专题04 函数与一次函数（6常考4压轴60题）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 以“6常考+4压轴”构建函数与一次函数专项训练，覆盖基础概念到综合应用，形成从概念理解到问题解决的完整逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|31题|聚焦函数概念、图象识别、一次函数性质及解析式求解，结合方程与不等式应用|从函数定义到一次函数图象性质，再到代数应用，层层递进| |压轴题型|23题|包含动点图象分析、规律探究、实际应用（行程/费用）及几何综合（面积/存在性）|综合几何直观与代数推理，体现数学思维的逻辑性与创新性|

专题04 函数与一次函数（6常考4压轴） 题型1 函数概念（常考） 题型6 一次函数与方程、不等式（常考） 题型2 函数图象（常考） 题型7 动点函数图象（选择压轴） 题型3 一次函数概念（常考） 题型8 一次函数规律探究（填空压轴） 题型4一次函数图象与性质（常考） 题型9 一次函数实际应用：行程、费用、方案选择（期末解答压轴） 题型5 待定系数法求一次函数解析式（常考解答） 题型10 一次函数与几何综合（面积、距离、存在性，期末压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数概念（共4小题） 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形．下面的量是常量的是（    ） A．的度数 B．对角线的长度 C．四边形的面积 D．四边形的周长 4．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 题型二 函数图象（共4小题） 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 题型三 一次函数概念（共7小题） 9．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·福建莆田·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 13．（24-25八年级下·云南保山·期末）当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 14．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是__________． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 题型四 一次函数图象与性质（共9小题） 16．（24-25八年级下·云南临沧·期末）若点在正比例函数（k为常数，且）的图象上，则（   ） A．8 B．6 C．2 D．1 17．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 18．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 19．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 21．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 23．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线相交于轴，则_____． 24．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 题型五 待定系数法求一次函数解析式（共5小题） 25．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 26．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围． 27．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一次函数经过点和，分别交轴和轴于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 28．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 29．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 题型六 一次函数与方程、不等式（共6小题） 30．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为________．    33．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 34．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 35．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 题型七 动点函数图象（共6小题） 36．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．5 37．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20 A．1 B．2 C．3 D．4 38．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 39．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在矩形中，，，点Q为矩形边上一动点，其运动路线是．设点Q运动的路程为x，以点A，Q，B为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B． C． D． 41．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型八 一次函数规律探究（共5小题） 42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为_____． 43．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是___________． 44．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_____．（结果要求最简形式） 45．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为______． 46．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 题型九 一次函数实际应用：行程、费用、方案选择（共8小题） 47．（24-25八年级下·云南红河·期末）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为村民小组设计总费用最少的购进方案？ 背景 2025年3月15日，“花开四季，‘香’约云南·住在梨香花海里”网络主题宣传活动在红河州个旧市博泰小院正式启动．东风知春意，万亩梨花开，个旧市加级寨、哨冲万亩梨花迎来盛花期，“梨园春晓·万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏．某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，若购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 问题解决 任务1 确定单价 求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ 任务2 拟定总费用最少的购进方案 若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 48．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： (1)求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； (2)为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 49．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 50．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 51．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 52．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 53．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 54．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 题型十 一次函数与几何综合（共6小题） 55．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动．到达点停止运动，设点的运动路程为，的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 56．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 57．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 58．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 59．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 60．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，对角线与相交于点D．过点的直线l将矩形的面积分成相等的两部分． (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)求直线l解析式； (3)若将直线l沿y轴平移个单位长度，则它与x轴的交点向哪个方向平移了几个单位长度？ $专题04 函数与一次函数（6常考4压轴） 题型1 函数概念（常考） 题型6 一次函数与方程、不等式（常考） 题型2 函数图象（常考） 题型7 动点函数图象（选择压轴） 题型3 一次函数概念（常考） 题型8 一次函数规律探究（填空压轴） 题型4一次函数图象与性质（常考） 题型9 一次函数实际应用：行程、费用、方案选择（期末解答压轴） 题型5 待定系数法求一次函数解析式（常考解答） 题型10 一次函数与几何综合（面积、距离、存在性，期末压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数概念（共4小题） 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； B、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意； C、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； D、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形．下面的量是常量的是（    ） A．的度数 B．对角线的长度 C．四边形的面积 D．四边形的周长 【答案】D 【详解】解：用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形，其中的度数、对角线的长度及四边形的面积都随着扭动发生变化，是变量， 其中不发生变化的是四边形的周长， 则是常量的是四边形的周长， 故选：D． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 题型二 函数图象（共4小题） 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 【答案】D 【详解】解：A、由图象的纵轴可以看出，学校距小旺家1000米，故A正确，不符合题意； B、由图象的横轴可以看出，小旺用了20分钟到学校，故B正确，不符合题意； C、由图象的纵轴可以看出，小旺前10分钟走了总路程的一多半，故C正确，不符合题意； D、由图象的纵轴可以看出，小旺后10分钟比前10分钟走得慢，故D错误，符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟， 根据函数图象可得： 解得：， （公里）， 小明和小王参加的是公里赛程的比赛． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 题型三 一次函数概念（共7小题） 9．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数． ②：，符合的形式，其中，是正比例函数． ③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义． ④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数． 故选B． 10．（24-25八年级下·福建莆田·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵y关于x的函数是正比例函数， ∴ 故选：B 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 12．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 13．（24-25八年级下·云南保山·期末）当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】解：将代入得，． 故选：D． 14．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是__________． 【答案】 【详解】解：设， 将和代入，得：， 解得， 所以与的函数关系式是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 题型四 一次函数图象与性质（共9小题） 16．（24-25八年级下·云南临沧·期末）若点在正比例函数（k为常数，且）的图象上，则（   ） A．8 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴， ∴． 故选：C． 17．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 选项A、B未给出与的大小关系，无法判断与的大小，因此A、B错误； 当时，根据函数增减性可得，因此C正确，D错误． 18．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 19．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 20．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：由图象可知，一次函数图象经过第一、二、四象限， 则，． 21．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将直线向下平移4个单位长度后，所得解析式为． 整理得． 22．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：直线中，， 随x的增大而减小， ， ． 故选：D． 23．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线相交于轴，则_____． 【答案】 【详解】因为两直线相交于x轴，所以交点的纵坐标为0， 对于直线，令，则：， 解得， 因此两直线的交点坐标为， 将代入直线中，得：， 解得． 24．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 题型五 待定系数法求一次函数解析式（共5小题） 25．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴， 把，代入，得：，解得， ∴． 26．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把点和代入，得： ，解得， ∴； （2）∵，， ∴随着的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴当时，． 27．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一次函数经过点和，分别交轴和轴于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式是； （2）解：由（1）知，该一次函数的解析式是， ∴当时，， 当时，， ∴，； ∴，， ∴． 28．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 29．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）解：把代入中，得， 所以点的坐标为， 由图象可知， 设一次函数的解析式为， 把和代入， 得， 解得， 所以一次函数的解析式是； （2）解：在中，令，则， 解得， 则的坐标是， ∴， ∴． 题型六 一次函数与方程、不等式（共6小题） 30．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 31．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 32．（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为________．    【答案】 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 33．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【答案】①③ 【详解】解：对于结论①，当时，， 故函数经过点，结论正确； 对于结论②，函数交y轴正半轴于点A，则时，，解得，故结论②错误； 对于结论③，方程可化为，由于函数交y轴正半轴，，，故，解得，结论正确； 对于结论④，不等式可化为， 当时，，而时， 故，结论错误． 故答案为：①③． 34．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 35．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 题型七 动点函数图象（共6小题） 36．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：依题意，动点从点出发，线段的长度为，运动时间为， 根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故选：B． 37．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：根据图形和图象，得当时，，故； 点P从点B运动到点D，行走路程为，； 当点P运动到点D时，，此时； 故平行四边形的周长为； 当时，，此时点P为的中点， 故的面积与的面积相等，且为的面积的一半， 过点B作于点H， ∵， ∴， 故， 故的面积为， 故的面积为24； 故（1）（2）（3）正确；（4）错误； 故选：C． 38．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 39．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在矩形中，，，点Q为矩形边上一动点，其运动路线是．设点Q运动的路程为x，以点A，Q，B为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点由点A向点D运动时，即时，，y随x的增加而增大，当时，； 当点在上运动，即时，y的值为15； 当点在上运动，即时，，当y随着x的增大而减小，当时，； 当点在上运动时，y的值为0． 故选：A． 40．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分三种情况： ①当在边上时，如图1， 设菱形的高为， ， 随的增大而增大，不变， 随的增大而增大， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图2， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图3， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小， 点从点出发沿在路径匀速运动到点， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项A正确； 故选：A． 41．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， ，， 根据图象，当时，， ， 解得：， ，，， 正方形， 点与点关于直线对称， 连接，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ， 设此时点关于直线的对称点为， 根据题意，，、、三点共线， 根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为， ， ， 解得：， 故图②中函数图象的最低点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称原理，勾股定理，函数图象信息的处理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，读懂函数图象是解题的关键． 题型八 一次函数规律探究（共5小题） 42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即． 故答案为：． 43．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【详解】解：设点、的纵坐标分别为、， ∵在直线上， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴，，则 ∵是等腰直角三角形， 设，代入，得：， 解得： ； 设，代入，得： 解得： …… 依次类推，的纵坐标为 ． ∴点的纵坐标是 故答案为：． 44．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_____．（结果要求最简形式） 【答案】 【详解】解：作轴于点， ∵均在直线上， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理，， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 45．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为______． 【答案】 【详解】解：由条件可知，，则． 是等腰直角三角形，， ． 点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，，则． 点，均在一次函数的图象上， ，解得， 该直线方程是． 当时，，即，则， ． ， ， 当时，， 即点的坐标为 的坐标为 故答案为： 46．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 【答案】 【详解】解：如图， ，…都是边长为4的等边三角形， ∴， …，， ∵在y轴上， 轴，轴，… 延长交x轴于点C， ∵点在直线上， ∴设， 是等边三角形，且边长为4， ． ∴的坐标为， 同理、， ， ∴的坐标为， 故答案为：． 题型九 一次函数实际应用：行程、费用、方案选择（共8小题） 47．（24-25八年级下·云南红河·期末）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为村民小组设计总费用最少的购进方案？ 背景 2025年3月15日，“花开四季，‘香’约云南·住在梨香花海里”网络主题宣传活动在红河州个旧市博泰小院正式启动．东风知春意，万亩梨花开，个旧市加级寨、哨冲万亩梨花迎来盛花期，“梨园春晓·万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏．某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，若购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 问题解决 任务1 确定单价 求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ 任务2 拟定总费用最少的购进方案 若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】任务1：所以梨膏每瓶元，梨醋每瓶元；任务2：购进梨膏瓶，梨醋瓶，最少费用为元 【详解】任务1：设梨膏每瓶元，梨醋每瓶元， 由题意得方程组， 得：， 得：， 解得； 把代入中得：，解得； 所以梨膏每瓶元，梨醋每瓶元． 任务2：设购进梨膏瓶，梨醋瓶，则，且，； 由得， 代入不等式得，解得，且，解得， 所以； 总费用，由于随增大而减小，所以当时最小，此时，（元）； 答：购进梨膏瓶，梨醋瓶，最少费用为元． 48．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： (1)求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； (2)为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 【答案】(1)每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； (2)，总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台；最少费用是万元． 【详解】（1）解：设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米， ∴每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同， ∴， 解得：， ， 即每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； （2）解：∵购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，购进A型护冰机器人x台， ∴购进B型护冰机器人台， ∵B型护冰机器人不超过6台， ∴， 即， ∵每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元，购买总费用y万元， ∴， 可知随增大而增大， ∵， ∴总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台， 最少费用是（万元）． 49．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 50．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元． (3) 【详解】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 51．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，120 (2) (3)或或 【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 52．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 【答案】(1)120，120 (2)； (3)甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 【详解】（1）解：由题意得， 先明确折线N-P-R-E-F是甲车的对应图象，线段是乙车的对应图象， 其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程； 点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米； 又∵乙车在甲车出发1小时后出发，则甲车行驶1小时的路程为120千米， ∴(千米/小时)， 故甲车行驶的速度为120千米/小时； 段表示甲车在A地滞留1个小时， 点P表示甲车到达乙地， 此时，则甲车的行驶时间为小时； ∴B、A两地的距离为(千米)； 点M表示乙车达终点C地，则A、C两地的距离为480千米， ∴B、C两地的距离为 (千米)； 故答案为：120，120； （2）解：点P表示甲车到达A地，B、A两地相距360千米， 则点， 段表示甲车在A地滞留1小时，则点； 点E表示甲车由A地返回B地，用时(小时)， ∴点， 则甲车从A地返回B地对应线段为， 设的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴的解析式为； （3）解：由图象可知， ∴点， ∴乙车的速度为(千米/小时)， 设甲车出发t小时，两车相距40千米，则乙车行驶小时； 由（1）知，B、A两地距离360千米，B、C两地相距120千米，A、C两地相距480千米，甲车的速度为120千米/小时， ①在甲车由B→A过程中(此时两车相向而行）， 当时，甲车列达A地，（）， 由题意得或， 解得或； ②在甲车在A地滞留1小时时，此时， 当时，甲到达A地， 此时乙与A地的距离也就是它的路程为， ∴此段甲、乙两车不可能相距40千米，舍去； ③在甲车由A→C且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C时，即点M处，， 故此时，此段时，乙车先到达终点C， 由题意得， 解得，此段不符合题意舍去； ④乙车到达终点之后()， 此时乙车停在C地， 当甲，乙两车相距40千米时， 由题意得， 解得； 综上，甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 53．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 【答案】(1)4 (2)白鸽广场，45 (3)②③ (4) (5)72或96 【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为， 故答案为：4； （2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为，则， 当时，得， 解得， ∴此时距出发经过了， 故答案为：白鸽广场，45； （3）解：当时，然然的速度为， ∴， 当时，得， 解得， 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ， ∴①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场， ∴②合理，符合题意； 当时，， ， ∴时，琦琦比然然多走了， ∴③合理，符合题意． 故答案为：②③； （4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为， 则， ∴然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式及自变量x的取值范围为； （5）解：综上，与x的函数关系式为，与x的函数关系式为， 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得； 当，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得． 综上，当琦琦和然然相距时，x的值为72或96． 故答案为：72或96． 54．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 题型十 一次函数与几何综合（共6小题） 55．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动．到达点停止运动，设点的运动路程为，的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【详解】（1） （Ⅰ）如图所示，当点在边上时，． 根据题意可知，则 ，即 ． （Ⅱ）如图所示，当点在边上时，． 根据题意可知，则 ，即 ． 综上所述，与之间的函数表达式为． 画出函数的图象如图所示． （2）当时，取得最大值，最大值为． （3）将代入，得 和． 分别解得 和． 所以，或 56．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 57．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 58．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)N点坐标为或或 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将代入得， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：联立直线和直线得， ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为F， 将代入得， ∴， ∵直线交y轴于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则， ∴， ∴， 当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得 ∴； （3）解：将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 设，， ∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或或． 59．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 60．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，对角线与相交于点D．过点的直线l将矩形的面积分成相等的两部分． (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)求直线l解析式； (3)若将直线l沿y轴平移个单位长度，则它与x轴的交点向哪个方向平移了几个单位长度？ 【答案】(1)， (2) (3)直线l沿y轴向上平移个单位长度时，它与x轴的交点向右平移了5个单位长度，直线l沿y轴向下平移个单位长度时，它与x轴的交点向左平移了5个单位长度 【详解】（1）解：在矩形中，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B坐标为， 又∵点D为对角线，交点， ∴，， ∴点D坐标为． （2）解：∵过点的直线l将矩形的面积分成相等的两部分， 而矩形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点， ∴直线l恒过点， 设直线l的解析式为，将点，点代入得， ，解得， ∴直线l的解析式为． （3）解：①当直线l沿y轴向上平移个单位长度时： 解析式变为， 令，则，解得， ∴平移后的直线l与x轴交点为， 原直线l中，令，则，解得， ∴原直线l与x轴交点为， ∴平移的距离为：， ∴直线l与x轴的交点向右平移了5个单位长度； ②当直线l沿y轴向下平移个单位长度时： 解析式变为， 令，则，解得， ∴平移后的直线l与x轴交点为， 原直线l中，令，则，解得， ∴原直线l与x轴交点为， ∴平移的距离为：， ∴直线l与x轴的交点向左平移了5个单位长度， 综上所述，直线l沿y轴向上平移个单位长度时，它与x轴的交点向右平移了5个单位长度，直线l沿y轴向下平移个单位长度时，它与x轴的交点向左平移了5个单位长度． $