精品解析：山东聊城市 聊城东昌中学多校2025-2026学年九年级下学期 第四次 模拟预测数学试题

2025－2026学年第二学期第四次周考模拟练习九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 实数的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是． 2. 下列结果计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式的相关运算法则，即单项式乘单项式、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂的除法，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解： 选项A、，计算正确，符合题意； 选项B、，计算错误，不符合题意； 选项C、，计算错误，不符合题意； 选项D、，计算错误，不符合题意； 3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是理解俯视图是从物体上面看所得到的图形，注意看得见的棱画实线． 【详解】解：刍甍的俯视图为． 4. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了较小数的科学记数法．根据较小数的科学记数法方法解答即可． 【详解】解：， 故选：C 5. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 6. 大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅．若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记“东土大邑”为，“率民事神”为，“百工惟时”为，根据题意画树状图法得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，代入概率公式求解即可． 【详解】解：记“东土大邑”为，“率民事神”为，“百工惟时”为， 根据题意画树状图如下， 一共有种等可能的结果，其中恰好选中“东土大邑”和“百工惟时”的结果有种， ∴他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率为． 7. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设客人有x人，盘子有y个， ∵2人共用1个盘子时少2个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数多2，∴可得方程， ∵3人共用1个盘子时多3个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数少3，∴可得方程 因此所列方程组为． 8. 如图，在中，，点是斜边的中点，交于点，以为边作正方形．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明三角形相似，然后根据是的中点得出点为的中点，进而求出的长度，根据求出，再结合勾股定理求出，最后用三角形面积公式计算结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 点为中点， ， ，即点为中点， ， ， ， ， ， ． 9. 如图（1），点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图（2）是点运动时随变化的关系图象．则等边三角形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的运动，函数图象得到当时，，可证明，得到，根据题意，点P从点O沿直线直线运动到顶点时，，则，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点， ∴当时，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，点P从点O沿直线运动到顶点时，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点D， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴等边三角形的边长为6． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点位置判断a、b、c的符号，进而判断①；由抛物线与x轴交点个数判断判别式符号，进而判断②；利用对称性比较与时的函数值，进而判断③；利用二次函数最小值性质判断④． 【详解】解：①抛物线开口向上，， 对称轴为直线，，， 抛物线与y轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②抛物线与x轴有两个不同交点，， ，故②正确； ③对称轴为直线，与关于对称轴对称， 与时，y值相等，当时，， 当时，，故③错误； ④抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值，即， 对任意实数m，都有，即， 故④正确． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 使在实数范围内有意义的x应满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据题意得且， ∴且， ∴． 12. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 13. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出和 ，并利用 α 满足方程进行化简． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，方程的解，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ α, β 是方程 的两根， ∴． ∴ ，即 ． ∴ ． 故答案为：0． 14. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题关键． 连接，根据圆周角定理得出为的直径，确定，，，再由圆周角定理得出，确定，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于C，过点作轴于A，由直线求出，在中结合，求出，得出每次平移横、纵坐标增量为和3，推导出，代入得结果． 【详解】解：当时，， ∴设该点即为点B， 过点B作轴于C，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， 过点作轴于A，如图， 在中，，且， ∴， ∴， ∴， 由题意得，第一次平移：平移得到，对应点平移到了， 点平移到，横坐标增加了，纵坐标增加了， ∴每一次平移，图形上所有点的横坐标都增加，纵坐标都增加， ∵初始点的坐标：， 又∵是经过1次平移得到， ∴横坐标：；纵坐标：，即， ∵是经过2次平移得到， ∴横坐标：，纵坐标：，即， 以此类推，是经过次平移得到， ∴，即， 将代入得：横坐标：，纵坐标：， ∴点的坐标为． 【点睛】解题关键是通过直线斜率确定倾斜角，结合直角三角形性质求出平移距离，再通过归纳法推导点的坐标通项公式，是一次函数与平移规律结合的典型题型． 三、解答题 16. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（）利用绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂及特殊角的三角函数值化简，再进行加减运算即可； （）利用分式的性质和运算法则先化简，再把的值代入化简后的结果中计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ∵ ， ∴原式 17. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）40；36； 补全条形图如下： （2）70；70；66.5 （3）280 （4） 【解析】 【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得； （2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可； （3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得； （4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 本次抽取的学生人数是（人）， 扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是， 故答案为40人、36°； B等级人数为（人）， 【小问2详解】 由条形统计图可知众数为：70 由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70 平均数为： 【小问3详解】 等级达到优秀的人数大约有（人）； 【小问4详解】 画树状图为： ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比． 18. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元． （1）求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． （2）为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元． （2）当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元． 【解析】 【分析】（1）因为已知两种售卖组合的营收，所以可设甲、乙两种汴绣的售价分别为未知数，根据给出的两个营收条件列二元一次方程组，再用消元法或代入法求解方程组． （2）首先设购进甲种汴绣的数量为未知数，根据总数量表示出乙种的数量；因为乙的数量不超过甲的​，所以可据此列出不等式，确定未知数的取值范围；然后根据进价和售价，列出利润关于该未知数的一次函数表达式；最后根据一次函数的增减性，结合未知数的取值范围求出最大利润及对应的进货方案． 【小问1详解】 设甲种汴绣工艺品每件的售价为x元，乙种汴绣工艺品每件的售价为y元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种汴绣工艺品每件的售价为200元，乙种汴绣工艺品每件的售价为500元． 【小问2详解】 设购进甲种汴绣工艺品m件，全部售出后的总利润为w元． 根据题意，得． ∵， ∴m≥48． 又∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝48时，w取得最大值，最大值为，此时购进乙种汴绣工艺品（件）． 答：当购进48件甲种汴绣工艺品和12件乙种汴绣工艺品时，获利最大，最大利润为7200元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察函数图像可知，当时，或； 【小问3详解】 解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 20. 某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（，，，四点在同一平面）． （1）求电线杆的高度； （2）已知下坡路段坡比，如果该路段限速米／秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.17 0.98 4.12 【答案】（1）8米 （2）不超速，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知， ∴， 在中，（米）， 答：电线杆的高度为8米； 【小问2详解】 解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∵下坡路段坡比， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 21. 如图，点A，B在上，，点C在的延长线上，过C作的切线，切点为D，连接交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示． ， ． 是的切线，是的半径， ， ， ． 在中，，即， ． 又， ． ， ． （2） 【解析】 【分析】(1)连接，利用半径相等得到，结合切线性质得到，再通过直角三角形两锐角互余和对顶角相等，证得，从而得到． (2)设半径为，用表示、、，在中利用勾股定理列方程求出半径，再在中利用勾股定理求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则． ． ， ． ， ． 由(1)的结论得， ． 在中，， 由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 在中，，，， 由勾股定理得 答：的长为． 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线开口向上， ∵已知，在该抛物线上，， ∴，  ​ ∴或， 又∵． 当时，则，无解； 当时，则，解得，符合条件． 故的取值范围为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， ∴， ∵对于任意实数，都有，即 ∴， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， 即抛物线与直线交点的横坐标为和， ． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期第四次周考模拟练习九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 实数的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列结果计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 6. 大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅．若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点是斜边的中点，交于点，以为边作正方形．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图（1），点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图（2）是点运动时随变化的关系图象．则等边三角形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 使在实数范围内有意义的x应满足的条件是________． 12. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 13. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 14. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 三、解答题 16. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； （3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： （4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 18. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元． （1）求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． （2）为满足市场需求，该特产专卖店计划购进甲、乙两种汴绣工艺品共60件，且购进乙种汴绣工艺品的数量不超过甲种汴绣工艺品数量的，若每件甲种汴绣工艺品的进价为100元，每件乙种汴绣工艺品的进价为300元，请你给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（，，，四点在同一平面）． （1）求电线杆的高度； （2）已知下坡路段坡比，如果该路段限速米／秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.17 0.98 4.12 21. 如图，点A，B在上，，点C在的延长线上，过C作的切线，切点为D，连接交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $