第6讲 水平面内圆周运动模型及临界问题（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一下学期期中期末物理复习（人教版必修第二册）

第6讲 水平面内圆周运动模型及临界问题 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 水平面内圆周运动临界问题分析及水平转盘模型 知识点2 锥摆模型 知识点3 锥形容器模型 知识点4 车辆转弯模型 知识点1：水平面内圆周运动临界问题分析及水平转盘模型 1.水平面内的圆周运动 在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。 2.临界问题分析 判断临界状态 有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。 三种临界常用条件 ①接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝ 。 ②相对滑动的临界条件：静摩擦力达到 。 ③绳子断裂与松驰的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝ 。 3.水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类 第一类与摩擦力有关 ①如果只是摩擦力提供向心力，则有Ffmax＝，静摩擦力的方向 ； ②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 第二类与弹力有关 ①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为 ； ②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上 或绳上拉力恰好为 等。 4.方法突破 ①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。 ②分析物体受力情况，其合外力提供向心力。 ③由Fn＝m=mrω2=mr列方程求解。 5.水平转盘模型 【针对练习1】（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，质量均为的物块a、b放在水平转台上，与圆心的距离分别为0.1 m和0.2 m。物块a、b与转台间的动摩擦因数分别为和，重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．物块a滑动的临界角速度为0.6 rad/s B．物块b滑动的临界角速度为4 rad/s C．若不断提高转速，物块b会先被甩出 D．若在a、b间连一个轻杆，当转台角速度为时，轻杆给物块b的推力为0.4 N 【针对练习2】（多选）（25-26高一下·甘肃·期中）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为，，与圆盘间的动摩擦因数相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（　　） A．此时细线张力为 B．此时圆盘的角速度为 C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D．若此时烧断细线，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动 【针对练习3】（多选）（25-26高一下·山东烟台·期中）质量均为的两个物体A与B，置于水平圆形转盘之上。物体A距转轴的距离为，物体B距转轴的距离为。两物体之间由一轻质细线连接，细线恰好伸直且无初始张力。已知物体A和B与转盘之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为。现使圆盘绕竖直轴从静止开始缓慢加速转动，以下说法正确的是（　　） A．随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力 B．随着角速度增大，B先达到最大静摩擦力 C．当时，两物体即将相对转盘滑动 D．当时，两物体即将相对转盘滑动 知识点2：锥摆模型 模型名称 模型分析 单线圆锥摆模型 单线圆锥摆的向心力由重力与拉力的合力提供，一般采用合成法较简便： ,悬线张力。 小球在球形光滑容器内的水平面上做圆周运动，所受弹力方向始终指向球形容器的球心，受力情况与单线圆锥摆类似，可归结于单线圆锥摆模型。 双线圆锥摆模型 双线圆锥摆中常采用正交分解法：沿半径方向利用牛顿第二定律列方程，垂直于半径方向利用平衡条件列方程来分析求解。如图甲所示， x轴方向上有FT1 sinθ1 + FT2 sinθ2=mrω², y轴方向上有FT1 cosθ1=FT2 cosθ2 + mg。 双线圆锥摆中常出现线松弛与张紧的临界状态，当给定线能承受的最大张力时也会出现线断裂的临界状态。如图乙所示，细线一端系于套在环上的球，另一端固定在环的最低点，当环绕竖直直径旋转时小球受力与双线圆锥摆类似时，可归结于双线圆锥摆模型。 【针对练习4】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，质量为m的小球用细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动。悬挂小球的绳长为l，小球做匀速圆周运动的角速度为，重力加速度为g。则（　　） A．小球运动的线速度大小为 B．小球受到的合力大小为 C．BO之间的距离为 D．若增加小球质量m，而l与不变，小球圆周运动的半径减小 【针对练习5】（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示为角速度大小ω可以调节的转盘，转盘中心O点固定一竖直杆。质量为m的小球与轻绳AC和轻杆BC连接于C点，轻绳AC长为l，与竖直杆上A点相连，轻杆BC通过铰链与竖直杆上的B点相连且可绕B点自由转动。转盘静止时轻绳AC与竖直方向的夹角，轻杆BC与竖直方向的夹角。不计摩擦阻力，转盘匀速转动，重力加速度大小为g。求： (1)轻杆BC中的弹力恰好为0时，转盘的角速度大小； (2)轻绳AC中的拉力恰好为0时，转盘的角速度大小； (3)转盘角速度大小时，轻绳AC中的弹力大小和轻杆BC中的弹力大小。 知识点3：锥形容器模型 模型名称 模型分析 符合下列条件的物理情景： (1)锥形容器对称轴竖直； (2)物体轨迹平面与锥形容器对称轴正交即轨迹平面水平； (3)物体在锥形容器的内侧面或外侧面的某一水平面内运动，称为锥形容器模型，如图所示。 如图，可视为质点的小球紧贴着内壁光滑的圆锥斗做水平面内的匀速圆周运动。轴线与圆锥的母线夹角为θ,小球的轨道面距地面高度为h,圆周轨道的圆心是O,轨道半径是r =h tan θ,则有 向心力 支持力 由此得，， 结论：在同一地点，同一锥形斗内，在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则角速度越小，线速度越大。 【针对练习6】（25-26高一下·北京延庆·期中）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（　　） A．球A的线速度小于球B的线速度 B．球A的角速度等于球B的角速度 C．球A的运动周期小于球B的运动周期 D．球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力 【针对练习7】（25-26高一下·河南信阳·期中）如图所示，用一根l=1m长的细线，一端系一质量m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一放置在地面上的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，点距地面高度h=1.5m。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8） (1)求小球能贴着圆锥体运动的最大角速度； (2)当时，小球在转动中绳子突然断裂，求小球落点到O在水平面投影的距离s。 知识点4：车辆转弯模型 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 倾斜面车辆转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 ②汽车在倾斜公路上转弯时，若以设计时速v0转弯，重力与地面支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得,得。若v > v0,则由竖直方向,水平方向及f = μN可得不侧滑的最大转弯速度；若汽车经过弯道时的速度v ＜ v0,路面将对汽车产生向外的侧向摩擦力。 【针对练习8】（多选）（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）如图所示，某水平公路弯道半径R=50 m，一辆质量m=1.2×103 kg的汽车正在沿该弯道匀速转弯（不侧滑），轮胎与路面间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2.关于此过程下列说法正确的是（　　） A．汽车安全转弯的最大速度为 B．若汽车以18 m/s的速度转弯，不会发生侧滑 C．若汽车以12 m/s的速度转弯，所需向心力大小为3.456×103 N D．汽车正常转弯时所需的向心力，由地面对车的静摩擦力提供，方向指向圆心 【针对练习9】（多选）（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）如图所示，火车转弯轨道外高内低。某同学在车厢内研究列车的运动情况，他在车厢顶部用细线悬挂一个质量为的小球。当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，已知列车与小球做匀速圆周运动的半径为，重力加速度大小为，则（　　） A．细线对小球的拉力的大小为 B．列车恒定速率为 C．车轮与内、外轨道间有压力，但外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用 D．车厢内放在桌面上的手机所受支持力竖直向上 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）如图若弯道半径为r，内外铁轨平面与水平面倾角为，当火车以规定的行驶速度v转弯时，轮缘与轨道间恰好无侧向挤压，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．轨道对火车的支持力小于火车的重力 B． C．其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应增大 D．其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应减小 2．（25-26高一上·北京海淀·期末）如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是（　　） A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为10m/s时所需的向心力为1.4×104N C．汽车转弯的速度为20m/s时汽车不会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0m/s2 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）如图是场地自行车比赛的某段圆弧形赛道，赛道平面与水平面的夹角为。某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，其圆周运动的半径为R，不计空气阻力，重力加速度为g。要使自行车不受侧向摩擦力作用，则其速度大小为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘挤压的弹力F提供火车转弯的向心力，如图甲所示，但是靠这种办法铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图乙所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 B．遇雨雪天气地面湿滑，规定的行驶速度也将改变 C．按规定速度行驶时，支持力小于重力 D．该弯道的半径 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示为某离心分离装置示意图，水平转台可在电机的带动下绕过圆心的竖直轴转动。开始时将质量为1kg的物块静置于转台上，物块到转台圆心的距离为1m，时刻启动电机，转台由静止开始加速转动，其角速度与时间关系图像如图所示，当时物块刚好相对转台滑动，物块与转台间的动摩擦因数为（　　）（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图左，水平转盘可绕竖直轴在水平面内转动，轴上装有传感器。长L的细绳一端固定在传感器上，另一端系有的小物块，细绳伸直但不紧绷。水平转盘开始逐渐加速，传感器测得细绳拉力F与转盘角速度的平方关系图如下，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，则（    ） A．细绳对物块的拉力提供物块的向心力 B．物块与转盘间动摩擦因数为0.5 C．细绳长 D．仅增大细绳的长度，图线与横轴的交点不变 7．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到轴的距离为物块B到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块A受到的静摩擦力先增大后减小 B．物块B受到的静摩擦力先增大后减小 C．物块B受到的静摩擦力先背离圆心，然后又指向圆心 D．物块A受到的合外力一直在增大且总是B的合外力的两倍 8．（25-26高一下·安徽·期中）如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为，质量为的带孔小球穿于环上，同时有一长为的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为，重力加速度的大小为，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，下列说法正确的是（     ） A．圆环角速度等于时，小球受到3个力的作用 B．圆环角速度等于时，小球受到4个力的作用 C．圆环角速度大于时，细绳将断裂 D．圆环角速度大于时，细绳将断裂 二、多选题 9．（25-26高一下·山西晋中·期中）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图a，汽车通过拱桥最高点时对桥的压力不大于重力 B．如图b所示是两个圆锥摆A、B，细线悬挂于同一点且两小球处于同一水平面，则A、B小球做匀速圆周运动的周期相等 C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则小球在A位置的角速度等于在B位置时的角速度 D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨和轮缘间会有挤压作用 10．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图1所示为游乐场中的旋转飞椅，该娱乐设施深受小朋友们的喜爱。现将旋转飞椅简化为图2所示的模型，水平横梁的左、右两端分别用轻绳连接小球甲、乙，且右侧轻绳更长。当横梁绕过其中点的竖直转轴匀速转动时，两侧的小球以相同的角速度在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角分别为α、β，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A． B． C．小球甲的线速度比乙的线速度小 D．小球甲的线速度比乙的线速度大 11．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（　　） A．C的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等 C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 12．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示，两质量均为m的瓷罐P、Q（可视为质点）放在水平圆桌转盘上，P、Q与转轴的距离分别为R、2R，与圆盘的最大静摩擦力均为其所受重力的k倍，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，用表示转盘转动的角速度，P、Q始终在圆盘上。下列说法正确的是（　　） A．当时，P所受摩擦力大小为 B．当时，Q所受摩擦力大小为 C．当时，P所受摩擦力大小为 D．当时，Q所受摩擦力大小为 13．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（    ） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 14．（25-26高一下·江西吉安·期中）如图甲光滑圆锥体固定在水平面上，其轴线竖直，母线与轴线夹角为，长为L的轻绳，一端固定在圆锥顶点P处，另一端拴着质量为m的小球（小球可看成质点，小球静止时，轻绳与母线平行），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，绳子拉力T随的变化关系如图乙所示，重力加速度取，则下列正确的是（　　） A．母线与轴线夹角为 B．小球的质量为1kg C．轻绳L长为1.2m D．小球的角速度为时，小球已经离开锥面 15．（25-26高一下·河南洛阳·期中）如图所示，在水平圆盘上，沿直径方向有两个用轻绳（伸直且无弹力）相连的可视为质点的物体A和B分居圆心两侧，与圆盘一起绕中轴线转动，转动角速度ω从零开始缓慢增大，直到两物块相对圆盘运动为止。已知两物体的质量均为m，距中轴线的距离分别为r和3r，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．当圆盘的角速度大于时，绳中有拉力 B．当圆盘的角速度等于时，物块A受到的摩擦力方向指向圆心 C．当圆盘的角速度等于时，物块A和B将相对圆盘向B的一侧滑动 D．当物块A和B相对圆盘恰好发生滑动时，绳子拉力大小为 三、解答题 16．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）如图，用一根长的细线，一端系一质量的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，O点距地面高度。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（，，）求： (1)小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力及圆锥体的弹力大小； (2)小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度多大时，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； (3)若细线与竖直方向的夹角为，则小球的角速度为多大； 17．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图所示，水平圆盘上有一个质量为3m的小木块a和一个质量为m的小木块b，用轻绳相连，轻绳恰好伸直且无拉力。为转轴，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，求： (1)当圆盘转动的角速度为多大时，轻绳开始产生拉力； (2)继续增大角速度，当木块a所受的静摩擦力刚好达到最大值时，此时圆盘的角速度为多大？并求出此时轻绳的拉力大小； (3)已知轻绳能承受的最大拉力为。试问随着角速度的不断增大，绳子是否会被拉断？若能，求出此时圆盘的角速度为多大；若不能，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 水平面内圆周运动模型及临界问题 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 水平面内圆周运动临界问题分析及水平转盘模型 知识点2 锥摆模型 知识点3 锥形容器模型 知识点4 车辆转弯模型 知识点1：水平面内圆周运动临界问题分析及水平转盘模型 1.水平面内的圆周运动 在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。 2.临界问题分析 判断临界状态 有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。 三种临界常用条件 ①接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0。 ②相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。 ③绳子断裂与松驰的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0。 3.水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类 第一类与摩擦力有关 ①如果只是摩擦力提供向心力，则有Ffmax＝，静摩擦力的方向一定指向圆心； ②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 第二类与弹力有关 ①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零； ②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 4.方法突破 ①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。 ②分析物体受力情况，其合外力提供向心力。 ③由Fn＝m=mrω2=mr列方程求解。 5.水平转盘模型 【针对练习1】（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，质量均为的物块a、b放在水平转台上，与圆心的距离分别为0.1 m和0.2 m。物块a、b与转台间的动摩擦因数分别为和，重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．物块a滑动的临界角速度为0.6 rad/s B．物块b滑动的临界角速度为4 rad/s C．若不断提高转速，物块b会先被甩出 D．若在a、b间连一个轻杆，当转台角速度为时，轻杆给物块b的推力为0.4 N 【答案】C 【详解】物块即将滑动时，最大静摩擦力提供向心力，根据 可得临界角速度 A．代入数据得临界角速度， A错误； B．代入数据得临界角速度， B错误； C．无杆连接时，临界角速度越小，转速升高时先达到临界，发生滑动。 由于ωb​=5 rad/s<ωa​=6 rad/s，因此先被甩出，C正确； D．a、用轻杆连接，当时，因，需要的向心力更大，自身最大静摩擦力不足以提供向心力，因此轻杆对的作用力方向为指向圆心的拉力，不是推力，D错误。 故选 C。 【针对练习2】（多选）（25-26高一下·甘肃·期中）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为，，与圆盘间的动摩擦因数相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（　　） A．此时细线张力为 B．此时圆盘的角速度为 C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D．若此时烧断细线，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动 【答案】ABC 【详解】ABC．当两物体刚好未发生滑动时，B离圆心更远，需要的向心力更大，且绳子拉力相等，所以B的静摩擦力达到最大静摩擦力且方向指向圆心；A的静摩擦力也达到最大，方向沿半径指向圆外； 设此时角速度为，细线张力为，对有 对有 解得 ，，故ABC正确； D．烧断细线后，拉力消失，需要的向心力为（最大静摩擦力），会发生滑动，不能保持相对圆盘静止； 需要的向心力，做离心运动，故D错误。 故选ABC。 【针对练习3】（多选）（25-26高一下·山东烟台·期中）质量均为的两个物体A与B，置于水平圆形转盘之上。物体A距转轴的距离为，物体B距转轴的距离为。两物体之间由一轻质细线连接，细线恰好伸直且无初始张力。已知物体A和B与转盘之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为。现使圆盘绕竖直轴从静止开始缓慢加速转动，以下说法正确的是（　　） A．随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力 B．随着角速度增大，B先达到最大静摩擦力 C．当时，两物体即将相对转盘滑动 D．当时，两物体即将相对转盘滑动 【答案】BC 【详解】AB．由 A和B随转盘转动的角速度相等，故B需要的向心力大，先达到最大静摩擦力，故A错误，B正确； CD．对A和B组成的整体，最大的向心力为最大的静摩擦力，故有 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 知识点2：锥摆模型 模型名称 模型分析 单线圆锥摆模型 单线圆锥摆的向心力由重力与拉力的合力提供，一般采用合成法较简便： ,悬线张力。 小球在球形光滑容器内的水平面上做圆周运动，所受弹力方向始终指向球形容器的球心，受力情况与单线圆锥摆类似，可归结于单线圆锥摆模型。 双线圆锥摆模型 双线圆锥摆中常采用正交分解法：沿半径方向利用牛顿第二定律列方程，垂直于半径方向利用平衡条件列方程来分析求解。如图甲所示， x轴方向上有FT1 sinθ1 + FT2 sinθ2=mrω², y轴方向上有FT1 cosθ1=FT2 cosθ2 + mg。 双线圆锥摆中常出现线松弛与张紧的临界状态，当给定线能承受的最大张力时也会出现线断裂的临界状态。如图乙所示，细线一端系于套在环上的球，另一端固定在环的最低点，当环绕竖直直径旋转时小球受力与双线圆锥摆类似时，可归结于双线圆锥摆模型。 【针对练习4】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，质量为m的小球用细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动。悬挂小球的绳长为l，小球做匀速圆周运动的角速度为，重力加速度为g。则（　　） A．小球运动的线速度大小为 B．小球受到的合力大小为 C．BO之间的距离为 D．若增加小球质量m，而l与不变，小球圆周运动的半径减小 【答案】C 【详解】A．设细绳与竖直方向夹角为θ，可知小球运动的线速度大小为，A错误； B．小球受到的合力大小为，B错误； C．根据 可得BO之间的距离为，C正确； D．根据，若增加小球质量m，而l与不变，则θ不变，小球圆周运动的半径不变，D错误。 故选C。 【针对练习5】（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示为角速度大小ω可以调节的转盘，转盘中心O点固定一竖直杆。质量为m的小球与轻绳AC和轻杆BC连接于C点，轻绳AC长为l，与竖直杆上A点相连，轻杆BC通过铰链与竖直杆上的B点相连且可绕B点自由转动。转盘静止时轻绳AC与竖直方向的夹角，轻杆BC与竖直方向的夹角。不计摩擦阻力，转盘匀速转动，重力加速度大小为g。求： (1)轻杆BC中的弹力恰好为0时，转盘的角速度大小； (2)轻绳AC中的拉力恰好为0时，转盘的角速度大小； (3)转盘角速度大小时，轻绳AC中的弹力大小和轻杆BC中的弹力大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）轻杆BC中的弹力恰好为0时，对小球分析可得 解得 （2）轻绳AC中的拉力恰好为0时，对小球分析可得 解得 （3）设轻绳AC的弹力为F1，轻杆BC的弹力为F2，当时，小球的受力如图所示 水平方向有 竖直方向有 联立解得， 知识点3：锥形容器模型 模型名称 模型分析 符合下列条件的物理情景： (1)锥形容器对称轴竖直； (2)物体轨迹平面与锥形容器对称轴正交即轨迹平面水平； (3)物体在锥形容器的内侧面或外侧面的某一水平面内运动，称为锥形容器模型，如图所示。 如图，可视为质点的小球紧贴着内壁光滑的圆锥斗做水平面内的匀速圆周运动。轴线与圆锥的母线夹角为θ,小球的轨道面距地面高度为h,圆周轨道的圆心是O,轨道半径是r =h tan θ,则有 向心力 支持力 由此得，， 结论：在同一地点，同一锥形斗内，在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则角速度越小，线速度越大。 【针对练习6】（25-26高一下·北京延庆·期中）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（　　） A．球A的线速度小于球B的线速度 B．球A的角速度等于球B的角速度 C．球A的运动周期小于球B的运动周期 D．球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力 【答案】D 【详解】AD．设圆锥半顶角为，小球受重力、筒壁的支持力，竖直方向平衡 整理得 两小球质量相同，相同，因此支持力大小相等；根据牛顿第三定律，小球对筒壁的压力等于支持力，因此两球对筒壁的压力相等。 水平方向合力提供匀速圆周运动的向心力，水平方向合力提供向心力 可知两球向心力大小相等，且由图得转动半径。由 得，越大越大，因此，故A错误，D正确； B．由，得，越大越小，因此，故B错误； C．由周期，且，得，故C错误。 故选D。 【针对练习7】（25-26高一下·河南信阳·期中）如图所示，用一根l=1m长的细线，一端系一质量m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一放置在地面上的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，点距地面高度h=1.5m。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8） (1)求小球能贴着圆锥体运动的最大角速度； (2)当时，小球在转动中绳子突然断裂，求小球落点到O在水平面投影的距离s。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球能贴着圆锥体运动的角速度最大时，支持力为0，仅受重力mg和绳子拉力T，合力提供向心力。竖直方向有 水平方向有 可得 （2）当时小球离开椎体表面，则 解得 绳子断裂后小球做平抛运动，平抛初速度 平抛下落高度 由，得下落时间 水平位移 即O点投影到抛出点的水平距离为 可知落地点到O投影的距离 知识点4：车辆转弯模型 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 倾斜面车辆转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 ②汽车在倾斜公路上转弯时，若以设计时速v0转弯，重力与地面支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得,得。若v > v0,则由竖直方向,水平方向及f = μN可得不侧滑的最大转弯速度；若汽车经过弯道时的速度v ＜ v0,路面将对汽车产生向外的侧向摩擦力。 【针对练习8】（多选）（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）如图所示，某水平公路弯道半径R=50 m，一辆质量m=1.2×103 kg的汽车正在沿该弯道匀速转弯（不侧滑），轮胎与路面间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2.关于此过程下列说法正确的是（　　） A．汽车安全转弯的最大速度为 B．若汽车以18 m/s的速度转弯，不会发生侧滑 C．若汽车以12 m/s的速度转弯，所需向心力大小为3.456×103 N D．汽车正常转弯时所需的向心力，由地面对车的静摩擦力提供，方向指向圆心 【答案】CD 【详解】A．根据可得，汽车安全转弯的最大速度为，A错误； B．若汽车以18 m/s>15.8m/s的速度转弯，会发生侧滑，B错误； C．若汽车以12 m/s<15.8m/s的速度转弯时不会侧滑，所需向心力大小为，C正确； D．汽车正常转弯时所需的向心力，由地面对车的静摩擦力提供，方向指向圆心，D正确。 故选CD。 【针对练习9】（多选）（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）如图所示，火车转弯轨道外高内低。某同学在车厢内研究列车的运动情况，他在车厢顶部用细线悬挂一个质量为的小球。当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，已知列车与小球做匀速圆周运动的半径为，重力加速度大小为，则（　　） A．细线对小球的拉力的大小为 B．列车恒定速率为 C．车轮与内、外轨道间有压力，但外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用 D．车厢内放在桌面上的手机所受支持力竖直向上 【答案】BC 【详解】A．小球随列车做匀速圆周运动，向心力沿水平方向指向弯道圆心，竖直方向合力为0。 由题意，细线与车厢侧壁平行，车厢随倾斜轨道倾角为，因此细线与竖直方向夹角为，竖直方向受力平衡： 得拉力 故A错误； B．水平方向合力提供向心力： 代入得： 解得 故B正确； C．当车速为时，重力和轨道支持力的合力刚好提供向心力，内、外轨道轮缘都不受侧向挤压，仅存在垂直轨道的正压力，故C正确； D．支持力垂直于接触面，车厢桌面与轨道平行（倾角为），因此支持力垂直于倾斜桌面，不是竖直向上，D错误。 故选BC。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）如图若弯道半径为r，内外铁轨平面与水平面倾角为，当火车以规定的行驶速度v转弯时，轮缘与轨道间恰好无侧向挤压，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．轨道对火车的支持力小于火车的重力 B． C．其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应增大 D．其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应减小 【答案】B 【详解】AB．以火车为对象，竖直方向有 可得 水平方向有 联立可得，故A错误，B正确； CD．根据，可得 可知其他条件不变，火车内的乘客增多时，v保持不变，故CD错误。 故选B。 2．（25-26高一上·北京海淀·期末）如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是（　　） A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为10m/s时所需的向心力为1.4×104N C．汽车转弯的速度为20m/s时汽车不会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0m/s2 【答案】C 【详解】A．汽车转弯时受到重力，地面的支持力，以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A错误； B．当速度为时，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得， B错误； C．当最大静摩擦力充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，根据牛顿第二定律可得 解得，所以汽车转弯的速度为20m/s时，所需的向心力小于1.4×N，汽车不会发生侧滑，C正确； D．汽车能安全转弯的向心加速度，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过，D错误。 故选C。 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）如图是场地自行车比赛的某段圆弧形赛道，赛道平面与水平面的夹角为。某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，其圆周运动的半径为R，不计空气阻力，重力加速度为g。要使自行车不受侧向摩擦力作用，则其速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】自行车不受侧向摩擦力时，受力图如图所示 竖直方向，根据平衡条件 水平方向，根据牛顿第二定律 解得 故选A。 4．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘挤压的弹力F提供火车转弯的向心力，如图甲所示，但是靠这种办法铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图乙所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 B．遇雨雪天气地面湿滑，规定的行驶速度也将改变 C．按规定速度行驶时，支持力小于重力 D．该弯道的半径 【答案】D 【详解】A．当火车速率大于时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，火车将有离心的趋势，则外轨将受到轮缘的挤压，故A错误； BD．内、外轨所在平面的倾角为，当火车以规定的行驶速度转弯时，其所受的重力和铁轨对它的支持力的合力提供向心力，如图所示 对火车有 解得 与接触面粗糙程度无关，故B错误，D正确； C．按规定速度行驶时，有 可知支持力大于重力，故C错误。 故选D。 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示为某离心分离装置示意图，水平转台可在电机的带动下绕过圆心的竖直轴转动。开始时将质量为1kg的物块静置于转台上，物块到转台圆心的距离为1m，时刻启动电机，转台由静止开始加速转动，其角速度与时间关系图像如图所示，当时物块刚好相对转台滑动，物块与转台间的动摩擦因数为（　　）（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】B 【详解】由图像可得转台做匀加速转动，角加速度 物块随转台做变速圆周运动，其切向加速度大小 当时物块刚好相对转台滑动，此时角速度为，向心加速度大小 此时静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律，最大静摩擦力提供合加速度，即 解得物块与转台间的动摩擦因数 故选B。 6．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图左，水平转盘可绕竖直轴在水平面内转动，轴上装有传感器。长L的细绳一端固定在传感器上，另一端系有的小物块，细绳伸直但不紧绷。水平转盘开始逐渐加速，传感器测得细绳拉力F与转盘角速度的平方关系图如下，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，则（    ） A．细绳对物块的拉力提供物块的向心力 B．物块与转盘间动摩擦因数为0.5 C．细绳长 D．仅增大细绳的长度，图线与横轴的交点不变 【答案】C 【详解】A．当转盘角速度较小时，物块的向心力由静摩擦力提供；当角速度增大到一定程度，细绳绷紧后，向心力由最大静摩擦力和细绳的拉力共同提供，故A错误； BC．由图可知时，此时静摩擦力达到最大，之后，细绳开始有拉力，对物块，根据牛顿第二定律有 解得 结合图像可得斜率 解得 纵截距 解得，故B错误，C正确； D．根据 当时，解得 可知仅增大细绳的长度，图线与横轴的交点变小，即图线与横轴的交点左移，故D错误。 故选C。 7．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到轴的距离为物块B到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块A受到的静摩擦力先增大后减小 B．物块B受到的静摩擦力先增大后减小 C．物块B受到的静摩擦力先背离圆心，然后又指向圆心 D．物块A受到的合外力一直在增大且总是B的合外力的两倍 【答案】D 【详解】A．物块A受到的静摩擦力先增大到最大静摩擦力，之后保持不变，故A错误； B．物块B受到的静摩擦力先增大（绳子无弹力阶段）、再减小到0、再反向（背离圆心）增大，故B错误； C．物块B受到的静摩擦力一开始指向圆心，后来变为背离圆心，故C错误； D．物块A受到的合外力 随转速逐渐增大，角速度增大，物块A受到的合外力一直在增大。 物块B受到的合外力 又 得，故D正确。 故选D。 8．（25-26高一下·安徽·期中）如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为，质量为的带孔小球穿于环上，同时有一长为的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为，重力加速度的大小为，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，下列说法正确的是（     ） A．圆环角速度等于时，小球受到3个力的作用 B．圆环角速度等于时，小球受到4个力的作用 C．圆环角速度大于时，细绳将断裂 D．圆环角速度大于时，细绳将断裂 【答案】C 【详解】A．当细绳拉直时，设细绳与水平方向的夹角为θ，如图所示，因细绳与两半径构成等边三角形，则θ＝90°－60°＝30°，球做圆周运动的半径为 在水平方向上，由牛顿第二定律有 在竖直方向上，由平衡条件有 当时，解得 当时，解得 圆环角速度ω等于时，ω＜ω1，细绳处于松弛状态，小球仅受重力和圆环支持力共2个力的作用，故A错误； B．圆环角速度ω等于时，ω1＜ω＜ω2，小球受到重力、圆环支持力和细绳拉力共3个力的作用，故B错误； CD．圆环角速度ω大于时，细绳断裂，故C正确，D错误。 故选C。 二、多选题 9．（25-26高一下·山西晋中·期中）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图a，汽车通过拱桥最高点时对桥的压力不大于重力 B．如图b所示是两个圆锥摆A、B，细线悬挂于同一点且两小球处于同一水平面，则A、B小球做匀速圆周运动的周期相等 C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则小球在A位置的角速度等于在B位置时的角速度 D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨和轮缘间会有挤压作用 【答案】AB 【详解】A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时，汽车的加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以汽车对桥的压力不大于重力，故A正确； B．如图b所示是一圆锥摆，减小，但保持圆锥的高不变，设高度为，根据牛顿第二定律可得 可得 可知A、B小球做匀速圆周运动的周期相等，故B正确； C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，设圆锥筒的母线与竖直方向的夹角为，水平方向根据牛顿第二定律可得 可得 由于同一小球在A、B位置做匀速圆周运动的半径不同，则角速度不同，故C错误； D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心运动趋势，外轨对轮缘会有挤压作用，故D错误。 故选AB。 10．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图1所示为游乐场中的旋转飞椅，该娱乐设施深受小朋友们的喜爱。现将旋转飞椅简化为图2所示的模型，水平横梁的左、右两端分别用轻绳连接小球甲、乙，且右侧轻绳更长。当横梁绕过其中点的竖直转轴匀速转动时，两侧的小球以相同的角速度在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角分别为α、β，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A． B． C．小球甲的线速度比乙的线速度小 D．小球甲的线速度比乙的线速度大 【答案】BC 【详解】AB．对任意小球受力分析，可知小球受重力和轻绳的拉力作用，两者的合力提供向心力，则有 解得 由图2可知，且两小球的角速度相同，重力加速度相同，故，即，故A错误，B正确； CD．根据，， 联立解得 因，且两小球的角速度相同，重力加速度相同，可知，故C正确，D错误。 故选BC。 11．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（　　） A．C的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等 C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 【答案】AC 【详解】A．当圆盘旋转时，A、B、C三物体均相对圆盘静止，设角速度为，根据可知半径越大，向心加速度越大，可知C的向心加速度最大，故A正确； B．根据可知物体所受摩擦力与质量和半径有关，可知B和C所受摩擦力大小不相等，故B错误； CD．当摩擦力刚好达到最大时，有 可得临界角速度为 临界角速度越小的先滑动，且临界角速度与质量无关，半径越大的先滑动，可知C比A先滑动，B、A的临界角速度相同，故C正确，D错误。 故选AC。 12．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示，两质量均为m的瓷罐P、Q（可视为质点）放在水平圆桌转盘上，P、Q与转轴的距离分别为R、2R，与圆盘的最大静摩擦力均为其所受重力的k倍，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，用表示转盘转动的角速度，P、Q始终在圆盘上。下列说法正确的是（　　） A．当时，P所受摩擦力大小为 B．当时，Q所受摩擦力大小为 C．当时，P所受摩擦力大小为 D．当时，Q所受摩擦力大小为 【答案】AD 【详解】AC．当P将要滑动时，则 解得 则当时，P无相对滑动，则所受摩擦力大小为 当时，P 无相对滑动，所受摩擦力大小为，A正确，C错误； BD．当Q将要滑动时，则 解得 当时，Q无相对滑动，所受摩擦力大小为 当时，Q将产生相对滑动，所受摩擦力大小为，B错误，D正确。 故选AD。 13．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（    ） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 【答案】CD 【详解】初始状态时，小球受重力、拉力和圆环弹力的作用，当圆环以角速度ω匀速转动，由正交分解可得： 水平方向满足 竖直方向满足 解得， AC．当时，支持力，小球仅受重力和绳子拉力作用，故A错误，C正确； B．当时，细绳拉力，故B错误； D．由选项B分析可知，当，绳子始终存在拉力作用，小球不滑动，故D正确。 故选CD。 14．（25-26高一下·江西吉安·期中）如图甲光滑圆锥体固定在水平面上，其轴线竖直，母线与轴线夹角为，长为L的轻绳，一端固定在圆锥顶点P处，另一端拴着质量为m的小球（小球可看成质点，小球静止时，轻绳与母线平行），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，绳子拉力T随的变化关系如图乙所示，重力加速度取，则下列正确的是（　　） A．母线与轴线夹角为 B．小球的质量为1kg C．轻绳L长为1.2m D．小球的角速度为时，小球已经离开锥面 【答案】AD 【详解】ABC．当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 则根据图乙，结合所得绳子拉力与的函数关系可知，当小球离开锥面后 当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向，根据牛顿第二定律有 竖直方向根据平衡条件有 联立可得 根据图乙，结合所得函数关系可得， 解得，， 故A正确，BC错误； D．根据图乙可知，当小球的角速度时，小球恰好要离开锥面，此时角速度 则可知，小球的角速度为 3 rad/s时，小球已经离开锥面，故D正确。 故选AD。 15．（25-26高一下·河南洛阳·期中）如图所示，在水平圆盘上，沿直径方向有两个用轻绳（伸直且无弹力）相连的可视为质点的物体A和B分居圆心两侧，与圆盘一起绕中轴线转动，转动角速度ω从零开始缓慢增大，直到两物块相对圆盘运动为止。已知两物体的质量均为m，距中轴线的距离分别为r和3r，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．当圆盘的角速度大于时，绳中有拉力 B．当圆盘的角速度等于时，物块A受到的摩擦力方向指向圆心 C．当圆盘的角速度等于时，物块A和B将相对圆盘向B的一侧滑动 D．当物块A和B相对圆盘恰好发生滑动时，绳子拉力大小为 【答案】AC 【详解】A．物体做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，对应的角速度为临界角速度，对物体A有 对物体B有 解得， 可知B的临界角速度更小，所以当圆盘的角速度大于时，绳中有拉力，故A正确； B．随着角速度的增大，因为，即物体B需要更多的向心力，物体B的摩擦力已经达到最大，需要拉力来提供向心力，对物体A而言摩擦力反而减小，当物体A的摩擦力为零时，有， 解得 即当圆盘的角速度等于时，物块A受到的摩擦力为零，故B错误； C．随着角速度继续增大，物体B的摩擦力已经达到最大，保持不变，物体A的摩擦力开始背离圆心逐渐增大，当物体A的摩擦力最大时，有， 可得 二者的摩擦力方向均向左，即当圆盘的角速度等于时，物块A和B将相对圆盘向B的一侧滑动，故C正确； D．当物块A和B相对圆盘恰好发生滑动时，将代入 解得，故D错误。 故选AC。 三、解答题 16．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）如图，用一根长的细线，一端系一质量的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，O点距地面高度。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（，，）求： (1)小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力及圆锥体的弹力大小； (2)小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度多大时，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； (3)若细线与竖直方向的夹角为，则小球的角速度为多大； 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球静止时，受力平衡，设小球所受细绳的拉力为，圆锥体的弹力大小为，根据正交分解，在竖直方向上有 在水平方向上有 代入数据解得， （2）当小球与圆锥体间恰好无弹力时，小球仍在圆锥体的表面上，但仅受重力和拉力，设加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 （3）小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，若细线与竖直方向的夹角为，且有，说明此时小球离开圆锥表面，仅由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 17．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图所示，水平圆盘上有一个质量为3m的小木块a和一个质量为m的小木块b，用轻绳相连，轻绳恰好伸直且无拉力。为转轴，a与转轴的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，求： (1)当圆盘转动的角速度为多大时，轻绳开始产生拉力； (2)继续增大角速度，当木块a所受的静摩擦力刚好达到最大值时，此时圆盘的角速度为多大？并求出此时轻绳的拉力大小； (3)已知轻绳能承受的最大拉力为。试问随着角速度的不断增大，绳子是否会被拉断？若能，求出此时圆盘的角速度为多大；若不能，请说明理由。 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【详解】（1）当角速度非常小时，两木块均由静摩擦力提供圆周运动的向心力，对有 对有 当角速度逐渐增大时，摩擦力逐渐增大，随后木块先达到最大静摩擦力，对，由最大静摩擦力提供向心力 解得 （2）当角速度继续增大，的静摩擦力已经达到最大值，拉力开始增大，的静摩擦力随增大逐渐达到最大值，方向指向转轴。 对有 对有 联立两式解得， （3）由（2）可知，当的静摩擦力刚好达到最大值、即将发生滑动时，绳子拉力仅为 该值小于绳子的最大拉力 说明在绳子拉力达到最大值之前，的静摩擦力已经不足以提供向心力，木块先发生滑动，因此绳子不会被拉断。 学科网（北京）股份有限公司 $