第3讲 抛体运动（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一下学期物理期中期末复习（人教版必修第二册）

第3讲 抛体运动 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 平抛运动的基本规律及重要结论 知识点2 斜面类的平抛运动模型 知识点3 另外两种常见平抛运动的约束模型 知识点4 类平抛运动 知识点5 多体平抛问题及相遇与临界问题 知识点6 斜抛运动 知识点1：平抛运动的基本规律及重要结论 1.定义 以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2.性质 平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 3.平抛运动的条件 ①v0≠0，沿水平方向；②只受重力作用。 4.研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5.基本规律 平抛轨迹图 如图所示，以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则 水平方向 做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t 竖直方向 做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2 合速度和速度偏向角 合速度：v＝，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝。 合位移和位移偏向角 合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝。 速度变化量 平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持vx=v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔∆t时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点： ①任意时刻v的速度水平分量均等于初速度v0； ②任意相等时间间隔∆t内的速度改变量均竖直向下，且∆v=∆vy=g∆t。 两个推论 ①做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 三个重要结论 ①飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 ②水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 ③落地速度：v＝＝，以α表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan α＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 6.平抛运动的分解方法与技巧 【针对练习1】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，高为的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为的滑雪爱好者，以一定的初速度向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面间的夹角为（）。由此可知不正确的是（　　） A．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是 B．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是 C．滑雪者在空中运动的时间为 D．滑雪者着地时的速度大小为 【答案】D 【详解】A．滑雪者竖直方向做自由落体运动，由 得着地时竖直分速度 根据速度分解有 解得初速度，故A正确； B．滑雪者在空中运动的时间 水平距离，故B正确； C．由 得，故C正确； D．滑雪者着地时的速度大小，故D错误。 本题选不正确的，故选D。 【针对练习2】（25-26高一下·北京海淀·月考）如图所示，是有趣的“套圈”小游戏。小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小圆环，要想套中同一个小圆筒。若小圆环的运动视为平抛运动，小圆环可被视为质点，则（　　） A．大人抛出的圆环速度变化率较大 B．大人抛出的圆环在空中运动时间较长 C．大人抛出的圆环初速度较大 D．无法比较大人与小孩抛出小圆环的初速度大小 【答案】B 【详解】A．大人、小孩抛出的圆环在空中的加速度均为重力加速度，所以速度变化率相等，故A错误； B．圆环在空中做平抛运动，竖直方向有 可得 由于大人抛出的圆环在空中下落高度较大，则大人抛出的圆环在空中运动时间较长，故B正确； CD．水平方向有 由于水平位移相等，大人抛出的圆环在空中运动时间较长，则大人抛出的圆环初速度较小，故CD错误。 故选B。 【针对练习3】（多选）（24-25高一下·广东佛山·月考）飞镖比赛中，某选手先后将三支飞镖a、b、c由同一位置水平投出，三支飞镖插在竖直靶上的状态如图所示。不计空气阻力．下列说法正确的是（　　） A．飞镖a在空中运动的时间最短 B．飞镖c投出的初速度最大 C．三支飞镖镖身的延长线交于同一点 D．三支飞镖速度变化量的方向不相同 【答案】BC 【详解】A．根据可知，飞镖a在空中运动的时间最长，飞镖c在空中运动的时间最短，故A错误； B．根据，由于水平位移相等，飞镖c在空中运动的时间最短，则飞镖c投出的初速度最大，故B正确； C．三支飞镖镖身的方向是速度的方向，根据平抛运动推论可知，其延长线应该经过水平位移的中点，则应该交于同一点，故C正确； D．飞镖平抛运动速度变化量方向均为竖直向下，故相同，故D错误。 故选BC。 【针对练习4】（25-26高一下·北京丰台·期中）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝6m/s的速度水平向右匀速飞行。某时刻释放了一个小球，此时无人机距水平地面的高度h＝3.2m。空气阻力忽略不计，g取10m/s2。求： (1)小球下落的时间； (2)小球释放点与落地点之间的水平距离； (3)小球落地瞬间速度的大小和方向。 【答案】(1) (2)4.8m (3)，与水平方向的夹角为53° 【详解】（1）竖直方向，根据 可得 （2）水平方向做匀速运动，则x = v0t 解得x=4.8m （3）落地的竖直速度为vy=gt=8m/s 落地时速度的大小   速度与水平方向的夹角为θ，则 解得 θ=53°。 【针对练习5】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据平抛运动竖直方向的运动规律有 解得 （2）滑块在B点，竖直方向的速度为 滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，则有， 解得， 知识点2：斜面类的平抛运动模型 1.模型特点 平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛或者往斜面上抛的过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件。 2.模型分析 模型分类 解题思路 方法总结 分解速度： vy＝gt， tan θ＝＝， 故t＝ ①分解速度； ②在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角互余。 分解位移： x＝v0t， y＝gt2， 而tan θ＝， 联立得t＝ ①分解位移； ②以不同的初速度抛出小球，只要落到斜面时速度的方向都平行或者速度方向与斜面的夹角都相等； ③速度与斜面平行时，距离斜面最远，满足以下四个特点： A.由，即可求出距离斜面最远的时间。 B.该时刻是全运动过程的中间时刻。 C.该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为13。 D.利用分解加速度和分解速度即可以求出距离斜面的最远距离： 以最小位移落在斜面上，分解位移： 以最小位移落在斜面上时，合位移与斜面垂直，此时合位移与竖直方向的夹角与斜面夹角相等。 分解运动： 竖直方向上的位移等于斜面上下落的h和沿着斜面下降的。 沿斜面轨道入射类，分解速度： 沿轨道或者沿轨道的切线方向入射类的模型一般是先分解速度。 【针对练习6】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，某运动员在跳台滑雪比赛训练时，从跳台边缘距离斜面顶端一定高度的O点以不同速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员落在斜面时的速度方向都不相同 B．运动员在空中运动的时间与初速度成正比 C．运动员在空中运动过程中的速度变化率增大 D．运动员落在斜面时的速度与滑出的速度成正比 【答案】A 【详解】A．设为落在斜面时速度方向与水平方向的夹角，为落在斜面时位移方向与水平方向的夹角，根据平抛运动推论可得 由于落在斜面不同位置时，不同，所以不同，即运动员落在斜面时的速度方向都不相同，A正确； B．设运动员离开点时速度为，在空中运动时间为，跳台边缘距离斜面顶端的高度为，落到斜面上时水平位移为，竖直下落高度为，斜坡的倾角为，由平抛运动规律可知运动员滑出速度越大，下落的高度越高，在空中运动时间越长，根据几何关系可得 可知运动员在空中运动的时间与初速度不成正比，B错误； C．运动员做平抛运动，运动员在空中运动过程中的速度变化率，即速度变化量与所用时间的比值 可知速度变化率保持不变，C错误； D．运动员落在斜面时的速度 与滑出时的速度不成正比，D错误。 故选A。 【针对练习7】（25-26高一下·云南昭通·期中）如图所示，将一质量为的小球，从倾角为的足够长斜面上的点以初速度水平抛出，落在斜面上的点，落点距抛出点的距离为，不计空气阻力，重力加速度大小为g，，，则下列说法正确的是（     ） A．小球从被抛出到落到斜面上点所用的时间为 B．若将小球速度增加到，则落点距抛出点的距离增加至 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为点，则 D．小球在运动过程中离斜面最远距离为 【答案】D 【详解】A．依据斜面上平抛的推论 解得，故A错误； B．依据平抛运动规律 将小球速度增加到，则落点距抛出点的距离变为，故B错误； C．由于沿斜面方向小球做初速度不为零的匀加速运动，所以，故C错误； D．建立沿斜面方向的轴，垂直于斜面方向的轴，将重力加速度分解为，，， 故垂直于斜面向上做匀减速直线运动 解得 距离斜面最远 故D正确。 故选 D。 【针对练习8】（多选）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图甲所示，挡板与水平面的夹角为，小球从点的正上方高度为的点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．图乙的函数关系图像对应的方程式 B．图乙中的数值-2 C．当图乙中的值为 D．当，图乙中，则平抛运动的时间为 【答案】ACD 【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示 把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系 解得 根据几何关系有 联立整理，故A正确； B．结合图乙函数关系图像可得，故B错误； C．由 结合图乙可得函数关系图像的斜率 又有， 可得，故C正确； D．当，H=0.2m 根据 解得 根据 解得，故D正确。 故选ACD。 【针对练习9】（25-26高一上·天津和平·期末）如图所示是位于同一竖直平面内的某装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角为的固定斜面，A是斜面上的点。小球从距离O点为H高度处静止落下，与三棱柱碰撞于O点（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同，之后小球恰能垂直斜面打在A点。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球落在O点的速度大小； (2)小球落在A点的速度大小v； (3)小球从O点运动到A点的水平位移大小x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球自由下落；落到O点 解得 （2）小球从O点水平向右飞出后做平抛运动，垂直打在A点，可得 解得 （3）小球在A点的竖直方向速度 又因为， 解得 【针对练习10】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，水平台面上B点静止一可视为质点的小物块，B点到台面左端A点的距离为L=2m，台面左侧水平地面上固定一斜面CD，斜面的倾角θ=53°，高h=8m。现给物块一水平向左的初速度，物块从A点抛出后，恰好从斜面顶端C点无碰撞地滑上斜面。已知物块与台面AB及斜面CD间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，sin53°=0.8，求： (1)物块到达A点时的速度大小； (2)物块从A运动到C下落的高度； (3)物块到达斜面底端D点时的速度大小。 【答案】(1)3m/s (2)0.8m (3) 【详解】（1）设物块在水平台面上的加速度大小为a1，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得物块到达A点时的速度 （2）物块从A点抛出后，恰好从斜面顶端C点无碰撞地滑上斜面，可知物块在C点竖直方向速度为 解得t=0.4s 解得物块从A运动到C下落的高度 （3）由平抛运动规律，可知物块在C点速度 设物块在斜面上的加速度大小为，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得 知识点3：另外两种常见平抛运动的约束模型 1．竖直面及水平面约束模型 本模型中的障碍主要是对水平或竖直位移形成限制，以及所能形成的临界状态情景。 图甲中竖直位移一定，对水平位移可形成最大值与最小值的限制 图乙中水平位移一定，使飞行时间受到初速度的限制 图丙中竖直障碍高度一定，对越过障碍的初速度、抛出点的高度形成限制 图丁中对水平位移、竖直位移均可形成限制：速度较小时竖直位移一定，速度较大时水平位移一定 2.半圆形约束模型 平抛运动与圆形障碍模型中物体抛出点位置不同限制关系不同，有对位移与球面半径之间形成限制关系的。 如图甲、乙、丙、丁所示，可分解位移处理，如在图甲中x=R±Rcosθ,y =R sinθ 如图戊、己所示，可分解速度处理 若物体从球面沿水平直径抛出，随抛出速度的增大，飞行时间先增大后减小、水平位移一直增大，落到球面上时速度方向不可能垂直于球面。 【针对练习11】（25-26高一下·重庆江津·期中）如图所示，运动员将网球（视为质点）在边界A处正上方B点垂直球网C水平向右击出，恰好过球网的上边沿落在D点。已知，网高，边界A到球网的距离为L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球在B点的速度大小为 B．D点到球网的距离为 C．若击球高度低于H（仍大于h），且减小击球速度，则网球可能落在球网右侧 D．若网球的初速度变为原来的倍，则网球刚好落在右边的边界上 【答案】D 【详解】A．网球做平抛运动，从B点到网的上边沿，竖直方向有 解得 水平方向有 解得，故A错误； B．网球从B点落到D点，竖直方向有 解得 水平方向总位移 所以D点到球网的距离为，故B错误； C．若击球高度低于H（设为），且减小击球速度（设为），网球运动到球网位置的时间变大，下落高度变大；而允许的最大下落高度变小，所以击球高度低于H（仍大于h），且减小击球速度，则网球不可能落在球网右侧，故C错误； D．若网球的初速度变为原来的倍，落地时间不变，则水平总位移 此时网球落点距离球网的水平距离为 根据场地对称性，刚好落在右边的边界上，故D正确。 故选D。 【针对练习12】（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD-A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向水平抛出可视为质点的小球，不计空气阻力，已知立方体边长为L，重力加速度大小为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中的速度偏转角是对应位移偏转角的2倍 B．落点在B1D1连线上不同点的小球，平抛初速度的最小值为 C．运动轨迹与AC1连线相交但交点不同的小球，在离AC1连线最远时速度方向都相同 D．运动轨迹与AC1连线相交的小球，在不同交点处的速度方向不同 【答案】C 【详解】A．小球运动过程中的速度偏转角正切值是对应位移偏转角正切值的2倍，选项A错误； B．垂直BD连线射出的小球落点在B1D1连线的中点，此时水平位移最小，则抛出的初速度最小，平抛初速度的最小值为 选项B错误； C．运动轨迹与AC1连线相交但交点不同的小球，在离AC1连线最远时速度方向均平行AC1连线，即方向相同，选项C正确； D．运动轨迹与AC1连线相交的小球，在不同交点处的位移偏转角相同，则根据A的结论可知，速度的偏转角相同，即速度方向相同，选项D错误。 故选C。 【针对练习13】（25-26高一上·浙江湖州·期末）如图为一半圆柱面的截面，为半圆的水平直径，从点以水平初速度抛出一小球，经小球落在半圆柱面上点（图中未画出），若不考虑反弹，下列判断中不正确的是（　　） A．半圆的半径为 B．小球刚到点的速度方向与水平方向夹角的正切值为1 C．小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向竖直向下 D．选择合适的初速度，小球可以直接垂直打在半圆柱面上 【答案】D 【详解】根据题意画出小球的运动轨迹，如图所示 A．根据题意可知，小球的水平位移为 竖直位移为 由平抛运动规律可知，位移与水平方向夹角的正切值为 根据几何关系可知 则 可得 则半圆的半径为，故A正确； B．速度偏转角的正切值为， 联立解得，故B正确； C．对平抛运动由，小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向跟重力加速度的方向相同，竖直向下，故C正确； D．当小球垂直打在半圆柱面上时，速度的反向延长线过圆心，根据几何关系可知，速度与水平方向的夹角和位移与水平方向夹角的关系为 根据平抛运动规律又有 联立可知，满足此关系的和无解，则不论初速度多大，小球都不可能垂直打在半圆壁上，故D错误。 故选D。 【针对练习14】（多选）（24-25高一下·河南许昌·月考）如图所示为半球形碗的竖直截面图，O为圆心，C为半球形碗的最低点，AOB为水平直径，碗的半径为r。两个小球甲和乙先后分别从A点、B点以不同的初速度v1、v2沿水平方向相向抛出，小球甲恰好撞到碗上的C点，。两小球可视为质点，撞到碗后不反弹。忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．两小球能在空中相遇 B．小球乙不可能垂直撞击到碗上 C．小球甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度大 D．小球乙的初速度 【答案】BC 【详解】A．两个小球甲和乙是先后做的平抛运动，竖直位置肯定不相同，所以两小球不可能会在空中相遇，故A错误； B．由平抛运动规律可知，速度反向延长线一定过水平位移中点，若小球垂直撞击碗上，则反向延长线就会过O点，所以是不可能的，故B正确； CD．由平抛运动规律可知，下落高度越大，竖直分速度越大，所以竖直分速度最大时平抛落点为C点，由平抛运动规律可得 ， 解得 因为，所以 故C正确，D错误。 故选 BC。 知识点4：类平抛运动 1.模型概述 有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，其轨迹与平抛运动相似，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统称作“类平抛”模型。 2.正确理解类平抛运动的特点 （1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 （2）运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3.求解方法 （1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 【针对练习15】（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度大小为 C．小球再次回到x轴所需时间0.6s D．小球再次回到x轴的位置距坐标原点 【答案】C 【详解】A．由受力分析可知，重力为G=10N竖直向下，风力为，与重力夹角为120°，可知两个力的合力为，方向与x轴夹角为30°斜向下，即合力方向与初速度方向垂直，物体做类平抛运动，则物体的速度一直增加，A错误； B．物体的加速度为，B错误； CD．小球竖直方向的加速度向下，大小为 则回到轴的时间是 水平加速度 距原点，C正确，D错误。 故选C。 【针对练习16】（多选）（24-25高一下·天津河东·期中）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（　　） A．物块运动的加速度 B．物块由P运动到Q所用的时间 C．物块由P点水平射入时的初速度 D．物块离开Q点时的速度大小 【答案】BCD 【详解】AB．根据牛顿第二定律 物体运动的加速度为 根据运动学公式 得物块由P运动到Q所用的时间 故A错误，B正确； C．入射的初速度为 故C正确； D．物块离开Q点时沿斜面向下的分速度的大小 物块离开Q点时的速度大小 故D正确。 故选BCD。 知识点5：多体平抛问题及相遇与临界问题 1.定义 多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。 2.三类常见的多体平抛运动 3.平抛运动中相遇问题 抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简单。 两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 4.平抛运动中的临界问题 (1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点． (2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件． 【针对练习17】（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后，两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，不计空气阻力，篮球可看成质点，下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．乙同学抛出篮球的初速度一定大 C．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 D．若甲、乙两同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方 【答案】C 【详解】A．已知甲、乙的抛出点高度，并且在同一位置相遇，则由 得，如果两球同时抛出，甲的球会比乙的球晚到达点。要使两球在点相遇，甲必须比乙先抛出，故A错误； B．由， 得，但题目未给出水平位移关系，仅能得出 故B错误； C．由， 这说明在相遇前，甲的球在空中运动的时间更长，故C正确； D．如果速度变为原来两倍，设甲下落位移为，乙下落位移为，初速度均变为和 ，设新相遇时间为，则 又要满足， 由于， 和 也不相等，无法保证两球在P点正上方相遇，故D错误。 故选C。 【针对练习18】（多选）（25-26高一下·湖北十堰·月考）如图所示，在地面上Q点正上方P点处以大小为的初速度斜向下抛出一个小球甲，与竖直方向夹角为，同时在Q点以大小为的初速度斜向上抛出一个小球乙，与水平方向的夹角，且。若两球速度大小相等时相遇，不计空气阻力，则P点离地面的高度h及夹角满足的条件正确的是（重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．甲球做斜下抛运动，乙球做斜上抛运动，要使两球在空中相遇，则水平方向速度相同，即 其中，得，故A错误，B正确； CD．两球速度大小相等时相遇，两球水平方向速度相同，根据速度合成可知两球的竖直方向速度大小相等，则有 距离关系为 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 【针对练习19】（24-25高一下·山东菏泽·期中）如图所示，同学们在课外活动时玩投沙包游戏，水平地面上的得分区域用平行标线均匀分成9格，每格宽度d=0.3m，在地面上依次标记为1，2，3，……9，要求参赛者站在离得分区域边界AB的距离为L=3m处，每次总是从距离地面高度为h=1.8m处的P点垂直于AB且沿水平方向抛出沙包，沙包落地后立即停止不动，沙包可视为质点，空气阻力不计，重力加速度大小为g=10m/s2。求： (1)当沙包恰好落到第6格和第7格的分隔标线上时的速度大小； (2)为了使沙包能落入第5格内并且不能落在标线上，初速度大小的取值范围。 【答案】(1)10m/s (2)7m/s<v<7.5m/s 【详解】（1）由题意可知，沙包做平抛运动，在竖直方向上 解得，沙包运动时间为 当沙包恰好落到第6格和第7格的分隔标线上时，沙包的水平位移大小为 则平抛的水平速度为 竖直分速度大小为 所以，落地时的速度大小为 （2）当沙包恰好落到第4格和第5格的分隔标线上时，沙包的水平位移大小为 则平抛的水平速度最小，为 当沙包恰好落到第5格和第6格的分隔标线上时，沙包的水平位移大小为 则平抛的水平速度最大，为 又因为不能落在标线上，所以初速度大小的取值范围为7m/s<v<7.5m/s 知识点6：斜抛运动 重要结论： (1)运动轨迹取决于初速度 v0的大小与方向,与其他因素无关。 (2)运动具有对称性:时间对称、速度对称。 (3)斜上抛的物体到达最大高度的时间 。 (4)落回抛出高度时的水平射程，α=45°时水平射程最远。 (5)斜上抛物体的初速度大小相同时,抛射角互余时具有相同的水平射程。 (6)斜上抛物体到达的最大高度，α=90°时射高最大。 【针对练习20】（多选）（25-26高一下·河北保定·期中）如图所示，小明分别在篮筐正前方的a、b位置投掷篮球，出手时篮球的高度相同，篮球都垂直击中竖直篮板上的同一点。不考虑篮球旋转且不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．在a处投掷时，篮球从出手到击中篮板的时间长 B．在b处投掷时，篮球击中篮板的速率大 C．在b处投掷时，篮球出手时的速率大 D．在a处和b处篮球从出手到击中篮板的过程中，篮球的速度变化量相同 【答案】ABC 【详解】A．出手时篮球的高度相同，最终都垂直击中篮板上的同一点，可逆向把篮球看成做平抛运动，竖直方向有 由于高度相同，所以在a处和b处篮球从出手到击中篮板的时间相等，故A错误，满足题意要求； B．根据，由图可知在a处投掷时，篮球的水平分速度更大，则篮球击中篮筐的速度更大，故B错误，满足题意要求； C．根据 可知在a处和b处篮球出手时的速率相比，a处的出手速率大，故C错误，满足题意要求； D．在a处和b处篮球从出手到击中篮板的过程中，根据，由于运动时间相等，所以篮球的速度变化量相同，故D正确，不满足题意要求。 故选ABC。 【针对练习21】（多选）（25-26高一下·陕西西安·期中）如图所示，甲、乙两个小球（均视为质点）先、后从一水平虚线的点斜向上抛出，甲以与虚线成角斜向上的速度抛出，经过一段时间运动到虚线上点（未画出），乙以与虚线成角斜向上、大小仍为的速度抛出，经过一段时间运动到虚线上点（未画出），重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙在最高点的速度大小之比为 B．甲从到的运动时间与乙从到的运动时间之比为 C．甲、乙的射高之比为 D．甲乙的射程之比为 【答案】BD 【详解】A． 斜抛运动最高点竖直速度减为0，速度等于水平分速度 所以​，A错误； B．小球从a点抛出后回到同一水平虚线上，竖直方向位移为0，根据位移时间关系 可得运动时间 时间比 ，B正确； C．射高为竖直方向最大高度 射高之比，C错误； D．射程为水平方向位移 射程之比​，D正确。 故选 BD。 一、单选题 1．（25-26高一下·山东济南·期中）如图所示，装甲车静止在水平地面上，车上机枪的枪管水平，距地面高为h=1.8m。在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触。枪口与靶距离为L=400m时，机枪手正对靶射出一发子弹，子弹的初速度为v=800m/s。不计空气阻力，子弹可看成质点，取重力加速度g=10m/s2，则靶上弹孔离地的高度为（　　） A．0.45m B．0.55m C．0.65m D．0.75m 【答案】B 【详解】子弹水平方向匀速运动，则 竖直方向自由落体 联立解得 靶上弹孔离地的高度 故选B。 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）春日出游，某同学发现公园池塘中有一喷水口“开”出如图所示的水花，水花在水面上的落点形成一个以喷嘴为圆心的圆。不考虑喷嘴离水面的高度，水花从水面斜向上喷出，初速度与水平方向的夹角为，形成的圆的半径约为，忽略空气阻力，重力加速度取,下列说法正确的是（　　） A．水流的初速度约为 B．水流的初速度约为 C．若调节喷嘴，使初速度与水平方向的夹角变为但大小不变，水花半径将变大 D．若调节喷嘴，使初速度与水平方向的夹角变为但大小不变，水花半径将变小 【答案】B 【详解】AB．水从喷嘴喷出做斜上抛运动，运动时间为 圆的半径约为即为水平位移，有 解得，故A错误，B正确； CD．若调节喷嘴，使初速度与水平方向的夹角变为但大小不变，有，则水花半径将不变，故CD错误。 故选B。 3．（25-26高一下·北京房山·期中）跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有一运动员从跳台A处沿水平方向以飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。AB间可看作直坡面，如果已知斜坡与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法不正确的是（     ） A．可求出运动员在空中的飞行时间和落地位移 B．可求出运动员在空中离坡面的最大距离 C．可求出运动员落在B处的速度 D．若运动员飞出跳台的速度变小，则他着陆时的速度与水平方向夹角变大 【答案】D 【详解】A．运动员做平抛运动，落在斜面上，位移偏转角等于斜面倾角。 根据平抛运动规律，水平位移 竖直位移 由几何关系 解得飞行时间 因已知，故时间可求； 落地位移 ，故位移也可求，故A正确； B．将运动分解为沿斜面方向和垂直斜面方向。垂直斜面方向初速度 加速度 当垂直斜面方向速度减为零时，离坡面距离最大，最大距离 各量已知，故可求，故B正确； C．运动员落在B处时，水平分速度，竖直分速度 合速度，各量已知，故可求，故C正确； D．设运动员着陆时速度与水平方向夹角为，则 结合A选项中，可得 因为斜面倾角不变，所以不变，即着陆时的速度与水平方向夹角与初速度大小无关，故D错误。 故选D。 4．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。 故选C。 5．（24-25高一下·山东菏泽·期中）如图所示，某同学利用一底面是正方形的长方体容器粗略测量小区一细水管的流量。已知容器底边边长为a，高度为，细水管横截面积为s，离地高度为h，重力加速度为g。测量时，在地面上移动容器，使水恰好从容器上表面一顶点无阻挡落到下表面对顶点，则水管的流量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设出口到容器上表面一顶点的水平距离为x，则从流出到到达该点时有， 从流出到落到下表面对顶点则， 解得 则水管的流量为 故选A。 6．（24-25高一下·浙江温州·期中）投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为2l、l的a、b位置水平抛出，落地时水平位移分别为l、2l。忽略空气阻力，两箭都可以看作质点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两箭空中运动的位移相同 B．a、b两箭空中运动的平均速度大小相等 C．两箭落地时a箭速度与水平面夹角正切值为b箭速度与水平面夹角正切值的4倍 D．要想两箭落到同一点，a箭的初速度要变为原来的倍 【答案】C 【详解】A．a、b两箭空中运动的位移大小相等但方向不同，所以位移不同，故A错误； B．平均速度大小等于位移大小与所用时间的比值，a、b两箭空中运动的位移大小相等，但由于竖直方向下落高度不相等，所以运动时间不相等，平均速度大小不相等，故B错误； C．设a、b两箭落地时速度与水平面夹角分别为和，因速度的反向延长线过水平位移的中点，则， 所以 故C正确； D．两箭在空中运动的时间不变，要想两箭落到同一点，a箭落地时的水平位移要变为原来的2倍，则初速度要变为原来的2倍，故D错误。 故选C。 7．（25-26高一上·重庆·月考）如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时调整发球机出球口距地面的高度，然后向竖直墙面发射网球。如图乙所示，先后两次从同一位置水平发射网球A、B，网球A、B分别碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为45°和60°，若不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．A球的发射速度小于B球的发射速度 B．A球的速度变化率小于B球的速度变化率 C．A球在空中的飞行时间大于B球在空中的飞行时间 D．A、B两球竖直位移之比 【答案】D 【详解】C．发出的网球在竖直方向做自由落体运动，根据可得，网球在空中运动的时间为 由图可知 所以A球在空中的运动时间小于B球在空中的运动时间，故C错误； A．网球在水平方向上做匀速直线运动，两网球在水平方向的位移相等，根据可知，A球的发射速度大于B球的发射速度，故A错误； B．速度的变化率是指加速度，两个网球的加速度都是重力加速度，所以A球的速度变化率等于B球的速度变化率，故B错误； D．根据平抛运动，设水平位移为，竖直位移分别为，，根据平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点，则， 所以，故D正确。 故选D。 8．（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为 【答案】D 【详解】AC．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，由此可知甲球不可能垂直打在圆弧BC上的某点，所以乙球落点处速度方向与圆弧垂直，因为速度的反向延长线过圆心，所以乙球的水平位移为R，根据几何关系可知乙球下落的高度为 解得，故AC错误； B．根据动量定理，有 因为质量相等，下落时间相等，所以甲、乙两球在运动过程中动量变化量相同，故B错误； D．对甲球在水平方向，有 乙球在水平方向上，有 联立可得甲、乙两球初速度大小之比为，故D正确。 故选D。 9．（25-26高一下·北京房山·期中）某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，并以撞击前相等的速率返回，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．第1次击中篮板时的速度小 B．两次击中篮板时的速度相等 C．球在空中运动过程第1次速度变化快 D．球在空中运动过程第2次速度变化快 【答案】A 【详解】A B．因两次均垂直撞在竖直篮板上，根据逆向思维倒过来看作平抛运动来研究；第1次抛体运动的高度大，因竖直方向的分运动为自由落体运动，故运动时间长，又两次水平射程相等，由 第1次击中篮板时的速度（平抛的初速度）小，故A正确，B错误； CD．第1次击中篮板时运动时间长，因不计空气阻力，抛体运动只受重力，故，可知球在空中运动过程两次速度变化一样快，故CD错误。 故选A。 二、多选题 10．（25-26高一下·浙江·期中）以速度水平抛出一物体，当其竖直分位移与水平分位移之比为1∶2时，此物体的（　　） A．瞬时速度为 B．竖直分速度等于水平分速度 C．运动时间为 D．运动的位移是 【答案】BC 【详解】ABC．以速度水平抛出一物体，水平位移为 竖直位移为 当其竖直分位移与水平分位移之比为1∶2时，有 可得时间为 此时竖直速度为 此时瞬时速度为，故A错误，BC正确； D．此时水平位移为 竖直位移为 可得此时运动的位移是，故D错误。 故选BC。 11．（24-25高三下·湖北·月考）小球a和小球b在同一高度分别以速度和水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向、大小不变，水平方向速度方向和大小均不变，小球a从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点（7个交点）分布如图所示，其中两小球刚好在位置2相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。设小球a运动的时间为，水平位移为L。下列说法正确的是（　　） A．两小球将在位置3再次相遇 B．小球运动到位置5经历的时间为 C．两小球轨迹交点的位置中，相邻偶数位置间的水平距离为 D．两小球轨迹交点的位置中，相邻奇数位置间的水平距离为 【答案】BD 【详解】A．位置位置3，初速度大小不同，水平方向匀速运动时间不同，在位置2，就不会在位置3再次相遇，选项A错误； BD．由题意可知如图所示。 小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 易得 又，所以， 又，所以 选项BD正确； C．小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 易得 所以 又 所以 选项C错误。 故选BD。 12．（24-25高三上·河北邯郸·期中）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 【答案】AC 【详解】A. A做平抛运动，加速度为g。B的加速度为 A与B的加速度大小之比为 A正确； B. 设高度为h，则 ， 得 B错误； C. 由 A与B的在x轴方向位移大小之比为 C正确； D. B的水平位移为 A与B的水平位移大小之比不等于，D错误。 故选AC。 13．（25-26高一下·天津滨海新区·月考）如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．无论取何值，小球都不能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【答案】BC 【详解】AB．当小球落在c点时,竖直方向的位移最大，运动时间最长，竖直分速度最大；此时竖直方向有 解得 水平方向有 解得，故A错误，B正确； C．小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据平抛运动推论：速度方向的反向延长线过水平位移的中点；由于圆心O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，故C正确； D． 取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D错误。 故选BC。 14．（25-26高一下·山东济南·期中）滑雪是冬奥会的项目之一，某高山滑雪运动员在比赛中经过一斜坡，如图所示，运动员（可视为质点）沿着右侧斜面运动，到达顶点A后以的速度沿着斜面斜向上飞出，飞出时速度方向与左侧斜面的夹角为，经过一段时间后，运动员落到左侧斜面上的B点，左侧斜面与水平面的夹角，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，，。下列说法正确的是（　　） A．从A点到落到B点共用时间为2s B．从A点到落到B点共用时间为4s C．起跳点A与落点B之间的距离为12m D．起跳点A与落点B之间的距离为24m 【答案】AD 【详解】AB．将运动员的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面向下方向，同时将重力加速度也分解为垂直斜面向下和沿斜面向下的方向，则从A点到落到B点共用时间为，A正确，B错误； CD．起跳点A与落点B之间的距离为，C错误，D正确。 故选AD。 三、解答题 15．（25-26高一下·福建龙岩·期中）排球运动是一项集运动休闲娱乐为一体的群众性体育项目。如图所示，甲运动员在距离水平地面高处将排球击出，排球水平飞出；乙运动员在离地处接到排球，球被接到时距甲运动员击球点的水平距离，取，不计空气阻力。求： (1)排球从被击出至被乙接到前瞬间在空中飞行的时间； (2)排球被击出时的初速度大小； (3)排球被乙接到前瞬间的速度大小 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从被击出到被乙接到前，排球在空中做平抛运动，竖直方向有 解得 （2）排球在水平方向做匀速直线运动，满足 解得 （3）排球被乙接到前瞬间，竖直方向的速度为 故排球速度大小 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 抛体运动 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 平抛运动的基本规律及重要结论 知识点2 斜面类的平抛运动模型 知识点3 另外两种常见平抛运动的约束模型 知识点4 类平抛运动 知识点5 多体平抛问题及相遇与临界问题 知识点6 斜抛运动 知识点1：平抛运动的基本规律及重要结论 1.定义 以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2.性质 平抛运动是加速度为g的 运动，其运动轨迹是抛物线。 3.平抛运动的条件 ①v0≠0，沿水平方向；②只受重力作用。 4.研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5.基本规律 平抛轨迹图 如图所示，以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则 水平方向 做匀速直线运动，速度vx＝ ，位移x＝ 竖直方向 做自由落体运动，速度vy＝ ，位移y＝ 合速度和速度偏向角 合速度：v＝ ，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝ 。 合位移和位移偏向角 合位移：s＝ ，方向与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝ 。 速度变化量 平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持vx=v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔∆t时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点： ①任意时刻v的速度水平分量均 初速度v0； ②任意相等时间间隔∆t内的速度改变量均竖直向下，且∆v=∆vy= 。 两个推论 ①做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 。 ②做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝ 。 三个重要结论 ①飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 ②水平射程：x＝v0t＝ ，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 ③落地速度：v＝＝ ，以α表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan α＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 6.平抛运动的分解方法与技巧 【针对练习1】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，高为的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为的滑雪爱好者，以一定的初速度向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面间的夹角为（）。由此可知不正确的是（　　） A．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是 B．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是 C．滑雪者在空中运动的时间为 D．滑雪者着地时的速度大小为 【针对练习2】（25-26高一下·北京海淀·月考）如图所示，是有趣的“套圈”小游戏。小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小圆环，要想套中同一个小圆筒。若小圆环的运动视为平抛运动，小圆环可被视为质点，则（　　） A．大人抛出的圆环速度变化率较大 B．大人抛出的圆环在空中运动时间较长 C．大人抛出的圆环初速度较大 D．无法比较大人与小孩抛出小圆环的初速度大小 【针对练习3】（多选）（24-25高一下·广东佛山·月考）飞镖比赛中，某选手先后将三支飞镖a、b、c由同一位置水平投出，三支飞镖插在竖直靶上的状态如图所示。不计空气阻力．下列说法正确的是（　　） A．飞镖a在空中运动的时间最短 B．飞镖c投出的初速度最大 C．三支飞镖镖身的延长线交于同一点 D．三支飞镖速度变化量的方向不相同 【针对练习4】（25-26高一下·北京丰台·期中）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝6m/s的速度水平向右匀速飞行。某时刻释放了一个小球，此时无人机距水平地面的高度h＝3.2m。空气阻力忽略不计，g取10m/s2。求： (1)小球下落的时间； (2)小球释放点与落地点之间的水平距离； (3)小球落地瞬间速度的大小和方向。 【针对练习5】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 知识点2：斜面类的平抛运动模型 1.模型特点 平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛或者往斜面上抛的过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件。 2.模型分析 模型分类 解题思路 方法总结 分解速度： vy＝gt， tan θ＝＝， 故t＝ ①分解 ； ②在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角 。 分解位移： x＝v0t， y＝gt2， 而tan θ＝， 联立得t＝ ①分解 ； ②以不同的初速度抛出小球，只要落到斜面时速度的方向都 或者速度方向与斜面的夹角都 ； ③速度与斜面平行时，距离斜面最远，满足以下四个特点： A.由，即可求出距离斜面最远的时间。 B.该时刻是全运动过程的 。 C.该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为 。 D.利用分解加速度和分解速度即可以求出距离斜面的最远距离： 以最小位移落在斜面上，分解 ： 以最小位移落在斜面上时，合位移与斜面垂直，此时合位移与竖直方向的夹角与斜面夹角 。 分解运动： 竖直方向上的位移等于斜面上下落的h和沿着斜面下降的。 沿斜面轨道入射类，分解速度： 沿轨道或者沿轨道的切线方向入射类的模型一般是先分解 。 【针对练习6】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，某运动员在跳台滑雪比赛训练时，从跳台边缘距离斜面顶端一定高度的O点以不同速度水平滑出，一段时间后落到斜面上。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员落在斜面时的速度方向都不相同 B．运动员在空中运动的时间与初速度成正比 C．运动员在空中运动过程中的速度变化率增大 D．运动员落在斜面时的速度与滑出的速度成正比 【针对练习7】（25-26高一下·云南昭通·期中）如图所示，将一质量为的小球，从倾角为的足够长斜面上的点以初速度水平抛出，落在斜面上的点，落点距抛出点的距离为，不计空气阻力，重力加速度大小为g，，，则下列说法正确的是（     ） A．小球从被抛出到落到斜面上点所用的时间为 B．若将小球速度增加到，则落点距抛出点的距离增加至 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为点，则 D．小球在运动过程中离斜面最远距离为 【针对练习8】（多选）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图甲所示，挡板与水平面的夹角为，小球从点的正上方高度为的点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．图乙的函数关系图像对应的方程式 B．图乙中的数值-2 C．当图乙中的值为 D．当，图乙中，则平抛运动的时间为 【针对练习9】（25-26高一上·天津和平·期末）如图所示是位于同一竖直平面内的某装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角为的固定斜面，A是斜面上的点。小球从距离O点为H高度处静止落下，与三棱柱碰撞于O点（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同，之后小球恰能垂直斜面打在A点。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球落在O点的速度大小； (2)小球落在A点的速度大小v； (3)小球从O点运动到A点的水平位移大小x。 【针对练习10】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，水平台面上B点静止一可视为质点的小物块，B点到台面左端A点的距离为L=2m，台面左侧水平地面上固定一斜面CD，斜面的倾角θ=53°，高h=8m。现给物块一水平向左的初速度，物块从A点抛出后，恰好从斜面顶端C点无碰撞地滑上斜面。已知物块与台面AB及斜面CD间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，sin53°=0.8，求： (1)物块到达A点时的速度大小； (2)物块从A运动到C下落的高度； (3)物块到达斜面底端D点时的速度大小。 知识点3：另外两种常见平抛运动的约束模型 1．竖直面及水平面约束模型 本模型中的障碍主要是对水平或竖直位移形成限制，以及所能形成的临界状态情景。 图甲中竖直位移一定，对 可形成最大值与最小值的限制 图乙中水平位移一定，使飞行时间受到 的限制 图丙中竖直障碍高度一定，对越过障碍的 、抛出点的 形成限制 图丁中对水平位移、竖直位移均可形成限制：速度较小时 位移一定，速度较大时 位移一定 2.半圆形约束模型 平抛运动与圆形障碍模型中物体抛出点位置不同限制关系不同，有对位移与球面半径之间形成限制关系的。 如图甲、乙、丙、丁所示，可分解 处理，如在图甲中x=R±Rcosθ,y =R sinθ 如图戊、己所示，可分解 处理 若物体从球面沿水平直径抛出，随抛出速度的增大，飞行时间先增大后减小、水平位移一直增大，落到球面上时速度方向 垂直于球面。 【针对练习11】（25-26高一下·重庆江津·期中）如图所示，运动员将网球（视为质点）在边界A处正上方B点垂直球网C水平向右击出，恰好过球网的上边沿落在D点。已知，网高，边界A到球网的距离为L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球在B点的速度大小为 B．D点到球网的距离为 C．若击球高度低于H（仍大于h），且减小击球速度，则网球可能落在球网右侧 D．若网球的初速度变为原来的倍，则网球刚好落在右边的边界上 【针对练习12】（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD-A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向水平抛出可视为质点的小球，不计空气阻力，已知立方体边长为L，重力加速度大小为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中的速度偏转角是对应位移偏转角的2倍 B．落点在B1D1连线上不同点的小球，平抛初速度的最小值为 C．运动轨迹与AC1连线相交但交点不同的小球，在离AC1连线最远时速度方向都相同 D．运动轨迹与AC1连线相交的小球，在不同交点处的速度方向不同 【针对练习13】（25-26高一上·浙江湖州·期末）如图为一半圆柱面的截面，为半圆的水平直径，从点以水平初速度抛出一小球，经小球落在半圆柱面上点（图中未画出），若不考虑反弹，下列判断中不正确的是（　　） A．半圆的半径为 B．小球刚到点的速度方向与水平方向夹角的正切值为1 C．小球从点运动到点的过程中，速度变化的方向竖直向下 D．选择合适的初速度，小球可以直接垂直打在半圆柱面上 【针对练习14】（多选）（24-25高一下·河南许昌·月考）如图所示为半球形碗的竖直截面图，O为圆心，C为半球形碗的最低点，AOB为水平直径，碗的半径为r。两个小球甲和乙先后分别从A点、B点以不同的初速度v1、v2沿水平方向相向抛出，小球甲恰好撞到碗上的C点，。两小球可视为质点，撞到碗后不反弹。忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．两小球能在空中相遇 B．小球乙不可能垂直撞击到碗上 C．小球甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度大 D．小球乙的初速度 知识点4：类平抛运动 1.模型概述 有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，其轨迹与平抛运动相似，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统称作“类平抛”模型。 2.正确理解类平抛运动的特点 （1）受力特点：物体所受合力为 ，且与初速度的方向 。 （2）运动特点：在初速度v0方向做 运动，在合力方向做初速度为零的 运动，加速度a＝。 3.求解方法 （1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 【针对练习15】（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度大小为 C．小球再次回到x轴所需时间0.6s D．小球再次回到x轴的位置距坐标原点 【针对练习16】（多选）（24-25高一下·天津河东·期中）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（　　） A．物块运动的加速度 B．物块由P运动到Q所用的时间 C．物块由P点水平射入时的初速度 D．物块离开Q点时的速度大小 知识点5：多体平抛问题及相遇与临界问题 1.定义 多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。 2.三类常见的多体平抛运动 3.平抛运动中相遇问题 抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简单。 两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能 处，两物体要在此处相遇，必须 到达此处。 4.平抛运动中的临界问题 (1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点． (2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件． 【针对练习17】（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后，两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，不计空气阻力，篮球可看成质点，下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．乙同学抛出篮球的初速度一定大 C．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 D．若甲、乙两同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方 【针对练习18】（多选）（25-26高一下·湖北十堰·月考）如图所示，在地面上Q点正上方P点处以大小为的初速度斜向下抛出一个小球甲，与竖直方向夹角为，同时在Q点以大小为的初速度斜向上抛出一个小球乙，与水平方向的夹角，且。若两球速度大小相等时相遇，不计空气阻力，则P点离地面的高度h及夹角满足的条件正确的是（重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 【针对练习19】（24-25高一下·山东菏泽·期中）如图所示，同学们在课外活动时玩投沙包游戏，水平地面上的得分区域用平行标线均匀分成9格，每格宽度d=0.3m，在地面上依次标记为1，2，3，……9，要求参赛者站在离得分区域边界AB的距离为L=3m处，每次总是从距离地面高度为h=1.8m处的P点垂直于AB且沿水平方向抛出沙包，沙包落地后立即停止不动，沙包可视为质点，空气阻力不计，重力加速度大小为g=10m/s2。求： (1)当沙包恰好落到第6格和第7格的分隔标线上时的速度大小； (2)为了使沙包能落入第5格内并且不能落在标线上，初速度大小的取值范围。 知识点6：斜抛运动 重要结论： (1)运动轨迹取决于初速度 v0的 与 ,与其他因素无关。 (2)运动具有对称性: 对称、 对称。 (3)斜上抛的物体到达最大高度的时间 (4)落回抛出高度时的水平射程，α=45°时水平射程最远。 (5)斜上抛物体的初速度大小相同时,抛射角 时具有相同的水平射程。 (6)斜上抛物体到达的最大高度，α=90°时射高最大。 【针对练习20】（多选）（25-26高一下·河北保定·期中）如图所示，小明分别在篮筐正前方的a、b位置投掷篮球，出手时篮球的高度相同，篮球都垂直击中竖直篮板上的同一点。不考虑篮球旋转且不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．在a处投掷时，篮球从出手到击中篮板的时间长 B．在b处投掷时，篮球击中篮板的速率大 C．在b处投掷时，篮球出手时的速率大 D．在a处和b处篮球从出手到击中篮板的过程中，篮球的速度变化量相同 【针对练习21】（多选）（25-26高一下·陕西西安·期中）如图所示，甲、乙两个小球（均视为质点）先、后从一水平虚线的点斜向上抛出，甲以与虚线成角斜向上的速度抛出，经过一段时间运动到虚线上点（未画出），乙以与虚线成角斜向上、大小仍为的速度抛出，经过一段时间运动到虚线上点（未画出），重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙在最高点的速度大小之比为 B．甲从到的运动时间与乙从到的运动时间之比为 C．甲、乙的射高之比为 D．甲乙的射程之比为 一、单选题 1．（25-26高一下·山东济南·期中）如图所示，装甲车静止在水平地面上，车上机枪的枪管水平，距地面高为h=1.8m。在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触。枪口与靶距离为L=400m时，机枪手正对靶射出一发子弹，子弹的初速度为v=800m/s。不计空气阻力，子弹可看成质点，取重力加速度g=10m/s2，则靶上弹孔离地的高度为（　　） A．0.45m B．0.55m C．0.65m D．0.75m 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）春日出游，某同学发现公园池塘中有一喷水口“开”出如图所示的水花，水花在水面上的落点形成一个以喷嘴为圆心的圆。不考虑喷嘴离水面的高度，水花从水面斜向上喷出，初速度与水平方向的夹角为，形成的圆的半径约为，忽略空气阻力，重力加速度取,下列说法正确的是（　　） A．水流的初速度约为 B．水流的初速度约为 C．若调节喷嘴，使初速度与水平方向的夹角变为但大小不变，水花半径将变大 D．若调节喷嘴，使初速度与水平方向的夹角变为但大小不变，水花半径将变小 3．（25-26高一下·北京房山·期中）跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有一运动员从跳台A处沿水平方向以飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。AB间可看作直坡面，如果已知斜坡与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法不正确的是（     ） A．可求出运动员在空中的飞行时间和落地位移 B．可求出运动员在空中离坡面的最大距离 C．可求出运动员落在B处的速度 D．若运动员飞出跳台的速度变小，则他着陆时的速度与水平方向夹角变大 4．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 5．（24-25高一下·山东菏泽·期中）如图所示，某同学利用一底面是正方形的长方体容器粗略测量小区一细水管的流量。已知容器底边边长为a，高度为，细水管横截面积为s，离地高度为h，重力加速度为g。测量时，在地面上移动容器，使水恰好从容器上表面一顶点无阻挡落到下表面对顶点，则水管的流量为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江温州·期中）投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为2l、l的a、b位置水平抛出，落地时水平位移分别为l、2l。忽略空气阻力，两箭都可以看作质点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两箭空中运动的位移相同 B．a、b两箭空中运动的平均速度大小相等 C．两箭落地时a箭速度与水平面夹角正切值为b箭速度与水平面夹角正切值的4倍 D．要想两箭落到同一点，a箭的初速度要变为原来的倍 7．（25-26高一上·重庆·月考）如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时调整发球机出球口距地面的高度，然后向竖直墙面发射网球。如图乙所示，先后两次从同一位置水平发射网球A、B，网球A、B分别碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为45°和60°，若不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．A球的发射速度小于B球的发射速度 B．A球的速度变化率小于B球的速度变化率 C．A球在空中的飞行时间大于B球在空中的飞行时间 D．A、B两球竖直位移之比 8．（25-26高三上·山东菏泽·期中）如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为 9．（25-26高一下·北京房山·期中）某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，并以撞击前相等的速率返回，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．第1次击中篮板时的速度小 B．两次击中篮板时的速度相等 C．球在空中运动过程第1次速度变化快 D．球在空中运动过程第2次速度变化快 二、多选题 10．（25-26高一下·浙江·期中）以速度水平抛出一物体，当其竖直分位移与水平分位移之比为1∶2时，此物体的（　　） A．瞬时速度为 B．竖直分速度等于水平分速度 C．运动时间为 D．运动的位移是 11．（24-25高三下·湖北·月考）小球a和小球b在同一高度分别以速度和水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向、大小不变，水平方向速度方向和大小均不变，小球a从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点（7个交点）分布如图所示，其中两小球刚好在位置2相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。设小球a运动的时间为，水平位移为L。下列说法正确的是（　　） A．两小球将在位置3再次相遇 B．小球运动到位置5经历的时间为 C．两小球轨迹交点的位置中，相邻偶数位置间的水平距离为 D．两小球轨迹交点的位置中，相邻奇数位置间的水平距离为 12．（24-25高三上·河北邯郸·期中）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 13．（25-26高一下·天津滨海新区·月考）如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．无论取何值，小球都不能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 14．（25-26高一下·山东济南·期中）滑雪是冬奥会的项目之一，某高山滑雪运动员在比赛中经过一斜坡，如图所示，运动员（可视为质点）沿着右侧斜面运动，到达顶点A后以的速度沿着斜面斜向上飞出，飞出时速度方向与左侧斜面的夹角为，经过一段时间后，运动员落到左侧斜面上的B点，左侧斜面与水平面的夹角，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，，。下列说法正确的是（　　） A．从A点到落到B点共用时间为2s B．从A点到落到B点共用时间为4s C．起跳点A与落点B之间的距离为12m D．起跳点A与落点B之间的距离为24m 三、解答题 15．（25-26高一下·福建龙岩·期中）排球运动是一项集运动休闲娱乐为一体的群众性体育项目。如图所示，甲运动员在距离水平地面高处将排球击出，排球水平飞出；乙运动员在离地处接到排球，球被接到时距甲运动员击球点的水平距离，取，不计空气阻力。求： (1)排球从被击出至被乙接到前瞬间在空中飞行的时间； (2)排球被击出时的初速度大小； (3)排球被乙接到前瞬间的速度大小 学科网（北京）股份有限公司 $