第9讲 宇宙航行（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一下学期期中期末物理复习（人教版必修第二册）

第9讲 宇宙航行 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 人造地球卫星 知识点2 宇宙速度及卫星变轨问题 知识点3 拉格朗日点卫星、张角与遮光角及卫星追及问题 知识点4 双星模型 知识点5 多星模型 知识点1：人造地球卫星 1.人造卫星的分类 人造卫星按运行轨道可分为同步卫星、近地卫星、极地卫星及其他一般人造卫星等。在用途上有军事卫星、通信卫星、气象卫星、地球资源卫星、导航卫星及近地空间科研卫星等。 2.人造地球卫星的运行轨道 (1)卫星绕地球运行的轨道可以是 轨道，也可以是 轨道。 (2)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个 ，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 (3)卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星运行轨道的 。在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于 状态。 (4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面垂直(如极地卫星),还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。 3.人造地球卫星的参量规律 卫星在轨道上运行时，卫星的轨道可视为圆形，这样卫星受到的万有引力提供了卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为ω,周期为T,向心加速度大小为a。 比较赤道上物体与同步卫星和近地卫星的参量 参量 赤道上物体 同步卫星 近地卫星 周期 角速度 线速度 向心加速度 4.极地卫星、近地卫星、同步卫星 卫星类型 近地卫星 同步卫星 极地卫星 卫星特征 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径（r ≈R地） 地球同步卫星是指周期和地球自转周期相同的卫星由于卫星所需的向心力由地球的引力提供,所以卫星轨道平面一定过地心,其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,因其相对地面静止,也称静止卫星 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 轨道半径 R（地球半径） R+h（h＝3.6×107m） 向心力 G＝mg＝m 线速度 v＝＝＝7.9 km/ （绕地运行的最大运行速度） v＝3.1×103m/s 向心加速度 a＝g a＝gh＝0.23 m/s2（同步卫星的向心加速度等于该处的重力加速度） 周期 T＝＝2π≈84 min（卫星运行最小周期） T = 24h＝8.64×104s 【针对练习1】（25-26高一下·贵州贵阳·期中）北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍，则该地球静止轨道卫星（　　） A．其发射速度可能大于 B．在轨道上运动的线速度一定小于 C．做圆周运动的周期约为 D．可能经过贵州贵阳的上空 【针对练习2】（25-26高一下·山东淄博·期中）现有a、b、c、d四颗地球卫星，其中卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有（　　） A．d的运行周期最小 B．b的环绕速度最慢 C．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g D．c在6小时内转过的圆心角是 【针对练习3】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）微厘空间02组卫星在轨高度约为500km，中国空间站在轨高度约为400km。假设微厘空间02组卫星和中国空间站均环绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．微厘空间02组卫星的发射速度大于11.2km/s B．微厘空间02组卫星的环绕速度大于中国空间站的环绕速度 C．微厘空间02组卫星的环绕周期大于中国空间站的环绕周期 D．任意相等时间内，中国空间站与地心连线扫过的面积等于微厘空间02组卫星与地心连线扫过的面积 知识点2：宇宙速度及卫星变轨问题 1.卫星三种“速度”的比较 比较项目 概念 大小 说明 运行速度 指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝ 大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9 km/s 发射速度 指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度 v≥7.9 km/s 卫星在发射过程中要克服地球引力做功，卫星的预定轨道高度越高，所需发射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 由不同卫星的发射要求决定 关系 发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2 km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚 2.三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇宙速度 7.9km/s 物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第一宇宙速度又叫环绕速度。在地面上发射人造卫星的速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地运动 第二宇宙速度 11.2km/s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，第二宇宙速度又叫脱离速度 当11.2km/s≤v＜16.7km/s，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星” 第三宇宙速度 16.7km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度又叫逃逸速度 v≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间 3.同步卫星的发射 （1）变轨原理及过程 ①为了节省能量，在赤道上 方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”； ②当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火 ，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度 ； ③当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火 ）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。 （2）两类变轨比较 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 原因分析 当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行。 (1)当v增大时，卫星所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由知其运行速度要减小。 (2)当v减小时，卫星所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由知其运行速度将增大。(卫星的回收就是利用了这一原理) （3）变轨过程各物理量分析（重点） 【针对练习4】（25-26高一下·北京·期中）如图为发射“神舟二十号”飞船的示意图。飞船先在近地圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，在近地点P点火加速，进入椭圆轨道Ⅱ，运动到远地点Q时再次点火加速，进入圆轨道Ⅲ，以便和天和核心舱实现交会对接。已知地球半径为R，飞船在轨道Ⅰ上运动周期为T，轨道Ⅲ到地球表面距离为h，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．载人飞船在轨道Ⅲ上的速度大于地球的第一宇宙速度 B．载人飞船从轨道Ⅰ变到轨道Ⅱ需要在P点点火减速 C．载人飞船在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度 D．飞船从轨道Ⅰ到Ⅲ要经历两次点火加速，所以在轨道Ⅲ上的速度大于轨道Ⅰ上的速度 【针对练习5】（25-26高一下·海南儋州·期中）如图所示为教材中关于“天体运行中三个宇宙速度”的插图，其中有①②③④条轨道，下列说法正确的是（　　） A．轨道①对应的速度是最大发射速度，最小环绕速度 B．卫星在轨道②单位时间扫过的面积等于在轨道③单位时间扫过的面积 C．若卫星的发射速度v满足，卫星将绕地球运动 D．卫星沿轨道④运动，将脱离太阳引力的束缚 【针对练习7】（多选）（25-26高一下·安徽·期中）如图，在进行火星考察时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星表面的重力加速度为，火星的平均密度为，火星可视为均匀球体且忽略自转。火星探测器绕火星做匀速圆周运动时离火星表面的高度为火星半径的，已知引力常量，下列说法正确的是（     ） A．火星的半径为 B．探测器在不同轨道上稳定运行时，经过点加速度相同 C．火星伴飞停留阶段到科学探索阶段的变轨需要通过探测器加速完成 D．火星探测器绕火星做匀速圆周运动时的向心加速度为 知识点3：拉格朗日点卫星、张角与遮光角及卫星追及问题 1.拉格朗日点卫星模型 拉格朗日点指在两个大天体引力作用下,能使小物体稳定的点。在每个由大天体构成的系统中,有五个拉格朗日点,其中连线上有三个:图中L1、L2、L3。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统的L2点做圆周运动。处于拉格朗日点处的卫星是在两个大天体的共同引力作用下绕中心天体做圆周运动,且运行周期与运行天体的周期 ,如在地月系统拉格朗日点处的卫星随月球同步绕地球转动。 2.张角与遮光角 卫星运动中经常会涉及“能否看到卫星”“实施全天通信”等问题，归根结底是求几何张角和遮光角的问题。下表中圆心为O的中心天体半径为R,卫星A在轨道半径为r的圆周上绕中心天体运动。 张角α 遮光角β 图示 释义 张角α是卫星可观测到的范围对应的夹角(也称为观测角或视觉角度) 遮光角β是太阳光被中心天体遮挡而照射不到的范围对应的夹角。当卫星运动至遮光角β范围内时，进入黑夜，当卫星运动至β角范围以外时，处于白昼。 关系式 3.卫星追及问题 【针对练习7】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图所示是地月天体系统，在地月连线上存在一种特殊点，称为拉格朗日点。在地球上将一颗质量为的人造卫星发射至该点后，它受到地球、月球对它的引力作用，并恰好和月球一起绕地球以相同的角速度做匀速圆周运动。已知相对于地球质量M和月球质量m来说，很小，所以卫星对地球和月球的引力不影响地球和月球的运动。若地心到月心间距为L，月心到该拉格朗日点的距离为d，则（　　） A．该卫星的发射速度大于第二宇宙速度11.2km/s B．地月连线所在直线上只存在1个拉格朗日点 C．该卫星在图中拉格朗日点的线速度大小小于月球的线速度大小 D．题干中物理量满足关系式 【针对练习8】（多选）（25-26高一下·河北·期中）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”；当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。人造近火卫星“祝融号”做匀速圆周运动的周期为T，火星的公转周期为，地球公转周期为，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，火星的轨道半径为r，万有引力常量为G，忽略自转影响，下列说法正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量为 C．火星的密度为 D．相邻两次“火星冲日”的时间间隔为 【针对练习9】（25-26高一下·安徽·期中）中国北斗卫星导航系统需要在短时间发射一定数量的卫星，中国在3年的时间内共发射了14颗北斗卫星，火箭载着北斗卫星飞向特定轨道，火箭内平台上还放有测试仪器。若北斗卫星导航系统中的一颗卫星预定轨道位于赤道上空的轨道Ⅰ上，其对地张角为，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星的轨道。已知地球半径为。 (1)卫星进入预定轨道后，求卫星与卫星的运行周期之比； (2)若卫星的周期为，引力常量为，求地球的平均密度。 (3)在发射过程中，卫星起飞时火箭以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度）。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，该处离地面的高度为多少？ 知识点4：双星模型 1.定义 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 2.双星的特点 ①“向心力等大反向” 对m1有： 对m2有： 两者之间的万有引力提供向心力，大小相等，方向相反，作用在同一直线上，也分别作用在两星上。 ②“周期、角速度相同” T1＝T2 ω1＝ω2 ③“距离不变” r1＋r2＝L ④“半径反比” 两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 ⑤运动周期 T＝2π ⑥双星的总质量 m1＋m2＝ 3.模型条件 ①两颗星彼此相距较近。 ②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③两颗星绕同一圆心做圆周运动。 ①由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，可得，即固定点离质量大的星较 。 ②万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 ③当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时，其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 【针对练习10】（25-26高一下·北京石景山·期中）太空中有靠得较近的两颗天体，它们以两者重心连线上的某点为圆心做稳定的匀速圆周运动，忽略其他天体对它们的影响，则它们的（　　） A．角速度与其质量成反比 B．线速度与其质量成反比 C．向心力与其质量成正比 D．半径与其质量成正比 【针对练习11】（多选）（25-26高一下·河南漯河·期中）随着人类对太空的探索，人类观测到了一个双星系统，如图所示。已知质量不同的两星体A、B之间的距离为L，两星体环绕连线的某点做匀速圆周运动，且两星体的运行周期均为T，万有引力常量为G，忽略其他星体对A、B的影响。则下列说法正确的是（　　） A．两星体的加速度大小相等 B．两星体的线速度大小与质量成反比 C．两星体的质量和为 D．两星体的线速度之和为 知识点5：多星模型 1.定义 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 2.多星问题 ①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 ②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 ③注意利用几何知识求半径。 3.三星模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力： 。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供： 其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 4.四星模型 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力： ，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力： 。其中L＝2rcos 30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 【针对练习12】（25-26高一下·山西晋中·期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上（如图甲），两颗星围绕中央星在同一半径为的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上（如图乙），并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。若两种系统的运动周期相同，则（　　） A． B． C． D． 【针对练习12】（多选）（23-24高二下·山东烟台·期中）如图所示，天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上，四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是（　　） A．四颗天体线速度大小均为 B．四颗天体线速度大小均为 C．四颗天体的质量均为 D．四颗天体的质量均为 一、单选题 1．（25-26高一下·河南洛阳·期中）2026年3月，我国使用长征八号甲运载火箭，成功将互联网低轨20组卫星送入近地轨道。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．在轨道上运动时，速度大于第一宇宙速度 B．发射速度大于同步卫星的发射速度 C．在轨运行的角速度大于同步卫星的角速度 D．在轨运行的加速度小于同步卫星的加速度 2．（25-26高一下·浙江温州·期中）第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度，理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，若以的速度传播的光都不能从某天体上逃逸，则这种天体称为黑洞。现有一黑洞的质量为M，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该黑洞表面的重力加速度不小于 B．该黑洞表面的重力加速度不小于 C．该黑洞的半径不大于 D．该黑洞的半径不大于 3．（25-26高一下·重庆渝中·期中）自20世纪60年代以来，人类曾进行了四十多次火星探测任务，假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅰ上运动时的周期大于在轨道Ⅱ上运动时的周期 B．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同 C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度 4．（25-26高一下·山西太原·期中）随着科技的发展，载人飞船绕太阳运行终会实现。如图所示，Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，Ⅱ轨道假设是载人飞船的椭圆轨道，其中点A、C分别是近日点和远日点，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则（　　） A．载人飞船的运动周期小于1年 B．载人飞船在C点的速率小于火星绕日的速率 C．载人飞船在Ⅰ轨道上A点的速率大于在Ⅱ轨道上A点的速率 D．在相同时间内，载人飞船沿轨道Ⅰ运行时与太阳连线扫过的面积和沿轨道Ⅱ运行时与太阳连线扫过的面积相等 5．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在赤道上的人a某时刻用仪器观测到他的正上方恰好有三颗卫星排成一条直线，分别是近地轨道卫星b、地球静止同步轨道卫星c和高空探测卫星d。已知它们均做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．d运动周期一定大于a运动周期 B．他们的线速度满足vb>vc=va>vd C．他们的角速度满足ωa>ωb>ωc>ωd D．他们相同时间绕过的角度θa>θb>θc>θd 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心、轨道半径之比为1∶4。若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是（　　） A．在图示轨道上，“轨道康复者”的周期为3h B．在图示轨道上，“轨道康复者”的速度大于7.9km/s C．某时刻有一个部件从航天器上分离，该部件会落回地球表面 D．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的4倍 7．（25-26高一下·山东济南·期中）2026年4月9日，嫦娥七号探测器运抵文昌航天发射场，进入发射前最终测试阶段。本次任务将奔赴月球南极，开展水冰探测、月表环境勘察与科研站建设相关试验，为我国载人登月奠定基础。如图所示探测器先绕地球做近地圆周运动，经精准变轨后进入地月转移轨道，最终环绕月球做贴近月球表面的圆周运动。已知地球半径R地为月球半径R月的4倍，地球质量M地为月球质量M月的81倍，近地卫星绕地球的环绕速度v地=7.9km/s，万有引力常量为G，不计天体自转影响。下列说法正确的是（　　） A．探测器的发射速度必须大于11.2km/s B．探测器绕月球表面做圆周运动的环绕速度约为1.8km/s C．探测器在地球表面的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为81:4 D．若探测器在距月球表面高度为2R月的轨道上做圆周运动，其向心加速度等于月球表面的重力加速度的 8．（23-24高三上·广东广州·期中）如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其它星体对它们的作用，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（　　）    A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小是原来的两倍 9．（24-25高一下·辽宁·期中）中国科学院“地月空间DRO探索研究”专项团队成功构建国际首个地月空间三星星座，多项原创性科技成果在国际上处于领先地位。如图所示是地月天体系统，在地月连线外侧有一个拉格朗日点，质量为m0的卫星在该点受到质量为M的地球和质量为m的月球的万有引力作用，并恰好和月球一起绕地球做同周期的匀速圆周运动。卫星的引力不影响地球和月球的运动，已知地心、月心间距为R，拉格朗日点距地心距离为L，则（　　） A．卫星周期T1与月球周期T2的关系式 B．卫星的向心力 C．卫星m0的发射速度大于11.2km/s D．月球的向心加速度大于卫星的向心加速度 二、多选题 10．（22-23高三·全国·一轮复习）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（　　） A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为 C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同 11．（25-26高一下·山东济南·期中）我国“天琴计划”利用三颗完全相同的卫星组成等边三角形编队，在距离地球中心约万公里高度的轨道上绕地球运行，以探测引力波。如图所示，三颗卫星构成的等边三角形编队绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为，运行周期为。已知引力常量为，地球半径为，不计卫星间的引力作用，下列说法正确的是（　　） A．三颗卫星受到地球的万有引力的大小一定相等 B．地球的质量可表示为 C．地球的第一宇宙速度为 D．若要使探测卫星的轨道半径减小，需在当前轨道点火加速 12．（25-26高一下·天津南开·阶段检测）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动，如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．A星球的轨道半径为 B．B星球的轨道半径为 C．双星运行的周期为 D．若近似认为B星球绕A星球中心做圆周运动，则B星球的运行周期为 13．（25-26高一下·安徽合肥·期中）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 14．（25-26高一下·浙江宁波·期中）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。如右图所示，鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道，近月点距月心约为，远月点距月心约为，为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（     ） A．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于且小于 B．鹊桥二号从经到的运动时间为 C．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为 D．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 15．（25-26高一下·山东枣庄·期中）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A的质量为 B．B的质量为 C．A、B的速度之比 D．A、B的轨道半径之比为 三、解答题 16．（25-26高一下·山西晋中·期中）天问三号任务计划在2028年前后实施两次发射任务，分别完成火星着陆与样品返回。如图所示，地球和火星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳运行，轨道均可视为圆轨道，轨道半径分别为和，地球的公转周期为，地球表面的重力加速度大小为。已知地球与火星的质量之比为、半径之比为，引力常量为。不考虑地球和火星自转的影响。 (1)求太阳的质量； (2)求火星表面的重力加速度大小； (3)考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔。 17．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）图1为电影《流浪地球2》中的太空电梯，图2为其简易图。图2中太空电梯通过超级缆绳将配重空间站和地球赤道连接在一起，它们随地球以同步静止状态一起转动。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。若同步卫星轨道距地面，配重空间站的质量为m，配重空间站的高度比同步卫星轨道高，电梯、缆绳的质量和其他阻力忽略不计。求： (1)估算地球的质量及密度； (2)地球的自转周期T； (3)配重空间站受到缆绳的力大小为多少。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 宇宙航行 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 人造地球卫星 知识点2 宇宙速度及卫星变轨问题 知识点3 拉格朗日点卫星、张角与遮光角及卫星追及问题 知识点4 双星模型 知识点5 多星模型 知识点1：人造地球卫星 1.人造卫星的分类 人造卫星按运行轨道可分为同步卫星、近地卫星、极地卫星及其他一般人造卫星等。在用途上有军事卫星、通信卫星、气象卫星、地球资源卫星、导航卫星及近地空间科研卫星等。 2.人造地球卫星的运行轨道 (1)卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道。 (2)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 (3)卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星运行轨道的圆心。在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态。 (4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面垂直(如极地卫星),还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。 3.人造地球卫星的参量规律 卫星在轨道上运行时，卫星的轨道可视为圆形，这样卫星受到的万有引力提供了卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为ω,周期为T,向心加速度大小为a。 比较赤道上物体与同步卫星和近地卫星的参量 参量 赤道上物体 同步卫星 近地卫星 周期 T物=T同＞T近 角速度 ω物=ω同＜ω近 线速度 v物＜v同＜v近 向心加速度 a物＜a同＜a近 4.极地卫星、近地卫星、同步卫星 卫星类型 近地卫星 同步卫星 极地卫星 卫星特征 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径（r ≈R地） 地球同步卫星是指周期和地球自转周期相同的卫星由于卫星所需的向心力由地球的引力提供,所以卫星轨道平面一定过地心,其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,因其相对地面静止,也称静止卫星 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 轨道半径 R（地球半径） R+h（h＝3.6×107m） 向心力 G＝mg＝m 线速度 v＝＝＝7.9 km/ （绕地运行的最大运行速度） v＝3.1×103m/s 向心加速度 a＝g a＝gh＝0.23 m/s2（同步卫星的向心加速度等于该处的重力加速度） 周期 T＝＝2π≈84 min（卫星运行最小周期） T = 24h＝8.64×104s 【针对练习1】（25-26高一下·贵州贵阳·期中）北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍，则该地球静止轨道卫星（　　） A．其发射速度可能大于 B．在轨道上运动的线速度一定小于 C．做圆周运动的周期约为 D．可能经过贵州贵阳的上空 【答案】B 【详解】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是航天器能挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以地球静止轨道卫星的发射速度是小于11.2km/s，而大于7.9km/s，故A错误； B．7.9km/s是第一宇宙速度，是近地圆轨道上卫星的环绕速度，还是所有圆轨道上卫星的最大环绕速度，因地球静止轨道卫星的半径比地球半径大，所以地球静止轨道卫星的运行速度一定小于7.9km/s，故B正确； C．地球静止卫星的周期与地球自转周期相等，为24h，故C错误； D．地球静止卫星的轨道只能在赤道上空，不可能经过贵州贵阳的上空，故D错误。 故选B。 【针对练习2】（25-26高一下·山东淄博·期中）现有a、b、c、d四颗地球卫星，其中卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有（　　） A．d的运行周期最小 B．b的环绕速度最慢 C．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g D．c在6小时内转过的圆心角是 【答案】D 【详解】A．同步卫星的周期与地球自转周期相同，即a与c的运行周期相同，根据万有引力提供向心力可得 解得 由于d的轨道半径最大，则d的运行周期最大，故A错误； B．卫星环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 解得 可知卫星的轨道半径越小，环绕速度越大，即 而卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，则有 根据可知 故卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，其环绕速度最大，故B错误； C．根据可知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据万有引力提供向心力 可得 由此可知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，即c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度为重力加速度，所以a的向心加速度小于重力加速度g，故C错误； D．c是地球同步卫星，周期是24小时，则c在6小时内转过的圆心角为，故D正确。 故选D。 【针对练习3】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）微厘空间02组卫星在轨高度约为500km，中国空间站在轨高度约为400km。假设微厘空间02组卫星和中国空间站均环绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．微厘空间02组卫星的发射速度大于11.2km/s B．微厘空间02组卫星的环绕速度大于中国空间站的环绕速度 C．微厘空间02组卫星的环绕周期大于中国空间站的环绕周期 D．任意相等时间内，中国空间站与地心连线扫过的面积等于微厘空间02组卫星与地心连线扫过的面积 【答案】C 【详解】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，微厘空间02组卫星仍绕地球运行，发射速度小于11.2km/s，故A错误； B．万有引力提供向心力，由，推导得环绕速度 轨道半径越大，环绕速度越小。微厘空间02组卫星轨道高度更高、轨道半径更大，环绕速度小于中国空间站的环绕速度，故B错误； C．由 推导得周期 轨道半径越大，周期越大。微厘空间02组卫星轨道半径更大，环绕周期更大，故C正确； D．开普勒第二定律仅适用于同一环绕天体，不同环绕天体的面积速率，与轨道半径有关，二者轨道半径不同，相等时间内扫过的面积不等，故D错误。 故选C。 知识点2：宇宙速度及卫星变轨问题 1.卫星三种“速度”的比较 比较项目 概念 大小 说明 运行速度 指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝ 大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9 km/s 发射速度 指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度 v≥7.9 km/s 卫星在发射过程中要克服地球引力做功，卫星的预定轨道高度越高，所需发射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 由不同卫星的发射要求决定 关系 发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2 km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚 2.三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇宙速度 7.9km/s 物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第一宇宙速度又叫环绕速度。在地面上发射人造卫星的速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地运动 第二宇宙速度 11.2km/s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，第二宇宙速度又叫脱离速度 当11.2km/s≤v＜16.7km/s，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星” 第三宇宙速度 16.7km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度又叫逃逸速度 v≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间 3.同步卫星的发射 （1）变轨原理及过程 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”； ②当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度相同； ③当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。 （2）两类变轨比较 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 原因分析 当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行。 (1)当v增大时，卫星所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由知其运行速度要减小。 (2)当v减小时，卫星所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由知其运行速度将增大。(卫星的回收就是利用了这一原理) （3）变轨过程各物理量分析（重点） 【针对练习4】（25-26高一下·北京·期中）如图为发射“神舟二十号”飞船的示意图。飞船先在近地圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，在近地点P点火加速，进入椭圆轨道Ⅱ，运动到远地点Q时再次点火加速，进入圆轨道Ⅲ，以便和天和核心舱实现交会对接。已知地球半径为R，飞船在轨道Ⅰ上运动周期为T，轨道Ⅲ到地球表面距离为h，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．载人飞船在轨道Ⅲ上的速度大于地球的第一宇宙速度 B．载人飞船从轨道Ⅰ变到轨道Ⅱ需要在P点点火减速 C．载人飞船在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度 D．飞船从轨道Ⅰ到Ⅲ要经历两次点火加速，所以在轨道Ⅲ上的速度大于轨道Ⅰ上的速度 【答案】C 【详解】A．第一宇宙速度是绕地球卫星运行的最大速度，故载人飞船在轨道Ⅲ上的速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误； B．载人飞船从轨道Ⅰ变到轨道Ⅱ需要在P点点火加速，使需要的向心力增大，进而做离心运动，故B错误； C．由，故载人飞船在轨道Ⅱ上经过Q点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过Q点的加速度，故C正确； D．由 解得 轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅰ的半径，故高轨道Ⅲ运行的慢，两次点火加速增加了其重力势能，故D错误。 故选C。 【针对练习5】（25-26高一下·海南儋州·期中）如图所示为教材中关于“天体运行中三个宇宙速度”的插图，其中有①②③④条轨道，下列说法正确的是（　　） A．轨道①对应的速度是最大发射速度，最小环绕速度 B．卫星在轨道②单位时间扫过的面积等于在轨道③单位时间扫过的面积 C．若卫星的发射速度v满足，卫星将绕地球运动 D．卫星沿轨道④运动，将脱离太阳引力的束缚 【答案】C 【详解】A．轨道①对应的速度为第一宇宙速度 ，它是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造卫星绕地球运行所需的最小发射速度，故A错误； B．开普勒第二定律指出，对同一颗卫星在同一轨道上运行时，它与中心天体的连线在单位时间内扫过的面积相等。轨道②和轨道③是不同的轨道，卫星在这两个轨道上单位时间扫过的面积不相等，故B错误； C．第一宇宙速度 是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，第二宇宙速度 是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度。若卫星的发射速度 满足，卫星将绕地球做椭圆运动，不会脱离地球，故C正确； D．卫星沿轨道④运动，其发射速度为，此时卫星将脱离地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造行星；若要脱离太阳引力的束缚，发射速度需达到第三宇宙速度 ，故D错误。 故选C。 【针对练习7】（多选）（25-26高一下·安徽·期中）如图，在进行火星考察时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星表面的重力加速度为，火星的平均密度为，火星可视为均匀球体且忽略自转。火星探测器绕火星做匀速圆周运动时离火星表面的高度为火星半径的，已知引力常量，下列说法正确的是（     ） A．火星的半径为 B．探测器在不同轨道上稳定运行时，经过点加速度相同 C．火星伴飞停留阶段到科学探索阶段的变轨需要通过探测器加速完成 D．火星探测器绕火星做匀速圆周运动时的向心加速度为 【答案】BD 【详解】A．忽略火星自转，火星表面物体万有引力等于重力 火星质量 ，代入整理得： 得 故A错误； B．加速度由万有引力产生，满足 点到火星中心的距离 固定，因此不同轨道经过点时，加速度大小相等，方向都指向火星中心，矢量加速度相同，故B正确。 C．火星伴飞停留阶段是高轨道，科学探索阶段是更低的近火星轨道，从高轨道变轨到低轨道需要做近心运动，必须减速（使万有引力大于向心力，实现近心变轨），加速会做离心运动进入更高轨道，故C错误。 D．探测器离火星表面高度为火星半径的，因此轨道半径 万有引力提供向心力 结合火星表面关系 代入得 ，故D正确。 故选BD。 知识点3：拉格朗日点卫星、张角与遮光角及卫星追及问题 1.拉格朗日点卫星模型 拉格朗日点指在两个大天体引力作用下,能使小物体稳定的点。在每个由大天体构成的系统中,有五个拉格朗日点,其中连线上有三个:图中L1、L2、L3。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统的L2点做圆周运动。处于拉格朗日点处的卫星是在两个大天体的共同引力作用下绕中心天体做圆周运动,且运行周期与运行天体的周期相同,如在地月系统拉格朗日点处的卫星随月球同步绕地球转动。 2.张角与遮光角 卫星运动中经常会涉及“能否看到卫星”“实施全天通信”等问题，归根结底是求几何张角和遮光角的问题。下表中圆心为O的中心天体半径为R,卫星A在轨道半径为r的圆周上绕中心天体运动。 张角α 遮光角β 图示 释义 张角α是卫星可观测到的范围对应的夹角(也称为观测角或视觉角度) 遮光角β是太阳光被中心天体遮挡而照射不到的范围对应的夹角。当卫星运动至遮光角β范围内时，进入黑夜，当卫星运动至β角范围以外时，处于白昼。 关系式 3.卫星追及问题 【针对练习7】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图所示是地月天体系统，在地月连线上存在一种特殊点，称为拉格朗日点。在地球上将一颗质量为的人造卫星发射至该点后，它受到地球、月球对它的引力作用，并恰好和月球一起绕地球以相同的角速度做匀速圆周运动。已知相对于地球质量M和月球质量m来说，很小，所以卫星对地球和月球的引力不影响地球和月球的运动。若地心到月心间距为L，月心到该拉格朗日点的距离为d，则（　　） A．该卫星的发射速度大于第二宇宙速度11.2km/s B．地月连线所在直线上只存在1个拉格朗日点 C．该卫星在图中拉格朗日点的线速度大小小于月球的线速度大小 D．题干中物理量满足关系式 【答案】D 【详解】A．地球的第二宇宙速度，是在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s，而该卫星没有脱离地球引力的束缚，所以该卫星的发射速度小于第二宇宙速，即小于11.2km/s，故A错误； B．由题意可知，地月连线所在直线上除了题图中的拉格朗日点外，拉格朗日点还可能出现在地月之间，故地月连线所在直线上不止1个拉格朗日点，故B错误； C．依题意知，该卫星在图中拉格朗日点时，卫星和月球的角速度相同，且卫星做匀速圆周运动的半径大于月球做匀速圆周运动的半径，根据可知，该卫星的线速度比月球的线速度大，故C错误； D．由题知，地球和月球对该卫星万有引力的合力提供卫星所需要的向心力，可得 对月球，由万有引力提供向心力，可得 联立解得 故D正确； 故选D。 【针对练习8】（多选）（25-26高一下·河北·期中）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”；当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。人造近火卫星“祝融号”做匀速圆周运动的周期为T，火星的公转周期为，地球公转周期为，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，火星的轨道半径为r，万有引力常量为G，忽略自转影响，下列说法正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量为 C．火星的密度为 D．相邻两次“火星冲日”的时间间隔为 【答案】CD 【详解】B．由万有引力提供向心力 可得太阳的质量为，故B错误； C．“祝融号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 解得火星的 根据球体的体积公式 解得火星的密度为，故C正确； A．人造近火卫星“祝融号”做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 其中 解得火星的第一宇宙速度大小为，故A错误； D．根据几何关系满足 则相邻两次“火星冲日”的时间间隔为，故D正确。 故选CD。 【针对练习9】（25-26高一下·安徽·期中）中国北斗卫星导航系统需要在短时间发射一定数量的卫星，中国在3年的时间内共发射了14颗北斗卫星，火箭载着北斗卫星飞向特定轨道，火箭内平台上还放有测试仪器。若北斗卫星导航系统中的一颗卫星预定轨道位于赤道上空的轨道Ⅰ上，其对地张角为，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星的轨道。已知地球半径为。 (1)卫星进入预定轨道后，求卫星与卫星的运行周期之比； (2)若卫星的周期为，引力常量为，求地球的平均密度。 (3)在发射过程中，卫星起飞时火箭以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度）。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，该处离地面的高度为多少？ 【答案】(1)：1 (2) (3) 【详解】（1）设地球半径为，卫星的轨道半径为，对地张角为，则半张角为。由几何关系可知 解得 卫星和卫星均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律 对近地卫星，轨道半径，有 代入数据得卫星与卫星的运行周期之比 （2）对卫星，由万有引力提供向心力，有 解得地球质量 地球体积 平均密度 代入，得 则 （3）卫星起飞时火箭以加速度竖直向上做匀加速直线运动，有 解得 可得起飞时测试仪器对平台压力大小等于，在某一高度h处，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，即 由牛顿第二定律可得 解得 根据万有引力与重力的关系有， 联立解得 知识点4：双星模型 1.定义 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 2.双星的特点 ①“向心力等大反向” 对m1有：＝m1ωr1 对m2有：＝m2ωr2 两者之间的万有引力提供向心力，大小相等，方向相反，作用在同一直线上，也分别作用在两星上。 ②“周期、角速度相同” T1＝T2 ω1＝ω2 ③“距离不变” r1＋r2＝L ④“半径反比” 两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 ⑤运动周期 T＝2π ⑥双星的总质量 m1＋m2＝ 3.模型条件 ①两颗星彼此相距较近。 ②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③两颗星绕同一圆心做圆周运动。 ①由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，可得，即固定点离质量大的星较近。 ②万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 ③当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时，其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 【针对练习10】（25-26高一下·北京石景山·期中）太空中有靠得较近的两颗天体，它们以两者重心连线上的某点为圆心做稳定的匀速圆周运动，忽略其他天体对它们的影响，则它们的（　　） A．角速度与其质量成反比 B．线速度与其质量成反比 C．向心力与其质量成正比 D．半径与其质量成正比 【答案】B 【详解】A．该模型为双星系统，核心规律为：两星角速度大小相等、向心力为相互的万有引力，大小相等、轨道半径之和等于两星间距。设两星质量为、，轨道半径为、，角速度为，双星角速度始终相等，与质量无关，故A错误； B．由向心力相等得 可知半径与质量成反比，双星角速度始终相等，线速度，线速度与半径成正比，即线速度与质量成反比，故B正确D错误； C．两星的向心力由它们之间的万有引力提供，是作用力与反作用力，所以向心力大小相等，故C错误； 故选B。 【针对练习11】（多选）（25-26高一下·河南漯河·期中）随着人类对太空的探索，人类观测到了一个双星系统，如图所示。已知质量不同的两星体A、B之间的距离为L，两星体环绕连线的某点做匀速圆周运动，且两星体的运行周期均为T，万有引力常量为G，忽略其他星体对A、B的影响。则下列说法正确的是（　　） A．两星体的加速度大小相等 B．两星体的线速度大小与质量成反比 C．两星体的质量和为 D．两星体的线速度之和为 【答案】BD 【详解】A．根据牛顿第二定律可得， 所以， 由于两星体质量不等，则加速度大小不等，故A错误； B．根据万有引力提供向心力， 所以 根据，可得，故B正确； C．由以上分析可得，故C错误； D．两星体的线速度之和为，故D正确。 故选BD。 知识点5：多星模型 1.定义 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 2.多星问题 ①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 ②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 ③注意利用几何知识求半径。 3.三星模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：×2×cos 30°＝ma其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 4.四星模型 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力：×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力：×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 【针对练习12】（25-26高一下·山西晋中·期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上（如图甲），两颗星围绕中央星在同一半径为的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上（如图乙），并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。若两种系统的运动周期相同，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对甲图 对乙图 联立解得 故选A。 【针对练习12】（多选）（23-24高二下·山东烟台·期中）如图所示，天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上，四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是（　　） A．四颗天体线速度大小均为 B．四颗天体线速度大小均为 C．四颗天体的质量均为 D．四颗天体的质量均为 【答案】BD 【详解】AB．四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，其圆心在位于边长为l的正方形的几何中心，由几何关系可得轨道半径均为 由线速度与角速度关系公式，可得四颗天体线速度大小均为 A错误，B正确； CD．以其中一颗天体为研究对象，其所需向心力由其它三颗天体的万有引力的合力提供，则有 由牛顿第二定律可得 解得四颗天体的质量均为 C错误，D正确。 故选BD。 一、单选题 1．（25-26高一下·河南洛阳·期中）2026年3月，我国使用长征八号甲运载火箭，成功将互联网低轨20组卫星送入近地轨道。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．在轨道上运动时，速度大于第一宇宙速度 B．发射速度大于同步卫星的发射速度 C．在轨运行的角速度大于同步卫星的角速度 D．在轨运行的加速度小于同步卫星的加速度 【答案】C 【详解】A．卫星绕地球做圆周运动，由万有引力充当向心力，有 解得 轨道半径越小环绕速度越大，第一宇宙速度是近地轨道卫星的环绕速度，是所有地球卫星的最大环绕速度，该卫星为近地轨道卫星，运行速度约等于第一宇宙速度，故A错误； B．轨道高度越高，克服地球引力做功越多，所需的发射速度越大。由于同步卫星轨道高度远大于近地卫星，故该卫星发射速度小于同步卫星的发射速度，故B错误； C．由 可得到 可知轨道半径越小角速度越大，该卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，故在轨运行的角速度大于同步卫星的角速度，故C正确； D．根据牛顿第二定律有 轨道半径越小向心加速度越大，该卫星轨道半径更小，故在轨运行的加速度大于同步卫星的加速度，故D错误。 故选C。 2．（25-26高一下·浙江温州·期中）第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度，理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，若以的速度传播的光都不能从某天体上逃逸，则这种天体称为黑洞。现有一黑洞的质量为M，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该黑洞表面的重力加速度不小于 B．该黑洞表面的重力加速度不小于 C．该黑洞的半径不大于 D．该黑洞的半径不大于 【答案】D 【详解】AB．天体表面重力加速度满足 解得 环绕天体运行时 解得 逃逸速度 由，解得，故AB错误； CD．由 解得，故C错误，D正确。 故选D。 3．（25-26高一下·重庆渝中·期中）自20世纪60年代以来，人类曾进行了四十多次火星探测任务，假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅰ上运动时的周期大于在轨道Ⅱ上运动时的周期 B．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同 C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律 ，半长轴越大，周期越大。轨道Ⅰ是近火星圆轨道，半长轴小于轨道Ⅱ的半长轴，因此轨道Ⅰ的周期小于轨道Ⅱ的周期，A错误； B．万有引力提供向心力，推导得周期公式 ，轨道半径相同时，中心天体质量不同（火星质量≠地球质量），因此周期不同，B错误； C．加速度由万有引力决定，，同一点到火星中心的距离相同，因此飞船在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上经过点的加速度相等，C错误； D．根据开普勒第二定律，卫星在椭圆轨道上运动时，近地点速度大于远地点速度；是近火星点（近地点），是远地点，因此经过点的速度大于经过点的速度，D正确。 故选 D。 4．（25-26高一下·山西太原·期中）随着科技的发展，载人飞船绕太阳运行终会实现。如图所示，Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，Ⅱ轨道假设是载人飞船的椭圆轨道，其中点A、C分别是近日点和远日点，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则（　　） A．载人飞船的运动周期小于1年 B．载人飞船在C点的速率小于火星绕日的速率 C．载人飞船在Ⅰ轨道上A点的速率大于在Ⅱ轨道上A点的速率 D．在相同时间内，载人飞船沿轨道Ⅰ运行时与太阳连线扫过的面积和沿轨道Ⅱ运行时与太阳连线扫过的面积相等 【答案】B 【详解】A．设地球轨道Ⅰ的半径为，地球公转周期为1年，飞船椭圆轨道Ⅱ的半长轴 根据开普勒第三定律，可知载人飞船的运动周期大于1年，故A错误； B．火星在圆轨道Ⅲ绕日运动，速率满足万有引力提供向心力，有 解得 飞船在椭圆轨道Ⅱ的C点，做向心运动，万有引力大于所需向心力，即 得 即飞船在C点的速率小于火星绕日速率，故B正确； C．飞船从圆轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，需要在A点做离心运动，因此必须在A点加速，可得飞船在Ⅰ轨道上A点的速率小于在Ⅱ轨道上A点的速率，故C错误； D．开普勒第二定律中“相同时间内，中心天体与行星连线扫过的面积相等”是对同一轨道而言，不同轨道扫过的面积不相等，故D错误。 故选B。 5．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在赤道上的人a某时刻用仪器观测到他的正上方恰好有三颗卫星排成一条直线，分别是近地轨道卫星b、地球静止同步轨道卫星c和高空探测卫星d。已知它们均做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．d运动周期一定大于a运动周期 B．他们的线速度满足vb>vc=va>vd C．他们的角速度满足ωa>ωb>ωc>ωd D．他们相同时间绕过的角度θa>θb>θc>θd 【答案】A 【详解】A．根据开普勒第三定律，卫星轨道半径越大，则周期越大，则d的周期大于c的周期，而ac周期相等，可知d运动周期一定大于a运动周期，A正确； BCD．因ac角速度相等，即ωa=ωc，根据可知vc>va 对bcd卫星，根据 可得，，可知， 根据可知，他们相同时间绕过的角度。则BCD错误； 故选A。 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心、轨道半径之比为1∶4。若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是（　　） A．在图示轨道上，“轨道康复者”的周期为3h B．在图示轨道上，“轨道康复者”的速度大于7.9km/s C．某时刻有一个部件从航天器上分离，该部件会落回地球表面 D．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的4倍 【答案】A 【详解】A．同步卫星的周期为24h，由开普勒第三定律 解得“轨道康复者”的周期，故A正确； B．第一宇宙速度是卫星运行的最快速度，“轨道康复者”离地面有一定的高度，故其速度小于7.9km/s，故B错误； C．某时刻有一个部件从航天器上分离，该部件仍在原轨道上绕地球做匀速圆周运动，故C错误； D．由 轨道半径之比为1∶4，则加速度大小是地球同步卫星的16倍，故D错误。 故选A。 7．（25-26高一下·山东济南·期中）2026年4月9日，嫦娥七号探测器运抵文昌航天发射场，进入发射前最终测试阶段。本次任务将奔赴月球南极，开展水冰探测、月表环境勘察与科研站建设相关试验，为我国载人登月奠定基础。如图所示探测器先绕地球做近地圆周运动，经精准变轨后进入地月转移轨道，最终环绕月球做贴近月球表面的圆周运动。已知地球半径R地为月球半径R月的4倍，地球质量M地为月球质量M月的81倍，近地卫星绕地球的环绕速度v地=7.9km/s，万有引力常量为G，不计天体自转影响。下列说法正确的是（　　） A．探测器的发射速度必须大于11.2km/s B．探测器绕月球表面做圆周运动的环绕速度约为1.8km/s C．探测器在地球表面的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为81:4 D．若探测器在距月球表面高度为2R月的轨道上做圆周运动，其向心加速度等于月球表面的重力加速度的 【答案】B 【详解】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，探测器仅前往月球，未脱离地球引力，发射速度小于11.2km/s，故A错误； B．探测器绕月球表面做圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有 解得 已知，，代入上式可得 又 ，可得 ，故B正确； C．在天体表面，忽略天体自转的影响，万有引力等于重力，则有 解得 可得，故C错误； D．探测器的轨道半径 根据牛顿第二定律有 解得向心加速度为 在月球表面，根据万有引力等于重力，则有 解得 联立解得，故D错误。 故选B。 8．（23-24高三上·广东广州·期中）如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其它星体对它们的作用，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（　　）    A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小是原来的两倍 【答案】B 【详解】A．四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，如下图    根据对称性可知星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误； B．由牛顿第二定律及力的合成可得 解得 由对称性可知每个星体匀速圆周运动的角速度均为，故B正确； C．原来星体匀速圆周运动的加速度大小为 若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小为 故C错误； D．原来星体匀速圆周运动的线速度大小为 若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小为 故D错误。 故选B。 9．（24-25高一下·辽宁·期中）中国科学院“地月空间DRO探索研究”专项团队成功构建国际首个地月空间三星星座，多项原创性科技成果在国际上处于领先地位。如图所示是地月天体系统，在地月连线外侧有一个拉格朗日点，质量为m0的卫星在该点受到质量为M的地球和质量为m的月球的万有引力作用，并恰好和月球一起绕地球做同周期的匀速圆周运动。卫星的引力不影响地球和月球的运动，已知地心、月心间距为R，拉格朗日点距地心距离为L，则（　　） A．卫星周期T1与月球周期T2的关系式 B．卫星的向心力 C．卫星m0的发射速度大于11.2km/s D．月球的向心加速度大于卫星的向心加速度 【答案】B 【详解】A．对卫星和月球分别根据牛顿第二定律得， 解得，A错误； B．卫星的向心力，B正确； C．卫星m0的发射速度小于11.2km/s，因为发射速度大于11.2km/s时就脱离引力束缚，不会绕地球运动，C错误； D．根据，二者的角速度相同，轨道半径越大，向心加速度越大。所以月球的向心加速度小于卫星的向心加速度，D错误。 故选B。 二、多选题 10．（22-23高三·全国·一轮复习）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（　　） A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为 C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同 【答案】AD 【详解】A．甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，则有 故A正确； B．根据对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为零，故B错误； C．结合上述，根据牛顿第二定律有 解得 由于甲、丙的轨道半径相等，所以线速度大小相等，但方向不同，故线速度不同，故C错误； D．根据 可知，甲、丙角速度相同，故D正确。 故选AD。 11．（25-26高一下·山东济南·期中）我国“天琴计划”利用三颗完全相同的卫星组成等边三角形编队，在距离地球中心约万公里高度的轨道上绕地球运行，以探测引力波。如图所示，三颗卫星构成的等边三角形编队绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为，运行周期为。已知引力常量为，地球半径为，不计卫星间的引力作用，下列说法正确的是（　　） A．三颗卫星受到地球的万有引力的大小一定相等 B．地球的质量可表示为 C．地球的第一宇宙速度为 D．若要使探测卫星的轨道半径减小，需在当前轨道点火加速 【答案】AC 【详解】A．根据万有引力公式 三颗卫星完全相同，即质量相等，轨道半径r相同，地球质量M和引力常量G也相同，所以三颗卫星受到地球的万有引力大小一定相等，故A正确； B．卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，则有 解得地球的质量为，故B错误； C．地球的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，其轨道半径等于地球半径，则有 又地球的质量为 联立解得，故C正确； D．若要使卫星轨道半径减小，需在当前轨道减速，即减小所需向心力，使万有引力大于向心力，卫星做近心运动，故D错误。 故选AC。 12．（25-26高一下·天津南开·阶段检测）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动，如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．A星球的轨道半径为 B．B星球的轨道半径为 C．双星运行的周期为 D．若近似认为B星球绕A星球中心做圆周运动，则B星球的运行周期为 【答案】AD 【详解】AB．在双星系统中，两颗恒星角速度和周期相同，相互间的万有引力提供各自向心力，轨道半径之和等于两星中心距离，则有 由两星球的向心力相等，得 约去，可得 结合，联立解得，，故A正确，B错误； C．对A星，万有引力提供向心力，有 代入，约去公共项整理得，故C错误； D．若近似认为B绕A中心做圆周运动，A不动，万有引力提供B的向心力，有 解得，故D正确。 故选AD。 13．（25-26高一下·安徽合肥·期中）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 【答案】CD 【详解】A．由于我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星绕地球运动，而“天问一号”火星探测器在着陆准备轨道上运动时是绕火星运动，它们的中心天体不同，因此开普勒第三定律不适用，故A错误； B．由开普勒第三定律可知，若有一质量为，轨道半径为的绕火星做匀速圆周运动的卫星，其周期也为；设火星的质量为，有 可得 所以能估算火星质量，但由于火星半径未知，无法估算火星密度，故B错误； C．“天问一号”从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要减速，所以开启发动机向前喷气，故C正确； D．北斗导航系统的中圆地球轨道卫星半径为，周期为，设地球质量为，有 可以估算地球质量 因此，火星质量和地球质量的比值，故D正确。 故选CD。 14．（25-26高一下·浙江宁波·期中）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。如右图所示，鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道，近月点距月心约为，远月点距月心约为，为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（     ） A．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于且小于 B．鹊桥二号从经到的运动时间为 C．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为 D．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 【答案】AC 【详解】A．由于鹊桥二号发射到月球附近，没有脱离地球的束缚，因此鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于且小于，故A正确； B．根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号从 C 经B到D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故B错误； C．根据牛顿第二定律可得 解得 可知鹊桥二号在 A、B两点的加速度大小之比，故C正确； D．由于运动轨迹为椭圆，因此在C、D两点的速度方向并不与卫星与月心的连线垂直，故D错误。 故选AC。 15．（25-26高一下·山东枣庄·期中）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A的质量为 B．B的质量为 C．A、B的速度之比 D．A、B的轨道半径之比为 【答案】BCD 【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，有 可解得，故B正确； A．AB组成的双星系统，有 根据公式可知 所以，故A错误； D．根据公式可知，故D正确； C．双星系统中A与B运动的角速度相同，根据公式可知，故C正确。 故选BCD。 三、解答题 16．（25-26高一下·山西晋中·期中）天问三号任务计划在2028年前后实施两次发射任务，分别完成火星着陆与样品返回。如图所示，地球和火星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳运行，轨道均可视为圆轨道，轨道半径分别为和，地球的公转周期为，地球表面的重力加速度大小为。已知地球与火星的质量之比为、半径之比为，引力常量为。不考虑地球和火星自转的影响。 (1)求太阳的质量； (2)求火星表面的重力加速度大小； (3)考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设太阳质量为，地球质量为，太阳对地球的引力提供地球圆周运动的向心力，满足 解得太阳质量 （2）不考虑天体自转，天体表面物体的重力等于万有引力。设地球半径为，地球表面的重力加速度大小为，由题意可知，火星的质量为，火星的半径为；对地球表面质量为的物体，有 同理，对火星表面质量为的物体，有 两式联立得 （3）根据开普勒第三定律可知地球与火星绕太阳运动的周期满足 解得 则地球与火星再次出现最佳发射时机时，地球比火星多转一周，因此相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔满足 代入火星公转，解得 17．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）图1为电影《流浪地球2》中的太空电梯，图2为其简易图。图2中太空电梯通过超级缆绳将配重空间站和地球赤道连接在一起，它们随地球以同步静止状态一起转动。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。若同步卫星轨道距地面，配重空间站的质量为m，配重空间站的高度比同步卫星轨道高，电梯、缆绳的质量和其他阻力忽略不计。求： (1)估算地球的质量及密度； (2)地球的自转周期T； (3)配重空间站受到缆绳的力大小为多少。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）忽略地球自转时，地球表面物体万有引力等于重力 解得 天体密度为 解得 （2）万有引力提供向心力 静止空间站轨道半径 解得 （3）缆绳对配重拉力为F，F与万有引力共同提供向心力，配重空间站的轨道半径，根据牛顿第二定律有 解得。 学科网（北京）股份有限公司 $