上，兴趣小组利用图①验证勾股定理：等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线l上，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，易证得：△ADC≌△CEB（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”． 问题探究：（1）如图②，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，4），则点B的坐标为 　 　 ； 问题深化：（2）如图③，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴交于点C、点A，过点C作BC⊥AC于点C，且BC＝AC，作直线AB，求直线AB的解析式； 拓展应用：（3）如图④，在（2）的条件下，若点E为线段AB中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图②，作BD⊥x轴于D， 由材料得△BCD≌△CAO， ∴BD＝OC＝2，CD＝OA＝4， ∴OD＝OC+CD＝6， ∴B（6，2）， 故答案为：（6，2）； （2）如图③，作BD⊥x轴于D， 由y＝﹣3x+6得，当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝2； ∴C（2，0），A（0，6）， ∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝AC， 同理（1）知：B（8，2）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为； （3）在平面内存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形；符合条件的点Q的坐标为（﹣2，2）或（2，10）或（6，﹣2）．理由如下： ∵C（2，0），A（0，6），B（8，2），点E为线段AB中点， ∴E（4，4）， 设P（s，t）， ∵以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 当AC为对角线时， 依题意得：， 解得， ∴P（﹣2，2）； 当AE为对角线时， 依题意得：， 解得， ∴P（2，10）； 当CE为对角线时， 依题意得：， 解得， ∴P（6，﹣2）； 综上所述，在平面内存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形；符合条件的点Q的坐标为（﹣2，2）或（2，10）或（6，﹣2）． 【变式8-3】（2025春•巴南区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线l2：y＝kx交于点C（2，4）．点D（4，0）是x轴上一点，过点D作x轴的垂线交l1于点E，交l2于点F． （1）求直线l1，l2的函数解析式； （2）如图2，点P是线段EF上一动点，连接AP，PC，点M，N均为y轴上的动点，且点M在点N的上方，MN＝1．当S△APC＝6时，求点P的坐标及PM+MN+AN的最小值； （3）如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，O，P，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点C（2，4）代入y＝kx，2k＝4， 解得k＝2， ∴直线l2的解析式为y＝2x； 将点C（2，4）代入y＝﹣x+b，＝2+b＝4， 解得b＝6， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+6； （2）∵D（4，0）， ∴E（4，2），F（4，8）， 设P（4，t）， ∴S△APC4×（t﹣2）＝6， 解得t＝5， ∴P（4，5）； 作点A关于y轴的对称点G，过点G作GH∥y轴，且GH＝MN＝1，连接HM， ∴四边形HGNM是平行四边形， ∴HM＝GN， 当H、M、P三点共线时，GN+MP的值最小， ∵A（6，0）， ∴G（﹣6，0）， ∴MN＝1， ∴H（﹣6，1）， ∵P（4，5）， ∴HP＝2， ∴PM+MN+AN＝21＝21， ∴PM+MN+AN的最小值为21； （3）存在以点G，O，P，H为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设G（m，0）， 当PO＝OG时，16+25＝m2， 解得m＝±， ∴G（，0）或（，0）， ∵O点向右平移4个单位，向上平移5个单位得到P点， ∴G点向右平移4个单位，向上平移5个单位得到H（±4，5）； 当OP＝PG时，16+25＝（m﹣4）2+25， 解得m＝8或m＝0（舍）， ∴G（8，0）， ∵P点向左平移4个单位，向下平移5个单位得到O点， ∴G点向左平移4个单位，向下平移5个单位得到H（4，﹣5）； 当GO＝GP时，m2＝（m﹣4）2+25， 解得m， ∴G（，0）， ∵G点向左平移个单位得到O点， ∴P点向左平移个单位得到H（，5）； 综上所述：H点坐标为（4，5）或（4，5）或（4，﹣5）或（，5）． 【变式8-4】（2025春•雷州市期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得： ，解得：， ∴直线AB的表达式为yx+3； （2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°， ∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠BCO＝∠CDE． 在△BOC和△CED中， ， ∴△BOC≌△CED（AAS）， ∴OC＝DE，BO＝CE＝3． 设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m）， ∵点D在直线AB上， ∴m（m+3）+3， ∴m＝1， ∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）； ②存在，设点Q的坐标为（n，n+3）． 分两种情况考虑， 当CD为边时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1， ∴n＝﹣3或n＝3， ∴点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）； 当CD为对角线时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴n+0＝1+4， ∴n＝5， ∴点Q″的坐标为（5，）． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025春•密云区期末）已知（k，b）为第二象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点（k，b）为第二象限内的点， ∴k＜0，b＞0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 2．（2025春•石家庄期末）已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8吨，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（　　） A．y＝0.3x+5（0≤x≤8） B．y＝5x+0.3（0≤x≤8） C．y＝0.3x﹣5（0≤x≤8） D．y＝5﹣0.3x（0≤x≤8） 【解答】解：在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝0.3x+5（0≤x≤8）， 故选：A． 3．（2025秋•贵州期末）如图，P（0，3）为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线PM的函数表达式为y＝kx+b，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（2，0） D．（3，0） 【解答】解：由题意得，该函数图象一定经过一、三象限，即直线PM一定经过一、三象限， ∵P（0，3），M是x轴上一点， ∴点M一定在x轴负半轴上， ∴（﹣1，0）、（0，﹣1）、（2，0）、（3，0）四个点中只有（﹣1，0）符合题意． 故选：A． 4．（2025秋•乐平市期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当a＜0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 当a＞0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数y＝x+a是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项； 故选：C． 5．（2025春•象州县期末）一次函数y＝kx+2k﹣1的图象一定经过定点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【解答】解：一次函数y＝kx+2k﹣1＝k（x+2）﹣1， 当x＝﹣2时，y＝﹣1， ∴一次函数y＝kx+2k﹣1的图象一定经过定点的坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：B． 6．（2025秋•沈河区期末）已知一次函数，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是 　 ． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣1≤x≤4， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值（﹣1）+1． 故答案为：． 7．（2025秋•中原区校级期末）如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是 　 　 ． 【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1， 所以A点坐标为（1，3）， 所以方程组的解是， 故答案为：． 8．（2025秋•太平区期末）如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　　 时间就追上甲． 【解答】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在QR段的速度是（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（km/h）， 乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（km/h）， ∴20+10x＝50x， 解得x＝0.5， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲， 故答案为：0.5． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025秋•北仑区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3， ∴3a+b＝3c+d ∴3a﹣3c＝d﹣b， ∴a﹣c（d﹣b），故③正确； 当x＝1时，y1＝a+b， 当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d， 由图象可知y1＞y2， ∴a+b＞﹣c+d ∴d＜a+b+c，故④正确； 故选：D． 2．（2025春•孝义市期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线BC交y轴于点C（0，1），若反射光线BC的函数关系式为，则入射光线AB的函数关系式为 　 ． 【解答】解：将坐标C（0，1）代入yx+b， 得b＝1， ∴反射光线BC的函数关系式为yx+1， 当y＝0时，得x+1＝0， 解得x， ∴B（，0）， 根据光的反射定律，点C（0，1）关于x轴的对称点C′（0，﹣1）在入射光线AB上， 设入射光线AB的函数关系式为y＝mx+n（m、n为常数，且m≠0）， 将坐标B（，0）和C′（0，﹣1）分别代入y＝mx+n， 得， 解得， ∴入射光线AB的函数关系式为yx﹣1． 故答案为：yx﹣1． 3．（2025秋•济南校级期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为　　 min． 【解答】解：由快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系图可知，快递车行驶5a米所需时间为： 40﹣30＝10（min）， ∴行驶的总时间为：：28a＝32（min）， 快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（40﹣32）÷2＝4（min）． 故选：C． 故答案为：4． 4．（2025春•武安市期末）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以a（m/s）的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度y（m）与时间x（s）之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值． 【解答】解：（1）b＝3×8＝24（m）， a＝24÷（8﹣2）＝4（m/s）． （2）y＝4（x﹣2）＝4x﹣8， 当4x﹣8＝60时，解得x＝17， ∴无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式为y＝4x﹣8（2≤x≤17）． （3）无人机甲y与x之间的函数关系式为y＝3x（0≤x≤20）， 当0≤x≤2时，得3x＝6， 解得x＝2， 当2＜x≤17时，得|4x﹣8﹣3x|＝6， 解得x＝2（舍去）或x＝14， 当17＜x≤20时，得60﹣3x＝6， 解得x＝18， ∴两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值为2或14或18． 5．（2025秋•青山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与一次函数y＝x+7的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点P（m，0）． （1）求点A的坐标． （2）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数y＝x+7的图象于点B，C，连接OC． ①线段BC的长为　 　 （用含m的代数式表示）． ②若，求△OBC的面积． 【解答】解：（1）联立方程组， 解得， ∴点A的坐标为（﹣4，3）； （2）①∵P（m，0）， ∴B（m，m），C（m，m+7）， ∴BCm﹣m﹣7m﹣7； 故答案为：； ②过点A作AD⊥x轴于点D， 由（1），可得OD＝4，AD＝3， 在Rt△ADO中，AD＝3，OD＝4， ∴OA＝5， ∵， ∴BC＝7， ∵， ∴， 解得m＝﹣8， ∴P（﹣8，0）， ∴OP＝8， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025秋•天桥区期末）定义：形如的函数称为正比例函数y＝kx（k≠0）的“分移函数”，其中b叫“分移值”． （1）①函数y＝x的“分移函数”为，其中“分移值”为3，在图1中画出其图象； ②已知点（1，2k）在y＝kx（k≠0）的“分移函数”的图象上，则k＝ 　　 ； （2）已知点P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）在函数y＝2x的“分移函数”的图象上，则m的值是 　　 ； （3）已知矩形ABCD顶点坐标为A（1，0），B（1，2），C（﹣2，2），D（﹣2，0）．函数y＝kx的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形ABCD恰好有2个交点，直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）①如图所示： ②点（1，2k）在y＝kx（k≠0）的“分移函数”的图象上， ∴k+6＝2k， 解得k＝6， 故答案为：6； （2）设函数y＝2x的“分移函数”为y， ∵点P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）在函数y＝2x的“分移函数”的图象上， ∴4+b＝1﹣m，﹣6﹣b＝2m+1， 解得m＝﹣4， 故答案为：﹣4； （3）∵函数y＝kx的“分移函数”的“分移值”为3， ∴y， 当y＝kx的“分移函数”经过点B时，k+3＝2， 解得k＝﹣1， 当k＝﹣1时，“分移函数”的图象与矩形ABCD恰好有1个交点； 当y＝kx的“分移函数”经过点D时，﹣2k﹣3＝0， 解得k， 当k时，“分移函数”的图象与矩形ABCD恰好有3个交点； ∴k＜﹣1时，“分移函数”的图象与矩形ABCD恰好有2个交点． 2．（2025春•雨花区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A在y轴上，点B在x轴上，边AB所在直线的函数解析式为y＝3x+12． （1）求点A，B的坐标； （2）如图1，若点C的坐标为（16，0），点M为AD的中点，点N为边AB上一点，连接MC、MN、CN，满足MC＝MN，求CN的长； （3）如图2，若点C的坐标为，点E、F分别为边AD、BC上的点，连接AF，点A关于直线EF的对称点G恰好落在x轴上，连接EG交CD于点H，点H恰好为CD的中点，且，求直线EF的解析式． 【解答】解：（1）边AB所在直线的函数解析式为y＝3x+12．以， 当x＝0时，得y＝12， 当y＝0时，得：0＝3x+12， 解得：x＝﹣4， ∴A（0，12），B（﹣4，0）； （2）延长NM、CD交于点P，如图1， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ANM＝∠P，∠MAN＝∠MDP， ∵M是AD中点， ∴AM＝DM， 在△AMN和△DMP中， ， ∴△AMN≌△DMP（ASA）， ∴MN＝MP， ∵MC＝MN， ∴MN＝MP＝MC， ∴∠MNC＝∠MCN，∠P＝∠MCP， ∴∠MCN+∠MCP＝∠MNC+∠P＝90°， ∴CN⊥CD， ∵点C的坐标为（16，0）， ∴BC＝16﹣（﹣4）＝20， ∵OA＝12，OB＝4， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∴， ∵S▱ABCD＝BC×OA＝CD×CN， ∴， ∴； （3）∵H是CD中点， ∴DH＝CH， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DCG， 又∵∠DHE＝∠CHG， ∴△DEH≌△CGH（ASA）， ∴， ∵B（﹣4，0），， ∴， ∴， ∴， ∴E（13，12）， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CFE， ∵点A与点G关于EF对称， ∴∠AFE＝∠CFE，AF＝GF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AF＝GF＝AE＝13， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴F（5，0）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将E（13，12），F（5，0）代入得， ， 解得， ∴直线EF的解析式为y＝1.5x﹣7.5． 3．（2025春•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线l1：y＝﹣x+b（b为常数）与直线l2：y＝x交点的横坐标为1，点P在直线l1上，点Q在直线l2上，且PQ∥x轴，设点P的横坐标为m（m≠1）． （1）求直线l1对应的函数表达式． （2）当m＝﹣1时，点Q的坐标为　 　 ，线段PQ的长度为　 　 ． （3）以PQ为边作矩形PQMN，使PN＝QM＝2，且点M、N在直线PQ的下方． ①当四边形PQMN是正方形时，求m的值． ②当矩形PQMN被直线l1分成的两部分的面积比为1：2时，直接写出m的值． 【解答】解：（1）在y＝x中，令x＝1得y＝1， ∴直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝x交点坐标为（1，1）， 把（1，1）代入y＝﹣x+b得：1＝﹣1+b， 解得：b＝2， ∴直线l1对应的函数表达式为y＝﹣x+2； （2）如图： 当m＝﹣1时，P的纵坐标为y＝﹣（﹣1）+2＝3， ∴P（﹣1，3）， 在y＝x中，令y＝3得x＝3， ∴Q（3，3）， ∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：（3，3），4； （3）①如图： ∵点P在直线l1上，P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m+2）， 在y＝x中，令y＝﹣m+2得x＝﹣m+2， ∴Q（﹣m+2，﹣m+2）， ∴PQ＝|m﹣（﹣m+2）|＝|2m﹣2|， ∵四边形PQMN是正方形， ∴PQ＝PN＝QM＝2， ∴|2m﹣2|＝2， 解得m＝2或m＝0， ②设直线l1交MN于K，此时S△PKN：S四边形PKMQ＝1：2，如图： 同①知，P（m，﹣m+2），Q（﹣m+2，﹣m+2）， ∴PQ＝﹣m+2﹣m＝﹣2m+2， ∵PN＝QM＝2， ∴M（﹣m+2，﹣m），N（m，﹣m）， 在y＝﹣x+2中，令y＝﹣m得x＝m+2， ∴K（m+2，﹣m）， ∴NK＝m+2﹣m＝2，MK＝﹣m+2﹣（m+2）＝﹣2m， ∴S△PKNPN•NK2×2＝2， ∵S△PKN：S四边形PKMQ＝1：2， ∴S四边形PKMQ＝4， ∴（KM+PQ）•QM＝4， ∴（﹣2m﹣2m+2）×2＝4， 解得m； 设直线l1交QM于T，此时S△PQT：S四边形PTMN＝1：2，如图： 同理可得P（m，﹣m+2），Q（﹣m+2，﹣m+2）， ∴PQ＝﹣m+2﹣m＝﹣2m+2， ∵PN＝QM＝2， ∴M（﹣m+2，﹣m），N（m，﹣m）， 在y＝﹣x+2中，令x＝﹣m+2得y＝m， ∴T（﹣m+2，m）， ∴QT＝﹣m+2﹣m＝﹣2m+2，MT＝m﹣（﹣m）＝2m， ∵S△PQT：S四边形PTMN＝1：2， ∴S四边形PTMN＝2S△PQT， ∴（2m+2）×（﹣2m+2）＝2（﹣2m+2）（﹣2m+2）， 解得m或m＝1（舍去）， 综上所述，m的值为或． 4．（2025春•河池期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△OAF的面积时， ①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点P，使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）A（10，0），B（0，5）；理由如下： 一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B， 当y＝0时，得：， 解得：x＝10； 当x＝0时，得：y＝5， ∴A（10，0），B（0，5）； （2）∵点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作FE⊥x轴，如图1， ∴F点坐标为， ∴△OAF的面积为： ∴△OAF的面积S与x之间的函数关系式为； （3）①．理由如下： 当△OAF的面积时，得：， 解得：x＝5， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②第一象限内存在一点P，使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形；点P的坐标为或．理由如下： 过点F作FN⊥x轴交x轴于点E，过点P作PG⊥OA于点G，过点P′作P′H⊥FE于点H，分两种情况： ①∵△APF是等腰直角三角形， ∴∠FEA＝∠FAP＝∠PGA＝90°，AF＝PA， ∴∠AFE+∠FAE＝∠FAE+∠PAG＝90°， ∴∠AFE＝∠PAG， 在△FAE和△PAG中， ， ∴△AFE≌△PAG（AAS）， ∴， ∴点； ②∵△AFP′是等腰直角三角形，同理△P′HF≌△FEA（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，第一象限内存在一点P，使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形；点P的坐标为或 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $