期末压轴专题02 勾股定理及逆定理的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以六类核心题型为框架，系统整合勾股定理及逆定理的方法体系，构建从基础应用到综合创新的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型一：利用勾股定理求解|1典例+3变式|方程思想、构造直角三角形、分类讨论|从直接计算到辅助线构造，夯实定理应用基础| |类型二：勾股定理与折叠问题|1典例+3变式|折叠性质、设元勾股|结合轴对称性质，强化方程思想在动态几何中的应用| |类型三：利用逆定理求解|1典例+3变式|判定直角、最长边验证|从形状判断到性质应用，构建定理双向认知| |类型四：定理综合应用|1典例+3变式|构造直角、分类讨论|联系实际情境，提升知识迁移与问题解决能力| |类型五：最短距离问题|1典例+3变式|立体展开、两点之间线段最短|通过展开转化，培养空间观念与模型意识| |类型六：验证勾股定理|1典例+3变式|面积法、割补法|从原理验证深化对定理本质的理解，发展创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题02勾股定理及逆定理的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用勾股定理求解 类型二、勾股定理与折叠问题 类型三、利用勾股定理的逆定理求解 类型四、勾股定理及逆定理的应用 类型五、利用勾股定理求最短距离问题 类型六、验证勾股定理的方法 压轴专练 典例详解 类型一、利用勾股定理求解 方法总结 1,定理应用：在直角三角形中，已知两边可求第三边(ca+6 2.方程思想：设未知线段为x,用勾股定理列方程求解。 解题技巧 1.构造直角三角形：当图形中没有直角三角形时，通过作高、连接对角线等方法构造。 2.分类讨论：当斜边不确定时，需分情况讨论哪条边为斜边，避免漏解。 例1，(25-26八年级上河南周口期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,AD平分 ∠BAC交BC于点D,求BD的长 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26八年级上浙江绍兴期末)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D在AC边上， BD=AB」 (I)求BC边上的高： (2)求AD的长. 【变式1-2】(25-26八年级上浙江杭州：期末)如图，AD是△ABC中BC边上的高，点E在BC边上 (1)若AE是∠BAC的角平分线，∠C=40°，∠B=20°，求∠EAD的度数： (2)若1E是△AB 的中线， AB=35,AC=5,DE=I,求BE的长. 【变式1-3】 (25-26八年级上辽宁沈阳期末)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90° E B B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D、E为AB边上不同两点，且CD=CE,求证：AD=BE: (2)如图2，当点D、E在AB边上，∠DCE=45°，求证：DE2=AD+BE2: B)点D、E在直线4B上，∠DCE=45°， 其中 AC=BC=4 AD=2 直接写出DE长. 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、勾股定理与折叠问题 方法总结 1.折叠性质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.勾股定理：在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理列方程求解。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，明确未知数。 2.设元勾股：设所求线段长为x,用含x的式子表示其他边，在直角三角形中列勾股方程。 例2.(25-26八年级上江西九江期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,点E在 BC上，连接AE,将△ACE沿AE折叠至△ADE处，点D在AB的延长线上，求解下列问题： B E (1)求CD的长： (2)求BE的长. 【变式2-1】(25-26八年级上全国期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm,将 △ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE,求CE的长 D 【变式2-2】(25-26八年级上浙江杭州期末)已知在△ABC纸片中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6, 对△ABC纸片进行折叠，使点A与BC上的点D重合，折痕EF分别交AB,AC,AD于点E,F,G. 图1 图2 图3 (I)如图1，若AD为BC上的高线，求AG的长. 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若AD为∠BAC的角平分线，求DE的长. (3)如图3，若AD为BC上的中线，求BE的长 【变式2-3】(25-26八年级上·广东佛山期末)综合应用 己知：直角三角形纸板ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6 B B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，点M在AB边上，将△ACM沿CM折叠，点A落在点D处.当CD⊥AB时，线段DN的长度 是多少？ (2)如图2，点D是AC边上一动点（不与点A,C重合），将△ABD沿BD折叠，点A落在点E处.当AC 与△BDE的边垂直时，线段AD的长度是多少？ (3)如图3，点F为AC边的中点，点G为AB边上一动点，将△AFG沿FG折叠，点A落在点H处.记FH 的中点为Q,连接CQ、BH.在点G从点A运动到点B的过程中，BH+CQ的最小值是多少？ 类型三、利用勾股定理的逆定理求解 方法总结 1.判定直角：若三角形三边满足a2+b2=c2(c为最长边)，则该三角形为直角三角形。 2.应用求解：用于判断三角形形状、求角度或利用直角性质（如面积法）进一步计算。 解题技巧 1.先找最长边：验证等式前，先确定三边中的最大边作为℃，避免计算错误。 2.分类讨论：当边长含参数时，需分情况讨论哪条边为斜边，再列方程求解参数。 例3.(25-26八年级上广东河源·期末)如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均 在格点上 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)直接写出AB= BC= AC= (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 【变式3-1】(25-26八年级上·福建福州期末)已知a,b,c是△ABC的三边长. (1)若a2+b2-4a-8b+20=0,求c的取值范围： (2)若a-b=a2c2-bc2,试判断△ABC的形状并说明理由. 【变式3-2】(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，在△ABC中，AB=13,AC=15,D为边BC上一 点，且BD=5,AD=12. 0 (I)求证：AD L BC: (2)求△ABC的面积. 【变式3-3】(2526八年级上江苏南通期末)如图，在△1C中，D1BC,垂足为点D,4D=5 BD=1,∠ACB=30° B D (1)求证∠BAC=90°： (2)若CP平分∠ACB交AB于点P,求AP的长. 类型四、勾股定理及逆定理的应用 方法总结 1.定理求边长：在直角三角形中，已知两边用勾股定理求第三边。 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.逆定判形状：验证三边是否满足+b2=c2,判断三角形是否为直角三角形。 解题技巧 1.构造直角：无直角三角形时，通过作高、连接对角线等辅助线构造。 2.分类讨论：斜边不确定时，分情况讨论哪边为斜边，避免漏解。 例4.(24-25八年级上福建福州期末)如图，一工厂位于点C处，河边原有两个取水点A,B,其中 AB=AC,由于从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H(点A,H,B 在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=5km,CH=4km,BH=3km, B (I)请判断CH是否为从工厂C到河边最近的一条路（即CH与AB是否垂直）？并说明理由. (2)求AC的长. 【变式4-1】(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地 按班级进行分配.如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得 AB=6m,BC=8m,CD=24m,AD=26m,∠B=90° (1)求点A,C之间的距离： (2)求四边形ABCD的面积. 【变式4-2】(25-26八年级上·陕西咸阳·期末)运动不息，健康常在.如图，为了满足市民健身需求，市 政部门在某公园内沿湖边修建了四边形ABCD环湖步道，已知AB=16km,AD=2Okm,BC=13km,点 B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向5km处. 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 西 东 南 B (I)求证：AB⊥BD: (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C处，求无人机飞行的直线距离 【变式4-3】(25-26八年级上广西贵港·期末)综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集 设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计. 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,在CD上选取两点E,F为浇灌点，从水源点G处铺 设管道引水。 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F: 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E,F铺设管道 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离为l5m,就可以快速确定∠ABC的度数. 刀 街 E 道 街道 (I)施工人员测量的是点 与点 之间的距离。 (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用. (3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方 案中，哪一种方案所需的费用最少 7/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、利用勾股定理求最短距离问题 方法总结 1.立体图形展开：将几何体表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。 2.勾股定理计算：在展开图中构造直角三角形，用勾股定理求最短路径长度。 解题技巧 1.多种展开：若展开方式不同，需比较各路径长度，选最短者。 2.对应点定位：准确找出起点和终点在展开图中的位置，确定直角三角形的两直角边。 例5.(25-26八年级上河南新乡期末)如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10， 圆柱的高AB=12,在圆柱的侧面上，过点AC两点嵌有一圈长度最短的金属丝 过之立酒 (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (2)求该金属丝的长. 【变式5-1】(25-26八年级上福建泉州期末)综合与实践 B 图1 备用图 (1)如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点）， AD L AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米，BC=16千米.①尺规作图：在AB边上作出一 点P,使PC=PD:(不写作法，保留作图痕迹) ②在①的条件下，求AP的距离： (②借助上面的思考过程与几何模型，求代数式V+9+6-+81(0<x<16)的最小值为 【变式5-2】(25-26八年级上贵州贵阳·期末)小星学习了最短路径问题后，做了一个高为10©m,底面圆 的周长为24m的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点A处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 务 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点A相对的中点P处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是 2v3cm 任务二：小星把圆柱的高变为 m,底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部A处，帮蚂蚁 设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点A相对的点M处的食物，吃完后再设计另一条与 前一条不一样的最短路径回到点B处（此时A、B两点重合）小星沿着AD竖直方向将圆柱剪开，得到长方 形ABCD(如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想MB平分∠AMC,请根据题意，在图③中补全图形， 并判断他的猜想对吗？请说明理由。 任务三：小星准备了一张边长为20cm的正方形纸片（如图④），点E为BC中点，他将△ABE沿AE对折 到正方形内部△AFE的位置，并把线段AB抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点F处，不计蜂蜜的宽度，你能帮 小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程 D 图① 图② 图③ 图④ 【变式5-3】(25-26八年级上‘贵州期末)【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四 级台阶每一级的长、宽、高分别为l5dm,3dm,2dm,如图1所示.A和B是这个四级台阶两个相对的端点， 若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ (1)数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经 过计算得到AB长度即为最短路程，则AB= dm。 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是l0cm,高是l5cm,一只蚂蚁从点A出发沿着 玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，在(2)的条件下，在杯子内壁离杯底6Cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子 外壁，离杯子上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯 壁厚度不计) 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 15 A B 20 15 单位：dm 图1 图2 图3 图4 类型六、验证勾股定理的方法 方法总结 1,面积法：构造图形（如弦图、梯形），用两种方法计算总面积，得等式化简为a2+b=c2。 2.割补法：将直角三角形外围的正方形割补，通过面积相等关系推导结论。 解题技巧 1.选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”梯形，便于面积分割。 2.代数化简：列出面积等式后，展开并消去相同项，保留平方项即得。 例6.(25-26八年级上：广东梅州期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部 分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同 的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2=c2 0 6 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,则空白部分的面积为_· (3)如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.若AD=5,AB=3,求EF的长， 【变式6-1】(25-26七年级上山东威海期末)如图，将一个长为a,宽为b的长方形纸片（如图I, a>b)剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c,并摆成图Ⅲ.两个直角三角形纸 片分别记为△ABC和△DEB,点D在边BC上，DE与AB交于点F,连接AD和AE. 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图I 图I 图Ⅲ (I)写出AB与DE的位置关系及理由： (2)利用图皿，验证a2+b2=c2. 【变式6-2】(25-26八年级上湖北黄冈期末)如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创 制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.利用面积关系证明直角三角形三边 之间的数量关系，即在直角三角形中，c2=a2+b(c为斜边). (1)请利用“赵爽弦图”证明结论：c2=2+b(c为斜边). 【动手试一试】 (2)现有三边长为a,b,c的直角三角形若干个，边长为c的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四 边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限， (3)用其中一个图形证明a2+b2=c2(提示：用面积法) 赵爽弦图 【变式6-3】(25-26八年级上·上海杨浦·期末)【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系.如图1，将两 张全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF),按照图I的方式摆放，点C与点D重合，点B,C,D, E在一条直线上，连接AF,则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于a,b,C之间的等量关系，从而 验证勾股定理， 【变式探究】 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点C与点E重合，点D在BC边上，连接 AD,AF,线段DF与AC交于点G ①图2中线段AC与DF的位置关系为一； ②智慧小组发现四边形ADCF的面积可以表示为以DF或AC为公共底边的两个三角形的面积之和，也可 表示为梯形ABCF与△ABD的面积之差.请按照这样的思路利用四边形ADCF的面积验证勾股定理： 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度， (2)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D,AB=3,AC=5.取AC边上的点E,连 接BE,使得BE=CE.点P是BC边上的一个动点，过点P作BE和CE的垂线，垂足分别为点Q,R.若 PR=2PO PO ,求的长. C 6 D b c G a D a C(E) b C(Da E 图1 b 图2 图3 压轴专练 一、单选题 1,(25-26八年级上吉林长春期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在BC上，D点在 AB的中垂线上， AD=5BC ,则的长为() 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A V3-1 B.5+1 C.5+1 D.5-1 2.(25-26八年级上江苏泰州期末)已知直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为℃，下列说法正 确的是() A.长分别为2a,2b,2c的三条线段一定能组成一个直角三角形 B.长分别为a+2,b+2,c+2的三条线段一定能组成一个直角三角形 C.长分别为 va B vc ”的三条线段一定能组成一个直角三角形 D.长分别为2，b2,c2的三条线段一定能组成一个直角三角形 3.(25-26八年级上福建漳州期末)如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.8m,将它往前 推3m至C处时（即水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度CF=2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索 AC的长是() B --E A.3.2m B.3.4m C.3.6m D.3.8m 4.(25-26八年级上贵州毕节期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,将△ABC折叠， 使点B与AC的中点F重合，折痕为DE,则CE的长为() 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 5.(25-26八年级上·上海浦东新·期末)如图，铁路MN和公路P9在点O处交会，点A到MN的直线距离 为100m.公路P9上点A处距离点O处300m.如果火车行驶时，周围260m以内会受到噪音的影响，那么 火车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为s. N M 6.(25-26八年级上山西运城期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点D是BC上 一点，连接AD,将△ACD沿着AD折叠，使点C落在AB上的点E处，过点B作BF⊥AD,交AD的延长 线于点F,则BF的长为 E 7.(25-26九年级上山东临沂·期末)世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算 术》，其勾股数组公式为a=m-rb=mm,c-m+),其中mam>网是互质的奇数，则ahc 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为勾股数.我们令=1，得到下列顺序排列的等式： ①32+42=52，②52+122=132，③72+242=252，④92+402=412，… 根据规律写出第⑦个等式为 8.(25-26八年级上福建漳州期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,点P在AC上， 当点P与△ABC中的两个顶点构成等腰三角形时，CP的长为一 三、解答题 9.(25-26七年级上山东淄博期未)如图是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架AC=80cm, BC=60cm,两轮中心的距离AB=100cm, A B (1)判断支架AC,BC是否垂直： (2)求点C到AB的距离 10.(25-26八年级上江苏扬州期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐 标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点” A(-4,3) (1)点 (填“是”或“否”)“完美点”； (2)若 B(5,a),OB=a+1,求a的值并判断点B是否为“完美点”： (3)若n为整数，点 (n2-1,2n 求证：点C为“完美点”， 11.(25-26八年级上河北保定·期末)春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在公路上进行广播宣传.如图11，已知一辆移动广播车在笔直的公路AB上，沿东西方向由A向B行驶， 嘉嘉家在公路的一侧点C处，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300m,BC=400m,又 AB=500m,假如移动广播车周边260米以内能听到广播宣传. (I)判断△ABC的形状并说明理由： (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路AB上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E时，嘉嘉在家刚好听 到广播，当移动广播车行驶到点F时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即CE=C℉=260米，问嘉嘉在家听 到广播宣传的时长是多长？ 12.(25-26八年级下湖南衡阳期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,若动点P 从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为lcm/s,设出发的时间为s,连接PA、PB. ◇ B 备用图 (1)出发2s后，求BP的长： (2)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？ (3)另有一点9，从点C出发，按C→B→A→C的路径运动，且速度为2cm/s,若P、Q两点同时出发， 当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接P吧.当1为何值时，直线P吧把△ABC的周长分成 相等的两部分？ 13.(25-26八年级上山西临汾期末)阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角 形较长直角边为a,较短直角边为b,斜边长c,用面积法得到直角三角形三边长a、b、c之间的一个重 要结论：a2+b2=c2 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H b 图1 图2 图3 (I)已知：∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证a2+b2=c2. 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：·四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, ∴正方形CFGH的边长为 .AB=c ， SE方花D=4S.c+SE方cH(等面积法)， c2=4× =a2+b2 .a2+b2=c2 (2)如图2，四边形ACED是直角梯形，∠C=∠E=90°，BC=a,AC=b,AB=c, 其中AB=BD,∠ABD=90° ①求证：△ABC≌aBDE: ②仿照(1)用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2】 (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”， 若a=6,b=5,外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为 14.(25-26八年级上湖南郴州期末)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来 的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题， 比如云+6的几何意义是以a,b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求V+9+V3-x+1 的最小值时，可数形结合构造两个分别以x,3和3-x,1为直角边的直角三角形（如图），∠B=∠D=90°， AB=3,BP=x,CD=L,DP=3-x,由勾股定理知AP=VR+9,CP=V3-x+1,细心观察发现BP 与DP'的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当 17/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，VF+9+V3-+1的最小值为线段4C的长 B X P p'3-x Bx P(P)3-x x P ①根据上述规律和结论，请构图求代数式V+9+8-+9的最小值（其中0<x<8): (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x>0)： V36-x2+V64-x2=10 ①解方程： ②求代数式Vx+4+16-+1的最大值. 18/18 期末压轴专题02 勾股定理及逆定理的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用勾股定理求解 类型二、勾股定理与折叠问题 类型三、利用勾股定理的逆定理求解 类型四、勾股定理及逆定理的应用 类型五、利用勾股定理求最短距离问题 类型六、验证勾股定理的方法 压轴专练 类型一、利用勾股定理求解 方法总结 1. 定理应用：在直角三角形中，已知两边可求第三边（c = ）。 2. 方程思想：设未知线段为x，用勾股定理列方程求解。 解题技巧 1. 构造直角三角形：当图形中没有直角三角形时，通过作高、连接对角线等方法构造。 2. 分类讨论：当斜边不确定时，需分情况讨论哪条边为斜边，避免漏解。 例1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，平分交于点D，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，正确作出辅助线是解题关键． 过点D作于点E，由勾股定理可求出，推导出，得到，则，设，则，在中，，求出x的值即可． 【详解】解：在中， ， 过D作于E，如图 ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中， ， 即， 解得， 即． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，点D在边上，． (1)求边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）过点A作于点M，由勾股定理可得出，即可求出答案； （2）过点B作于点N，由勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于点M， ∵， ∴M是的中点， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4； （2）过点B作于点N， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是中边上的高，点E在边上．    (1)若是的角平分线，，，求的度数； (2)若是的中线，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和、角平分线和垂直的定义，易求，，计算即可求解． （2）设，则，，根据勾股定理，可列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是中边上的高， ， ， ； （2）解：设， 是的中线， ， ， ，， 是中边上的高， ， 在中，，则，即， 在中，，则，， ， 解得， 则的长为． 【变式1-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 类型二、勾股定理与折叠问题 方法总结 1. 折叠性质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 勾股定理：在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，明确未知数。 2. 设元勾股：设所求线段长为x，用含x的式子表示其他边，在直角三角形中列勾股方程。 例2．（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求得的长，根据折叠性质得到即可求解； （2）分为当时和当时两种情况，利用折叠性质和勾股定理，以及等腰三角形的判定分别求解即可； （3）取的中点，连接，证明得到，则，可得当T、H、B三点共线时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，在Rt中，， 即 解得 ∵折叠 的长度为3.2 ； （2）解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当时， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； ②如答图3，当时，则 由折叠可知，， ， 设，则， 在Rt中，， ， 解得， ， 综上所述：的长度为2或5 ； （3）解：如答图4，取的中点，连接， 由折叠可知，， ， ， 分别是的中点， ， 又， ， ， ∴当T、H、B三点共线时，有最小值， 最小值． 的最小值为． 类型三、利用勾股定理的逆定理求解 方法总结 1. 判定直角：若三角形三边满足a2 + b2 = c2（c为最长边），则该三角形为直角三角形。 2. 应用求解：用于判断三角形形状、求角度或利用直角性质（如面积法）进一步计算。 解题技巧 1. 先找最长边：验证等式前，先确定三边中的最大边作为c，避免计算错误。 2. 分类讨论：当边长含参数时，需分情况讨论哪条边为斜边，再列方程求解参数。 例3．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5；10； (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理即可． （1）根据网格的长度结合勾股定理求解长度即可； （2）结合三条边的长度由勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：5，10，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，，，， 则， 是直角三角形． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，垂足为点D，，，． (1)求证； (2)若平分交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，证明是解题的关键． （1）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再证明，据此可证明结论； （2）过点P作于点E，由角平分线的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，； （2）解：如图所示，过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型四、勾股定理及逆定理的应用 方法总结 1. 定理求边长：在直角三角形中，已知两边用勾股定理求第三边。 2. 逆定判形状：验证三边是否满足a2 + b2 = c2，判断三角形是否为直角三角形。 解题技巧 1. 构造直角：无直角三角形时，通过作高、连接对角线等辅助线构造。 2. 分类讨论：斜边不确定时，分情况讨论哪边为斜边，避免漏解。 例4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见解析； (2)的长为千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）根据勾股定理的逆定理判断即可； （）设的长为千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设的长为千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 【变式4-1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动不息，健康常在．如图，为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形环湖步道，已知，，，点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． (1)求证：； (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C处，求无人机飞行的直线距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)无人机飞行的直线距离为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理的应用． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解： ∵点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向处． ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：如图作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． ∴无人机飞行的直线距离为． 【变式4-3】（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 类型五、利用勾股定理求最短距离问题 方法总结 1. 立体图形展开：将几何体表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。 2. 勾股定理计算：在展开图中构造直角三角形，用勾股定理求最短路径长度。 解题技巧 1. 多种展开：若展开方式不同，需比较各路径长度，选最短者。 2. 对应点定位：准确找出起点和终点在展开图中的位置，确定直角三角形的两直角边。 例5．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．                           (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； (2)求该金属丝的长． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故答案为：C； （2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，得， ∴该金属丝的长． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 【变式5-3】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 类型六、验证勾股定理的方法 方法总结 1. 面积法：构造图形（如弦图、梯形），用两种方法计算总面积，得等式化简为a2 + b2 = c2。 2. 割补法：将直角三角形外围的正方形割补，通过面积相等关系推导结论。 解题技巧 1. 选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”梯形，便于面积分割。 2. 代数化简：列出面积等式后，展开并消去相同项，保留平方项即得。 例6．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 【变式6-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 【答案】(1)；见解析； (2)． 【分析】（1）由题意得，推出，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用，结合面积公式列式计算即可得证． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由题意得，，， ， ∵， ∴， 整理，得． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析． （3）见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，完全平方公式，图形面积的性质证明即可． （2）根据题意，拼图解答即可． （3）根据题意，利用面积法证明即可． 本题考查了勾股定理的证明，面积的性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个直角三角形的面积为， 根据题意，得， 故． （2）解：根据题意，拼图如下： （3）解：设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． （1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 二、填空题 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 6．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 【答案】(1)是 (2)，点B是“完美点”； (3)见解析 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可； （3）根据新定义进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ∴点到原点的距离为， ∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数， ∴点是“完美点”； （2）解：由题意，， 解得， ∴，， ∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数， ∴点B是“完美点”； （3）证明：∵， ∴点到原点的距离为， ∵为整数， ∴，均为整数， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数， ∴点C为“完美点”． 11．（25-26八年级上·河北保定·期末）春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)嘉嘉在家能听到广播 (3)秒 【分析】（）利用勾股定理的逆定理解答即可求解； （）过点作于点，利用三角形的面积可得米，进而即可判断求解； （）利用勾股定理可得米，即得米，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下： ，， ， ∴是直角三角形； （2）解：过点作于点， 则， 即， 解得（米）， ∵， ∴嘉嘉在家能听到广播； （3）解：由题意得，在中，（米）, 同理得，（米）， （米）， ∵（秒）， ∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是秒． 12．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再求出发后的长，再次利用勾股定理求解即可； （2）分情况讨论：当点P在上时，，及过点C作于点D，求出此时的值；当点P在上时，及的情况下，此时的值； （3）设点P运动的路程为，点Q运动的路程为，分两种情况讨论：当P、Q相遇前和P、Q相遇后，此时和的长，再根据直线把的周长分成相等的两部分列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】注意数形结合、分类讨论的思想方法的运用． 13．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $